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從“乘1法”到待定系數(shù)法

2021-08-05 09:48:52謝賢祖
數(shù)理化解題研究 2021年10期
關(guān)鍵詞:柯西式子例題

謝賢祖

(廣東省汕尾市華南師大附中汕尾學(xué)校 516600)

一、問題起源

題4(造1法)已知a,b∈R+,a+3b=5ab,求3a+4b的最小值.

評注這道題考查得更加隱蔽,沒有直接給出條件“1”,所以需要我們主動利用sin2x+cos2x=1來幫忙解題,最終使基本不等式得以使用,值得注意的是要驗證取等條件,確保使用兩次基本不等式后等號可以同時成立.下面再看一個“加1法”的升級版.

二、擴展延伸

由前面的例題展示,可以發(fā)現(xiàn)“用1”法的具體使用方向可以是:加、減、乘、除、代、造,尤其是“加n法”,其實就是待定系數(shù)版的基本不等式,更是解決競賽不等式的利器.在遇到用基本不等式求最值的陌生題目,條件有出現(xiàn)“1”時,我們都可以嘗試一下這些解題方向,不應(yīng)該只局限于“乘1法”,遇到困難再切換方法.其實“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置,只要對我們的解題有簡化作用,都可以嘗試一下,下面繼續(xù)舉例說明.

評注正如前文總結(jié),“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置,只要對我們的解題有簡化作用,如果一種方法遇到困難,我們需要繼續(xù)調(diào)整策略,直至解題成功.下面再看一個用“代1法”來分析不等式的例子.

=0.

評注“1”可以去到目標(biāo)式子里的任何位置,把“1”代入不等式中的一次項是為了實現(xiàn)“齊次化”,使得不等式的各項次數(shù)統(tǒng)一,容易化簡.

受到前面題6的啟發(fā),可以考慮使用“加n法”.

原式

三、方法升級

前面的例題,筆者更多的是展示“加n法”,而且都是往縮小的方向使用平均值不等式,其實待定系數(shù)法的思想(也叫“平衡系數(shù)法”)在不等式中的應(yīng)用很廣泛,不應(yīng)該只局限于前文所展示的這些方法.下面舉例說明,繼續(xù)發(fā)散思維,希望對讀者有所幫助.

待定系數(shù)法還可以用到柯西不等式中.設(shè)x,y>0且x2+y2=1,

由柯西不等式得

≥a+ax+by=(1+x)a+yb

為了能夠使用條件2a+b=2,使得(1+x)a+yb為定值,令(1+x):y=2:1,結(jié)合x2+y2=1,

四、總結(jié)反思

通過前面這一系列從易到難的例題展示,我們可以總結(jié)“用1法”的具體使用方向是:加、減、乘、除、代、造等等,還有待定系數(shù)法的作用更是強大,可以為我們解決最值問題指明方向,但一定要小心確認(rèn)一下取等條件是否合理,以上的每道例題筆者都親自計算確認(rèn)無誤,限于篇幅,驗證取等條件的過程被筆者舍去,讀者可以自行驗證.

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