文 劉 松（特級(jí)教師）

“角”是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)?，F(xiàn)行的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分兩段教學(xué)，第一階段是二年級(jí)上冊(cè)初步認(rèn)識(shí)角；第二階段是四年級(jí)上冊(cè)角的再認(rèn)識(shí)。關(guān)于角的定義，一般有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種。靜態(tài)定義是具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，角的這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn), 這兩條射線叫做角的兩條邊。這個(gè)定義初中教材上明確出現(xiàn)。動(dòng)態(tài)定義是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角。這種定義高中教材上明確出現(xiàn)。小學(xué)階段對(duì)角沒有出現(xiàn)明確的定義，但卻有三種描述，一是將角描述為“由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直直的邊組成的圖形”；二是將角描述為“從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形”；三是動(dòng)態(tài)描述，即“用始邊圍繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到終邊所形成的圖形”。人教版二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”的例2 對(duì)應(yīng)的是第一種描述；四年級(jí)“角的度量”單元中角的再認(rèn)識(shí)對(duì)應(yīng)的是第二種描述；第三種動(dòng)態(tài)的描述，雖說沒有明確出現(xiàn)，可是在五年級(jí)下冊(cè)“圖形的運(yùn)動(dòng)（三）——旋轉(zhuǎn)”中可以看到動(dòng)態(tài)定義的影子。

《角的初步認(rèn)識(shí)》作為人教版二年級(jí)上冊(cè)第三單元的第一課時(shí)，是一節(jié)比較典型的課例（其他版本亦然），筆者從工作至今，聽過和看過此節(jié)課的設(shè)計(jì)及實(shí)錄等數(shù)以百計(jì)。其中不乏許多名師及一線教師的精彩教學(xué)，令筆者贊嘆不已！但筆者始終有三個(gè)問題，揮之不去。

一、關(guān)于角的指認(rèn)

許多教師教學(xué)此課時(shí)，都有讓學(xué)生指角的環(huán)節(jié)?；蛘呤侵苯又附滩奶峁┑男@情境圖中藏著的角，或者是從現(xiàn)場(chǎng)提供的實(shí)物中指出角。比如，有的教師讓學(xué)生課前準(zhǔn)備剪刀和一些星形的紙片，并提示學(xué)生將他們自己的數(shù)學(xué)書、練習(xí)本和備用的三角尺等拿出來(lái)，憑借自己對(duì)角的認(rèn)識(shí)，從這些物品中，指出哪里有角。經(jīng)過小組討論后，各小組都派出了發(fā)言的代表，絕大多數(shù)的小組都指出了尖尖的地方就是角，也就是角的頂點(diǎn)就是角，幾乎沒有學(xué)生指出角的兩條邊，更有甚者認(rèn)為剪刀的把柄處，具有弧度的地方也是角。顯然，這種指角的方式是不正確的。據(jù)此，許多教師分析認(rèn)為，學(xué)生將生活中的角和數(shù)學(xué)中的角的概念混淆了，在學(xué)生的心中，尖尖的就是角，他們根本沒有關(guān)注到“角具有兩條邊”這一特征，當(dāng)然也就指不出來(lái)了。

事實(shí)果真如此嗎？學(xué)生果真是對(duì)“角具有兩條邊”這一特征一點(diǎn)也沒關(guān)注到嗎？如果是真的，那下面的教學(xué)環(huán)節(jié)又將作何解釋？

當(dāng)教師讓學(xué)生指出自己心目中的角，許多學(xué)生指的都是頂點(diǎn)時(shí)，充滿智慧的教師們大都會(huì)即刻在黑板上畫出一個(gè)點(diǎn)，再問學(xué)生：“這是角嗎？”學(xué)生都會(huì)說：“不是，這是一個(gè)點(diǎn)?！苯處熥穯枺骸皠偛诺慕呛同F(xiàn)在的點(diǎn)有什么不同之處呢？”看到學(xué)生似懂非懂的樣子，教師及時(shí)以剛才的點(diǎn)為起點(diǎn)，畫出兩條短的射線，再問：“這是角嗎？”學(xué)生說：“是的?！?/p>

