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借助函數(shù)思想 解答數(shù)學(xué)難題

2021-08-05 09:49:16戴涓涓
數(shù)理化解題研究 2021年10期
關(guān)鍵詞:解方程難題向量

戴涓涓

(江蘇省南通市海門四甲中學(xué) 226100)

函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種慣用思想方法,運(yùn)用函數(shù)思想處理的題目往往有著共同屬性,那就是定量和變量之間的聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,函數(shù)思想占據(jù)著異常重要的地位,教師可根據(jù)題目實(shí)際情況指導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)思想,使其將函數(shù)的性質(zhì)與解題當(dāng)作主要解題思路,把兩種不相干的知識聯(lián)系在一起,促使他們快速、正確的解答數(shù)學(xué)難題.

一、借助函數(shù)思想解答方程難題

高中生從小學(xué)時(shí)期就開始接觸到方程求解類的題目,一開始難度一般,隨著教育階段的提升,解方程的難度系數(shù)越來越高,對他們的知識基礎(chǔ)與思維方式也要求更高.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,方程問題的困難程度與復(fù)雜性為學(xué)生帶來一定的困擾,教師可指導(dǎo)他們借助函數(shù)思想解答方程難題,根據(jù)方程中的未知量和已知量建立函數(shù)關(guān)系,使其迅速理清解題思路.

例1在求解方程lgx+x=2時(shí),已知方程的一個(gè)解是x1,10x+x=2的解是x2,求解x1+x2的值.

解析假如按照常規(guī)方程法需對兩個(gè)式子分別解答,直接處理指數(shù)函數(shù)10x與對數(shù)函數(shù)lgx的計(jì)算量比較大,教師應(yīng)指引他們仔細(xì)觀察這兩個(gè)方程式的基本結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)能使用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)求出答案.又如:解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.分析:題目中是一個(gè)一元五次方程,先變形再采用函數(shù)性質(zhì)解決起來比較容易.解:原式變形(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x,因?yàn)楹瘮?shù)f(t)=t5+4t在R上單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(x2-x+1)=f(x),則x2-x+1=x,解得x=1,即原方程有唯一實(shí)數(shù)解為x=1.

在高中數(shù)學(xué)處理方程問題時(shí),學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想通??梢员憬?、快速的求出答案,使他們解題思路變得清晰起來,不僅能夠降低解方程的難度,還可以提升解方程的質(zhì)量與效率.

二、用函數(shù)思想解答不等式難題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的不等式問題,一般是通過>、≥、<、≤等數(shù)學(xué)符號建立的不平等邏輯關(guān)系式,在高考中也占據(jù)著一定的分值.面對不等式中的難題,高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)思想建立出合理的函數(shù)邏輯關(guān)系,把不等式問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)問題,再通過解方程的常規(guī)手段將不等式的右半部分變成0,最后求出不等式的左半部分,輔助他們解答難題.

例2已知a、b、c∈R,且它們的絕對值均比1小,求證ab+bc+ca+1≥0.

解析學(xué)生在看到這道題目時(shí),往往只關(guān)注已知條件,發(fā)現(xiàn)無從下手,假如換一個(gè)角度分析,利用函數(shù)思想把證明ab+bc+ca+1≥0轉(zhuǎn)化成函數(shù)中的性質(zhì),他們就能夠很輕松的解決.具體證明方法如下:設(shè)f(a)=ab+bc+ca+1,得到一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù),因?yàn)閍、b、c∈[-1,1],所以f(1)=b+bc+c+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0,f(-1)=-b+bc-c+1=-b(1-c)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0,得知f(a)在[-1,1]上恒為負(fù)數(shù),則ab+bc+ca+1≥0.

上述案例,處理該題的關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生要具有一定的函數(shù)意識,他們通過函數(shù)思想的應(yīng)用構(gòu)建出一次函數(shù)模型,使其根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)展開證明,最終準(zhǔn)確解答這一難題.

三、運(yùn)用函數(shù)思想解答數(shù)列難題

數(shù)列本身就可以看成一類特殊的函數(shù),由于數(shù)列內(nèi)含有具有一定規(guī)律的數(shù)字,解題時(shí)運(yùn)用函數(shù)思想,把每一項(xiàng)都看作函數(shù)的量,借助函數(shù)思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此順利求解.高中生在處理數(shù)列類難題時(shí)采用函數(shù)思想,應(yīng)當(dāng)將數(shù)列看作一個(gè)函數(shù),列出相應(yīng)的通項(xiàng)公式,結(jié)合函數(shù)中已知量與未知量之間的關(guān)系建立出函數(shù)邏輯關(guān)系,輔助他們實(shí)現(xiàn)求解的目標(biāo).

例3已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m,前m項(xiàng)和Sm=n(m≠n),求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

解析教師可指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想來分析等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn滿足的關(guān)系從函數(shù)視角出發(fā),這是一個(gè)必過點(diǎn)(0,0)的二次函數(shù),抓住等差數(shù)列求和公式是一種特殊的二次函數(shù)這函數(shù)思想,將m+n看成一個(gè)整體,簡化數(shù)列的運(yùn)算量,使其找到突破口.具體解法如下:

設(shè)Sn=An2+Bn(n∈N*),則得到Am2+Bm=n①,An2+Bn=m②,①-②得到A(m2-n2)+B(m-n)=n-m,由于題目指出m≠n,則A(m+n)+B=-1,A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),所以得到Sm+n=(m+n).

針對上述案例,在解決數(shù)列類問題過程中,教師可以引領(lǐng)學(xué)生借助函數(shù)思想來分析和解答,把復(fù)雜的題目變得簡便化,使其通過認(rèn)真觀察高效、輕松的解題,突破數(shù)列難題的困擾.

四、應(yīng)用函數(shù)思想解答幾何難題

函數(shù)思想指的是運(yùn)用函數(shù)概念與性質(zhì)分析、轉(zhuǎn)變與求解題目,在高中數(shù)學(xué)知識體系中,解析幾何是也是一大難點(diǎn),其中求范圍和最值問題不僅常見,還不易解答.這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可以引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想來思考解析幾何問題,使其從函數(shù)性質(zhì)推理、判斷題目中存在的某些的函數(shù)關(guān)系,幫助他們確定正確的解題思路,從而有效降低解析幾何題目的難度.

在上述案例中,學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題的命題背景是分式函數(shù),轉(zhuǎn)化后處理成基本對勾函數(shù)或不等式模型,題目由雙變量變成單變量,這是解題的關(guān)鍵所在.

五、采用函數(shù)思想解題向量難題

平面向量指的是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量,與普通的標(biāo)量相比抽象難懂,而且高中生是初次接觸平面向量,不僅理論知識學(xué)習(xí)起來難度較大,他們在解題過程中更是困難重重,極易遇到障礙.為幫助學(xué)生正確解答平面向量難題,教師可引導(dǎo)他們采用函數(shù)思想分析題干內(nèi)容,理清題目中已知條件與未知條件之間的關(guān)系,使其解決難題、求出答案.

學(xué)生使用函數(shù)思想這一“代數(shù)法”解題,主要考察化歸、轉(zhuǎn)化及信息遷移能力,解題關(guān)鍵在于把向量問題變成三角函數(shù)問題,建立出x+y的對應(yīng)函數(shù)式,輕松獲得答案.

總而言之,在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中,隨著知識難度與深度的提升,題目難度系數(shù)也隨之增加,學(xué)生遇到難題的概率越來越高,教師需引導(dǎo)他們學(xué)會使用函數(shù)思想分析與處理題目,使其合理轉(zhuǎn)化解題思路,找出便捷、高效的解題方法.

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