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一道2020年高考圓錐曲線試題的探究與推廣

2021-08-05 09:48:24喻秋生
數(shù)理化解題研究 2021年10期
關鍵詞:過點中點切線

喻秋生

(廣東省深圳實驗學校高中部 518055)

一、問題的提出

2020年高考(北京卷)第20題是求值問題,該試題如下:

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖1,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+4),

把y1=k(x1+4),y2=k(x2+4)代入上式化簡,得

在這道試題中,橢圓C是給定的橢圓,點A、B分別是橢圓C、x軸上的特殊點,通過計算發(fā)現(xiàn)點B為PQ的中點.如果橢圓C是任意的橢圓,點A、點B分別是橢圓C、x軸上的任意點,是否仍然有對任意過點B的直線l,都使得點B為PQ的中點這一結論呢?

二、問題的探究

當直線l垂直于x軸且與橢圓有交點時,點P,Q即為M,N,點B為PQ的中點.

∵m-x0≠0,2y0,m-x0為常數(shù),

∵y1=k(x1-m),y2=k(x2-m),

在結論1中,點B在x軸上,如果點B在y軸上,可以得出下面的結論,證明過程略.

在圓中,經研究也有類似的結論:

結論3 已知圓C:x2+y2=r2,點A(x0,y0)在圓C上,過點B(m,0)(m≠x0)的動直線l與圓C交于M,N,直線MA,NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P,Q.當且僅當mx0=r2,即直線AB為圓C的切線時,點B為PQ的中點.

三、問題的推廣

如果曲線C為雙曲線或拋物線,經研究也有類似的結論:

結論6 已知拋物線C:y2=2px,點A(x0,y0)在拋物線C上,過點B(m,0)(m≠x0)的動直線l與拋物線C交于M,N,直線MA,NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P,Q.當且僅當m+x0=0,即直線AB為拋物線C的切線時,點B為PQ的中點.

上面三個結論的證明與結論1的證明類似,證明過程略.

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