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，想必大家并不陌生。但當(dāng)我們仔細(xì)品味的時(shí)候，不禁要問：1.學(xué)生能清晰地判斷一個(gè)點(diǎn)不是角，難道他們對(duì)數(shù)學(xué)意義上的角還需要?jiǎng)e的構(gòu)成要素一點(diǎn)都沒感覺嗎？2.當(dāng)教師讓學(xué)生指角時(shí)，學(xué)生指的是頂點(diǎn)，這里除了認(rèn)為學(xué)生把生活中的角和數(shù)學(xué)中的角的概念混為一談外，難道教師一點(diǎn)責(zé)任也沒有嗎？是否有一種可能，是教師的問題指向不明所致？因?yàn)榻處熥寣W(xué)生指出自己認(rèn)為的角，并沒有明確要求是指出數(shù)學(xué)意義上的角，那么，學(xué)生指出了生活意義上的角，豈不也在情理之中？正如圖1，有些教師做了學(xué)情前測(cè)，學(xué)生的回答當(dāng)然是錯(cuò)的，可是，就教師的問題而言，是否本身就存在瑕疵或歧義呢？3.當(dāng)教師及時(shí)從起點(diǎn)引出兩條射線，再問“這是角嗎？”學(xué)生都說是的。此刻，學(xué)生判斷的依據(jù)是什么？換句話說，是否學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了關(guān)于數(shù)學(xué)意義上角的正確表象？如果沒有，學(xué)生憑什么作出判斷？若事實(shí)果真如此，那么，是否就可以得到如下結(jié)論：關(guān)于角的概念（抑或說構(gòu)成要素），并不是教師教會(huì)的，而是學(xué)生自己先知的，教師不過喚醒而已。

圖1

三個(gè)問題問完，筆者不禁打了個(gè)寒顫！我們口口聲聲說課前要了解學(xué)生、讀懂學(xué)生，我們真的讀懂了嗎？著名教育家奧蘇伯爾曾言：“如果把所有的教學(xué)原理歸結(jié)為一句話，那就是要了解學(xué)生的起點(diǎn)?！绷私鈱W(xué)生的起點(diǎn)才能將課堂教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平做到完美銜接，也才能一步一步逐漸地引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生答疑解惑、解決后續(xù)學(xué)習(xí)中的困難。如果不能真正讀懂學(xué)生，談何準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。

行文至此，也許會(huì)有教師提出質(zhì)疑：老師還沒教，學(xué)生怎么可能會(huì)有正確的表象？相信持這種觀點(diǎn)的教師是少數(shù)的。且不說學(xué)生可以自己通過先看書獲得直觀感受，在當(dāng)今“泛在學(xué)習(xí)”的背景下，學(xué)生獲取信息可以在任何地方、任何時(shí)刻。學(xué)生課堂上聽教師講，不再是學(xué)習(xí)的唯一方式。

綜上，關(guān)于“指角”（或找角）的教學(xué)，出場(chǎng)的時(shí)機(jī)與指令的清晰就顯得尤為重要。上述華曉蕓和施鳳林兩位教師的教學(xué)雖談不上有多么精彩和多少創(chuàng)新之處，但在此問題的處理上依然可圈可點(diǎn)。華老師是在教學(xué)的第二個(gè)環(huán)節(jié)安排了讓學(xué)生指出課本情境圖當(dāng)中的角，但在第一個(gè)引入環(huán)節(jié)的最后，已經(jīng)給出了數(shù)學(xué)意義上角的清晰樣態(tài)，更難能可貴的是，在讓學(xué)生指角之前，明確提出了要指出的是形如數(shù)學(xué)意義上的角。如此，極大地降低了學(xué)生因問題指向不清而出現(xiàn)的錯(cuò)誤。更重要的是，這個(gè)指角的過程，且不說學(xué)生是在用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，但至少兩個(gè)好處，一是促進(jìn)了能力強(qiáng)的學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)物體中剝離出角的抽象過程；二是保證了部分能力偏弱的學(xué)生感知角的構(gòu)成要素的體驗(yàn)。施老師的教學(xué)則具有整合的視野，干脆省掉了許多教師教學(xué)開始部分的指角環(huán)節(jié)，而是把“識(shí)角”和“指角”糅在了一起，都放在第一個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，當(dāng)學(xué)生摸出三角尺的時(shí)候，順勢(shì)就指出了三角尺上的三個(gè)角，都有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)和兩條直直的邊，并用符號(hào)∠1、∠2、∠3 來(lái)標(biāo)記。真正的“指角”大戲，放在了課的最后，讓學(xué)生找出生活中存在的角，從時(shí)鐘到紅領(lǐng)巾……最后到魔方。施老師同樣明確提出了要求，是要找出數(shù)學(xué)意義上的角。其實(shí)，經(jīng)過了一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)意義上的角已經(jīng)足夠清晰，即便教師不說明，此時(shí)學(xué)生也不大可能再去指尖尖的頂點(diǎn)。當(dāng)然，教師的明確要求也不為過，畢竟要以防萬(wàn)一。最后讓學(xué)生找出魔方上共有多少個(gè)角的設(shè)計(jì)尤其值得點(diǎn)贊。且不說因?yàn)槟Х绞菍W(xué)生熟悉的立體圖形（一年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)過），教師做到了基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。更重要的是，當(dāng)學(xué)生明確指出魔方表面一共有24 個(gè)角的時(shí)候，就很好地突破了生活中的角對(duì)數(shù)學(xué)意義上角的負(fù)遷移。因?yàn)?，魔方上只? 個(gè)尖尖的拐角（生活視角），但卻有24 個(gè)角（數(shù)學(xué)視角）。

