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妙用函數(shù)單調(diào)性高效解題

2021-08-05 09:22:52高四紅
數(shù)理化解題研究 2021年19期
關(guān)鍵詞:移項(xiàng)解方程換元

高四紅

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

一、引言

函數(shù)一直以來(lái)都是考查的重點(diǎn),很多時(shí)候,其相關(guān)試題看似難度較大,但是只要認(rèn)真掌握相關(guān)特征規(guī)律,在解題時(shí)若能正確合理地運(yùn)用,會(huì)使得解題過(guò)程高效簡(jiǎn)潔.下面筆者結(jié)合實(shí)例來(lái)談?wù)勥\(yùn)用函數(shù)單調(diào)性高效解題.

二、實(shí)例分析

1.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解方程

評(píng)注此類方程很多同學(xué)覺(jué)得頭疼,會(huì)直接考慮移項(xiàng),兩邊平方去根號(hào)的策略進(jìn)行解決,這樣可以解出想要的結(jié)果,但也勢(shì)必造成解題效率低下,本題應(yīng)基于函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行考慮,結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行處理,這樣可以大大減少計(jì)算量,并且巧妙地避免了討論及利用平方可能帶來(lái)的增根檢驗(yàn)問(wèn)題,達(dá)到簡(jiǎn)潔高效的效果.

例2解方程5x+12x=13x.

評(píng)注此題的難點(diǎn)在于證明其解的唯一性.很明顯x=2是該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解,但是通過(guò)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是解答此題的思維痛點(diǎn),在巧妙利用單調(diào)性的基礎(chǔ)上,該題得到了完美的解決,數(shù)學(xué)的美感得到了很好的詮釋.

2.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解不等式

例3對(duì)任意的a>0且a≠1,求不等式(2logax+3)3>(logax)3-3(logax)2+logax2-5的解集.

解析很明顯的換元套路,令t=logax,那么該不等式變?yōu)?2t+3)3>t3-3t2+2t-5,進(jìn)一步變形為(2t+3)3+(2t+3)>(t-1)3+(t-1),下面考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+x,求導(dǎo)得f′(x)=3x2+1>0,那么該函數(shù)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,所以2t+3>t-1,解得t>-4,所以logax>-4,logax>logaa-4,若a>1,解得x>a-4;若0

評(píng)注此題在對(duì)數(shù)函數(shù)換元時(shí),同學(xué)們應(yīng)該注意到由于對(duì)數(shù)函數(shù)的值域是(-∞,+∞),所以不用對(duì)t進(jìn)行變化范圍限制,此處雖然無(wú)需進(jìn)行限制,但是更多的時(shí)候,換元之后會(huì)發(fā)生新變量的定義域變更,這點(diǎn)值得注意.換元之后產(chǎn)生了本題最大的難點(diǎn),將函數(shù)移項(xiàng)整體配方成想要的形式,為什么會(huì)想到配方?主要考慮將整個(gè)式子單純地展開(kāi)成一個(gè)三次不等式,其計(jì)算量也是巨大的,很可能最后不了了之,導(dǎo)致放棄.換個(gè)角度思考,如果直接是考查同學(xué)們的三次不等式的計(jì)算問(wèn)題,難么就沒(méi)有必要設(shè)置(2t+3)3的形式,所以這就是本題的重要的突破口.緊接著要構(gòu)造函數(shù),結(jié)合單調(diào)性迅速解題,最后還要對(duì)a進(jìn)行分類討論,再得出最后結(jié)果.所以此題不僅要求大家具備良好的敏銳的數(shù)學(xué)眼光,還要求大家具備精細(xì)的思考分析能力.

評(píng)注此題主要是考查學(xué)生的觀察能力,切不可直接硬算,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)交雜在一起,一般方程都是解不出來(lái)的,只能巧妙利用奇偶性與單調(diào)性進(jìn)行求解.

3.運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求值

解析由已知條件,得(2x-1)2021+2020(2x-1)=(1-2y)2021+2020(1-2y).

考慮構(gòu)造函數(shù):f(t)=t2021+2020t,顯然該函數(shù)為奇函數(shù)且在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

所以必有2x-1=1-2y,解得x+y=1.

評(píng)注觀察結(jié)構(gòu)具有高度的對(duì)稱性,排除直接解方程的思路,注意到兩式相加等于0,而且具有很明顯的換元導(dǎo)向,在換元后的式子中有明顯的奇函數(shù)特點(diǎn),結(jié)合單調(diào)性即得出答案.

評(píng)注關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)都在于配方,此題在指對(duì)互化上面的考查也相對(duì)較多,在函數(shù)單調(diào)性與變形巧妙的配合下將看似沒(méi)有關(guān)系的變量進(jìn)行了連接,這就是數(shù)學(xué)的內(nèi)在美!

4.運(yùn)用單調(diào)性求分段函數(shù)范圍問(wèn)題

解析畫(huà)出此分段函數(shù)草圖,顯然該函數(shù)是在整個(gè)(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.構(gòu)造新的函數(shù):F(x)=f(x)+f(2x+1),那么這也是一個(gè)在(-∞,+∞)的增函數(shù),而F(0)=f(0)+f(1)=3,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知x的范圍是(0,+∞).

評(píng)注該分段函數(shù)如果直接進(jìn)行分類考慮,要考慮三種不同情形,整個(gè)題目運(yùn)算量相當(dāng)大!此種解法直接考慮整體法,新函數(shù)依舊是增函數(shù),巧妙避免了分類討論,使得解題效率得到有效提高.

評(píng)注該題設(shè)計(jì)看似復(fù)雜,既有絕對(duì)值還有對(duì)數(shù)形式,容易產(chǎn)生畏難情緒.但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)該函數(shù)具有奇偶性,從而有效避免分類討論,題干之中的形式實(shí)際上不參與直接代入運(yùn)算,成功避開(kāi)了復(fù)雜運(yùn)算的困境.

5.利用函數(shù)單調(diào)性做證明題

例9設(shè)0≤a≤1,0≤x≤π,證明:(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0.

證明①當(dāng)a=0或a=1或x=0或x=π時(shí)不等式顯然成立.

評(píng)注該題的第一個(gè)難點(diǎn)就是題目不僅僅是一個(gè)變量,而是雙變量,無(wú)形中給學(xué)生帶來(lái)了巨大的壓力;其次應(yīng)優(yōu)先考慮特殊情況,再來(lái)考慮一般情況,這里很好地保證了移項(xiàng)相除時(shí)候的正確性,也從另一方面體現(xiàn)了特殊到一般的數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程,最后是配方的時(shí)候兩邊同除以x,這一步也很關(guān)鍵,這樣才能很好地構(gòu)造出所需函數(shù),再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行論證.精心思考,很多時(shí)候會(huì)撥開(kāi)云霧見(jiàn)真章.

大家做題的時(shí)候需要有一個(gè)勇敢的心!很多題仔細(xì)分析后思路會(huì)從模糊變得越來(lái)越清晰,掌握好基本題型,審慎分析,提高其實(shí)并不難.

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