湯澤航，高 健，張攬宇

(廣東工業(yè)大學(xué)省部共建精密電子制造技術(shù)與裝備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

0 引言

在線檢測(cè)(OMM)系統(tǒng)通過(guò)在數(shù)控機(jī)床上安裝一個(gè)接觸式或非接觸式探頭，實(shí)現(xiàn)在加工過(guò)程中或加工后實(shí)時(shí)檢測(cè)零件質(zhì)量，而不需要重新裝夾，從而避免了二次裝夾帶來(lái)的嚴(yán)重誤差[1-3]。這種方法能夠顯著提高自由曲面零件諸如航空航天薄壁類(lèi)零件的加工精度和加工效率[4-5]。觸發(fā)式探針是最常用的OMM系統(tǒng)工具，然而其在觸測(cè)過(guò)程中存在的預(yù)行程誤差是影響在線檢測(cè)測(cè)量誤差的一個(gè)重要因素[6-7]。文獻(xiàn)[8]通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到預(yù)行程誤差占在線檢測(cè)測(cè)量總誤差的60%。因此，分析研究觸測(cè)頭檢測(cè)過(guò)程中的預(yù)行程誤差，建立相應(yīng)的誤差模型以及預(yù)測(cè)補(bǔ)償模型，對(duì)提高在線檢測(cè)系統(tǒng)的檢測(cè)精度具有相當(dāng)重要的意義。

目前，在線檢測(cè)系統(tǒng)研究領(lǐng)域，一些學(xué)者專(zhuān)門(mén)針對(duì)預(yù)行程誤差的補(bǔ)償問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9-11]對(duì)接觸式探針結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，歸納出測(cè)桿長(zhǎng)度，觸測(cè)速度，觸測(cè)方向等對(duì)預(yù)行程誤差的影響，為進(jìn)一步的補(bǔ)償工作提供了理論基礎(chǔ)。但實(shí)際上，探針預(yù)行程誤差的影響因素較多且復(fù)雜，用其方法只能在一定程度上估算預(yù)行程誤差，補(bǔ)償效果有所欠缺。鑒于預(yù)行程誤差分布模型的非線性，傳統(tǒng)的理論推導(dǎo)方法無(wú)法得到精度較高的誤差模型，文獻(xiàn)[12-14]通過(guò)探測(cè)得到標(biāo)準(zhǔn)球上部分點(diǎn)的預(yù)行程誤差作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來(lái)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，從而預(yù)測(cè)出其他點(diǎn)的預(yù)行程誤差。針對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易形成局部極小且訓(xùn)練次數(shù)多、收斂速度慢等缺陷，文獻(xiàn)[15]提出了基于正則化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并取得了較高的預(yù)測(cè)精度。但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度一般需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和較多的訓(xùn)練次數(shù)來(lái)保證，在某些場(chǎng)景下的應(yīng)用會(huì)受到限制。

鑒于以上在線檢測(cè)預(yù)行程誤差建模方法的不足，為了建立一個(gè)高精度、高穩(wěn)定性的預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)模型，本文提出了一種基于最小二乘配置法的誤差預(yù)測(cè)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對(duì)比分析，來(lái)驗(yàn)證該方法對(duì)于預(yù)行程誤差的補(bǔ)償更加精確有效。

1 觸發(fā)式探針預(yù)行程誤差實(shí)驗(yàn)原理

本文通過(guò)合理規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)球上的探測(cè)點(diǎn)并進(jìn)行所有點(diǎn)的探測(cè)，從而為建立預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)模型提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。在用接觸式探針做檢測(cè)時(shí)，由于觸測(cè)力的存在，在觸球接觸被測(cè)物體時(shí)，探針并不會(huì)立即觸發(fā)測(cè)量信號(hào)，而是繼續(xù)沿檢測(cè)方向上行進(jìn)一小段距離[16-17]，這個(gè)過(guò)程中測(cè)桿也產(chǎn)生一定的力學(xué)形變。因這一小段距離導(dǎo)致的測(cè)量誤差，被稱(chēng)為預(yù)行程誤差。測(cè)桿的長(zhǎng)度、剛度以及測(cè)頭內(nèi)部觸發(fā)結(jié)構(gòu)等原因都會(huì)對(duì)預(yù)行程誤差產(chǎn)生影響。本文中實(shí)驗(yàn)采用的接觸式探針為觸發(fā)式無(wú)線測(cè)頭系統(tǒng)ACC-CP52，測(cè)球直徑為φ6 mm。

將標(biāo)準(zhǔn)球上的檢測(cè)點(diǎn)用極坐標(biāo)(ρ,φ,θ)表示，其中ρ表示標(biāo)準(zhǔn)球半徑；φ表示緯度角；θ表示經(jīng)度角。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，對(duì)同一個(gè)陶瓷標(biāo)準(zhǔn)球(直徑25.001 1 mm)進(jìn)行檢測(cè)，半徑ρ不變，因此檢測(cè)時(shí)只考慮球上的經(jīng)緯度坐標(biāo)(φ,θ)。