二、關(guān)于角的大小

本節(jié)課教師公認(rèn)的難點(diǎn)是，如何在學(xué)生沒學(xué)習(xí)過射線的前提下，讓學(xué)生能盡可能地明白角的大小是由兩邊的叉開度決定的，與看到或畫出來(lái)的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。這里面有兩個(gè)問題值得討論。一是究竟什么是角的大小？學(xué)生是否有正確的前概念？事實(shí)上，學(xué)生是有的，從圖2 堪稱經(jīng)典的教學(xué)片斷中可以得到佐證。當(dāng)教師出示圖片、提出問題后，別說是二年級(jí)的學(xué)生，就是幼兒園大班的小朋友，也可以肯定地說圖中左邊那只鳥嘴巴張開得更大一些。當(dāng)然，此刻可能許多學(xué)生的思維是停留在表面，只是直觀地看到了哪只鳥的嘴巴張得更大，并不一定清楚，開口越大就意味著鳥嘴構(gòu)成的相應(yīng)角的角度越大，也就是角越大。反過來(lái)說，角的大小指的就是角的兩邊開口的大小。此時(shí)，教師要做的就是順勢(shì)為之，給學(xué)生說明“大家看到的角，開口有大有小，角的大小指的就是角兩邊的叉開程度”（自然也就與看到的邊的長(zhǎng)短或粗細(xì)等沒有關(guān)系）。個(gè)人認(rèn)為，此案例不僅適用本課的引入環(huán)節(jié)，更適合用在讓學(xué)生體悟角的大小與什么有關(guān)、與什么無(wú)關(guān)的難點(diǎn)突破上。

圖2

可是，因?yàn)橐曈X上的誤導(dǎo)，即便教師清晰地完成了上述教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生也明白了角的大小指的是兩邊的叉開度，與其他的信息無(wú)關(guān)，但當(dāng)我們把圖3 中兩個(gè)角同時(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，還是會(huì)有學(xué)生認(rèn)為左邊的角小、右邊的角大，因?yàn)榭雌饋?lái)確實(shí)是“大一些”。此時(shí)，富有經(jīng)驗(yàn)的教師都有良好的解決辦法，那就是把兩個(gè)角重疊，學(xué)生大多會(huì)明白，角的大小指的是兩邊的叉開度，從頂點(diǎn)處起，一開始就決定了不再與邊的長(zhǎng)短有關(guān)。至此，筆者自己似乎也不夠嚴(yán)謹(jǐn)了。這就是筆者想討論的第二個(gè)問題，關(guān)于角的大小，結(jié)論性的語(yǔ)言我們究竟該如何說？是和許多教師一樣，說成“角的大小與兩邊的叉開度有關(guān)，與兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”，還是應(yīng)該有更準(zhǔn)確的表達(dá)？

圖3

關(guān)于這個(gè)問題，筆者曾在本刊2020年第11 期《堅(jiān)持混而不錯(cuò) 尋求最佳平衡》中有所提及。上述結(jié)論，相信許多教師都說過，筆者自己之前也這樣說，也曾聽許多名師這樣說過。這句話似乎沒什么問題，但仔細(xì)一想，就會(huì)意識(shí)到這句話內(nèi)在的邏輯矛盾。在中小學(xué)階段，角的兩種定義，無(wú)論是靜態(tài)的（具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角）還是動(dòng)態(tài)的（一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形叫做角），角的兩條邊都是射線，而射線都是無(wú)限長(zhǎng)的，怎么會(huì)有長(zhǎng)短之說？一旦有了長(zhǎng)和短，就等于默認(rèn)了角的兩條邊是線段，可角的兩條邊明明是射線，豈不自相矛盾？

蘇步青、張奠宙等老一輩數(shù)學(xué)教育家早就有“中小學(xué)教材可以混而不錯(cuò)”的觀點(diǎn)，這當(dāng)然是對(duì)的，甚至是必需的。但我們要問的是：在堅(jiān)持混而不錯(cuò)的大前提下，教師可否找到最佳平衡，盡量做到既不失數(shù)學(xué)的本真，又讓小學(xué)生感覺通俗易懂呢？

