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兩個絕對值不等式命題及其應用

2021-08-05 09:48:32孫艷梅劉才華
數(shù)理化解題研究 2021年10期
關鍵詞:人教充分性等價

孫艷梅 劉才華

(山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

給出三個函數(shù)f(x),g(x),F(x),其絕對值之間的大小關系,有如下:

命題1 |f(x)|+|g(x)|≤F(x)的充要條件是|f(x)+g(x)|≤F(x)且|f(x)-g(x)|≤F(x).

證明:充分性

若f(x)g(x)<0,則|f(x)|+|g(x)|=|f(x)-g(x)|≤F(x);

若f(x)g(x)≥0,則|f(x)|+|g(x)|=|f(x)+g(x)|≤F(x).充分性得證.

必要性

由|f(x)+g(x)|≤F(x)得|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x);由|f(x)-g(x)|≤F(x)得

|f(x)-g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|≤F(x).必要性得證.

于是命題1得證.

命題2 |f(x)|+|g(x)|≥F(x)的充要條件是|f(x)+g(x)|≥F(x)或|f(x)-g(x)|≥F(x).

證明:充分性

若|f(x)+g(x)|≥F(x),則|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)+g(x)|≥F(x);

若|f(x)-g(x)|≥F(x),則|f(x)|+|g(x)|≥|f(x)-g(x)|≥F(x).充分性得證.

必要性

若f(x)g(x)<0,則|f(x)-g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x);

若f(x)g(x)≥0,則|f(x)+g(x)|=|f(x)|+|g(x)|≥F(x).必要性得證.

于是命題2得證.

含有兩個絕對值的不等式問題,是高中數(shù)學選修4-5中的重要內(nèi)容,也是高考的重點內(nèi)容.對于絕對值不等式的解法,常用“零點分析法”去掉絕對值,化歸為若干個不等式組問題,原不等式的解集是這些不等式組解集的并集.若利用上述兩個命題解絕對值不等式,可操作性強,過程簡潔明快.下面我們通過幾道題目加以說明.

例1(人教B版選修4-5第14頁例2)解不等式|x+2|+|x-1|<4.

例2(2015年全國Ⅰ卷理科第24題)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.

(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的面積大于6,求a的取值范圍.

解(1)當a=1時,不等式f(x)>1等價于|x+1|-2|x-1|>1,即|x+1|>|2x-2|+1.

(2)解答略.

例3已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)當a=-2時,求不等式f(x)

(2)解答略.

例4 (人教A版選修4-5第17頁例5)解不等式|x-1|+|x+2|≥5.

解由命題2得|2x+1|≥5或3>5,解得x≤-3或x≥2,所以不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}.

例5(2015年山東卷理科第5題)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ).

A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5)

解|x-1|-|x-5|<2化歸為|x-1|<|x-5|+2.由命題2得|x-3|>|x-1|或|x-7|>|x-1|,解得x<2或x<4,所以不等式的解集為(-∞,4).選擇答案A.

例6(2012年全國Ⅰ卷理科第24題)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)當a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍

解(1)當a=-3時,不等式f(x)≥3等價于|x-3|+|x-2|≥3.由命題2得|2x-5|≥3或1≥3,解得x≤1或x≥4,所以不等式的解集為{x|x≤1或x≥4}.

(2)解答略.

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