在測(cè)量過(guò)程中探針是沿著球上測(cè)點(diǎn)的理論法矢方向d進(jìn)行觸測(cè)的，探針紅寶石觸球與工件之間可能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。文獻(xiàn)[18]研究表明，當(dāng)觸發(fā)力與接觸工件表面的法線方向夾角小于10°時(shí)，探針與工件表面的相對(duì)滑動(dòng)由于摩擦力存在不會(huì)發(fā)生。極端情況下當(dāng)夾角大于10°時(shí)，會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，但研究表明其相對(duì)滑動(dòng)距離小于1 μm，遠(yuǎn)小于實(shí)際的預(yù)行程誤差。因此，可以忽略探頭與工件表面之間因相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)生的誤差。

本文實(shí)驗(yàn)將標(biāo)準(zhǔn)球每隔經(jīng)緯度5°進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共生成1297個(gè)探測(cè)點(diǎn)，如圖1所示。用觸發(fā)式無(wú)線探針對(duì)所有探測(cè)點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)得到實(shí)際值rreal并與對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)球和探針觸球半徑之和的理論值rideal進(jìn)行比較，即可得出相應(yīng)的預(yù)行程誤差wi,如圖2所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)球上探測(cè)點(diǎn)分布

圖2 預(yù)行程誤差形成過(guò)程

2 預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)模型

2.1 經(jīng)典曲面擬合法

經(jīng)典全參數(shù)曲面擬合模型通過(guò)建立預(yù)行程誤差L與經(jīng)緯度坐標(biāo)(φ,θ)的關(guān)系式：

L=F(φ,θ)+ξ

(1)

式中，F(xiàn)(φ,θ)為預(yù)行程誤差L的趨勢(shì)曲面，ξ為殘差。

設(shè)

F(φ,θ)=a0+a1φ+a2θ+a3φθ+
a4φ2+a5θ2+a6φθ2+a7θφ2+a8φ3+a9θ3+…

(2)

若測(cè)得n個(gè)預(yù)行程誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)，則可得以下矩陣形式：

L=AX+ξ

(3)

式中，

當(dāng)上式符合最小二乘原則,即殘差|ξ2|=min的條件時(shí)，求得向量X的解，回代到式(2)中，就可推估出未知方位點(diǎn)的預(yù)行程誤差值。

在式(2)中，若未知數(shù)取n次項(xiàng)，便得到n次多項(xiàng)式曲面擬合。其中擬合次數(shù)不宜過(guò)大，過(guò)大容易造成方程式解不穩(wěn)定，且易出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，一般取2次即可[19-20]。

2.2 基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型

隨著測(cè)量技術(shù)的發(fā)展和檢測(cè)要求的提高,經(jīng)典的全參數(shù)數(shù)據(jù)處理方法有時(shí)不能滿足精度的要求,特別是當(dāng)檢測(cè)數(shù)據(jù)中包含不可消除的較復(fù)雜系統(tǒng)誤差時(shí)[21-22]。因此，綜合考慮固定參數(shù)效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)的最小二乘配置模型在測(cè)量領(lǐng)域越來(lái)越受到關(guān)注，它可以說(shuō)是具備了曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法兩者的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)模型選擇正確時(shí)，最小二乘殘差具有偶然誤差的特征，此時(shí)得到的擬合模型是最優(yōu)的。

最小二乘配置的數(shù)學(xué)模型是[23-24]：

L=AX+BY+Δ

(4)

(5)

(6)

式中，L為n維觀測(cè)向量；Δ為隨機(jī)噪聲，Δ～N(0，DΔ)；X為t維非隨機(jī)參數(shù)；A為n×t階設(shè)計(jì)矩陣；Y為隨機(jī)參數(shù)向量，包含n維已測(cè)點(diǎn)信號(hào)S和g維未測(cè)信號(hào)S′。In是n階單位陣，根據(jù)矩陣B的構(gòu)成，可知觀測(cè)方程中不含未測(cè)點(diǎn)信號(hào)S′。

式(4)對(duì)應(yīng)的誤差方程為：

V=AX+BY-L

(7)

根據(jù)最小二乘原理有：

(8)

式(7)、式(8)中，V是觀測(cè)值L的改正數(shù)；VY是Y的先驗(yàn)期望E(Y)的改正數(shù)，從而可以推出：

(9)

(10)

(11)

由假設(shè)B=I(單位陣)，μS=0，μS′=0并且不考慮隨機(jī)噪聲誤差的影響，即DΔ=0，則式(9)、式(10)、式(11)可表示為：

(12)

(13)

(14)

從而得到未測(cè)點(diǎn)的平差值，即未知點(diǎn)的預(yù)行程誤差：

(15)