顯然，華曉蕓和施鳳林兩位教師注意到了這個(gè)問題。施老師在學(xué)生用活動(dòng)角體驗(yàn)、比較角的大小后，明確板書：角的大小與兩邊的叉開度有關(guān)，與兩邊畫出來(lái)的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。華老師則在活動(dòng)角體驗(yàn)大小后，又特意安排了一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀察兩個(gè)大小一樣，但畫出來(lái)的邊長(zhǎng)短不一樣的角后，明確告訴學(xué)生：角的大小是由兩條邊叉開的大小決定的，與看到的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

當(dāng)然，也許會(huì)有教師說，像原來(lái)那樣說，現(xiàn)階段沒有問題，也不會(huì)影響學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)。對(duì)此，我們完全認(rèn)同！相信許多教師與筆者一樣，小學(xué)時(shí)就是這樣學(xué)的。但筆者此刻想表達(dá)的是，如此稍許改進(jìn)說法后，既不會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知和理解負(fù)擔(dān)，且與后續(xù)學(xué)習(xí)保持了內(nèi)在邏輯的一致，又何樂而不為呢？

三、關(guān)于角的定義

無(wú)疑，角的初步認(rèn)識(shí)是不要求學(xué)生掌握和理解角的定義的，即便是靜態(tài)的定義。但不要求，是否就意味著可以不滲透呢？答案想必是否定的。從人教版二年級(jí)上冊(cè)第39 頁(yè)例2 畫角的方法就可以看出：從一個(gè)點(diǎn)起，用尺子向不同的方向畫兩條筆直的線，就畫成一個(gè)角。這與四年級(jí)上冊(cè)，同樣是第39 頁(yè)上的表述：從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角，幾乎是一個(gè)意思，只是二年級(jí)的學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過射線，無(wú)法挑明而已。筆者在此想討論的倒不是靜態(tài)定義，而是動(dòng)態(tài)定義的滲透問題。角的動(dòng)態(tài)定義，到了高中才明確，因?yàn)閮?yōu)角、劣角、正角、負(fù)角等相應(yīng)概念的出現(xiàn)，有了動(dòng)態(tài)定義的視角，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)非常容易。既然動(dòng)態(tài)定義對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)非常有用，教師可否在不增加學(xué)生任何認(rèn)知和理解負(fù)擔(dān)的前提下，把動(dòng)態(tài)定義的基因先種下去呢？其實(shí)，許多教師都無(wú)意識(shí)地做到了有機(jī)滲透，就是在活動(dòng)角的環(huán)節(jié)。但筆者以為，教師若能把有意的行為，通過看似無(wú)意識(shí)的活動(dòng)表現(xiàn)出來(lái)，則是更高超的教學(xué)藝術(shù)。這一點(diǎn)上，筆者比較欣賞華老師在活動(dòng)角階段的最后一個(gè)設(shè)計(jì)：請(qǐng)把活動(dòng)角的兩邊重合在一起，跟著老師的節(jié)奏，慢慢把兩邊叉開，把角變得越來(lái)越大，然后再變得越來(lái)越小?，F(xiàn)場(chǎng)聽課時(shí)，筆者注意到了一個(gè)細(xì)節(jié)，教師手中的活動(dòng)角是從0 度角開始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到平角，而后大于平角，旋轉(zhuǎn)一圈，再?gòu)? 度角開始，順時(shí)針又旋轉(zhuǎn)一圈。如此，0 度角、銳角、直角、鈍角、平角、周角、劣角、優(yōu)角、正角、負(fù)角十個(gè)概念全涵蓋在里面了。當(dāng)然，這些概念是無(wú)需告訴學(xué)生的。課后詢問教師，是有意為之嗎？誠(chéng)實(shí)的華老師笑答：“沒想這么多呢！”雖然并非有意為之，但此環(huán)節(jié)的處理依然值得點(diǎn)贊，因?yàn)楣P者觀察到此時(shí)的學(xué)生，不僅對(duì)開口大小決定著角的大小有了更深刻的感悟，還興高采烈地參與在其中！

以上三點(diǎn)，僅是自己關(guān)于本節(jié)課一些不成熟的思考，不知道是否正確，敬請(qǐng)各位方家批評(píng)指正！兩位教師的教學(xué)，有自己的堅(jiān)守，也有一些突破，同樣希望大家能提出寶貴意見，在此一并謝過！

最后筆者想說，努力做到真正讀懂每一位學(xué)生，而后盡力讓每一位學(xué)生都能獲得適度的發(fā)展，應(yīng)該是我們教師育人永恒不變的追求！