上述最小二乘配置模型的計(jì)算過(guò)程中求解的關(guān)鍵是信號(hào)Y與Y之間的協(xié)方差?，F(xiàn)階段各種類(lèi)型的協(xié)方差函數(shù)均為與空間距離相關(guān)的某種函數(shù)，考慮預(yù)行程誤差的空間相關(guān)性，本文采用空間平方根函數(shù)作為信號(hào)間的協(xié)方差函數(shù)模型，亦即：

(16)

式中，(xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)為球面檢測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)；Dij為i，j兩點(diǎn)的隨機(jī)參數(shù)(信號(hào))Si與Sj間的協(xié)方差。

根據(jù)上述最小二乘配置法原理，針對(duì)預(yù)行程誤差實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑥姆植加跇?biāo)準(zhǔn)球面的144個(gè)探測(cè)點(diǎn)的預(yù)行程誤差中選取72個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為已知點(diǎn)建立預(yù)行程誤差模型，剩下的72個(gè)探測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)模型的驗(yàn)證數(shù)據(jù)。建立模型后輸入需要預(yù)測(cè)點(diǎn)的緯度和經(jīng)度方位信息(φ,θ)，則輸出該探測(cè)點(diǎn)的預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)值。

3 實(shí)驗(yàn)分析

選取分布于標(biāo)準(zhǔn)球面的72個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為已知點(diǎn)建立預(yù)行程誤差模型，其余72個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和本文提出的基于最小二乘配置模型2種算法做了預(yù)行程誤差的預(yù)測(cè)結(jié)果比較實(shí)驗(yàn)。

將預(yù)測(cè)結(jié)果與相應(yīng)的實(shí)際預(yù)行程誤差數(shù)據(jù)做對(duì)比，從而得到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與基于最小二乘配置法的預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度。其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3、圖4所示，實(shí)線曲線代表實(shí)際測(cè)得的預(yù)行程誤差，虛線曲線分別代表RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型得到的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。兩條曲線的重合程度反映算法的預(yù)測(cè)精度。由圖3、圖4可以看出，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型其預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)已經(jīng)非常接近，也能夠反映預(yù)行程誤差的隨機(jī)性；而基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型在具有以上優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上做到了精度更高，誤差波動(dòng)更小，其預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)基本重合，無(wú)明顯差距。

由圖5、圖6預(yù)測(cè)誤差圖可看出，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型其大部分預(yù)測(cè)點(diǎn)殘差在4 μm左右，其中最大預(yù)測(cè)誤差為10.85 μm，個(gè)別點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差在6～8 μm左右，平均誤差為2.587 9 μm，殘差標(biāo)準(zhǔn)差為2.332 7 μm。而基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型大部分預(yù)測(cè)點(diǎn)的精度都在2 μm以下，個(gè)別點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差在4 μm左右，且只有一個(gè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差在7 μm左右。由于預(yù)行程誤差在空間中的分布是相互關(guān)聯(lián)的，且相距較近的對(duì)象之間影響力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)的，因此采用空間平方根函數(shù)作為先驗(yàn)協(xié)方差的最小二乘配置模型其總體預(yù)測(cè)誤差更小。由圖中還可以看出預(yù)測(cè)點(diǎn)誤差波動(dòng)較大，這與機(jī)床在反向運(yùn)動(dòng)時(shí)的方向間隙有關(guān)。與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相比，本文基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型其精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。采用最小二乘配置預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差平均值為1.395 0 μm，其標(biāo)準(zhǔn)差為1.426 3 μm。平均預(yù)測(cè)精度相比RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型提高了38.86%，預(yù)測(cè)結(jié)果更加穩(wěn)定可靠。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

圖4 最小二乘配置模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法模型預(yù)測(cè)誤差

圖6 最小二乘配置模型預(yù)測(cè)誤差

表1 預(yù)測(cè)精度統(tǒng)計(jì)表(μm)

4 結(jié)論

本文針對(duì)OMM系統(tǒng)的預(yù)行程誤差補(bǔ)償問(wèn)題，提出了一種基于最小二乘配置法的誤差預(yù)測(cè)模型。通過(guò)采用空間平方根函數(shù)作為先驗(yàn)協(xié)方差，確保了該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果能夠綜合考慮到預(yù)行程誤差的空間相關(guān)性。同時(shí)設(shè)計(jì)了與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了本文方法對(duì)預(yù)行程誤差預(yù)測(cè)結(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，基于最小二乘配置法的預(yù)測(cè)模型適用于非線性且具有一定空間相關(guān)性的對(duì)象，能夠提高預(yù)測(cè)結(jié)果的精度和可靠性。該方法也可應(yīng)用于CMM(三坐標(biāo)機(jī))的測(cè)量系統(tǒng)誤差補(bǔ)償， 將在今后的工作中做進(jìn)一步的研究。