李 俊
(云南省玉溪市江川區(qū)第一中學(xué) 652600)
近幾年各地高考數(shù)學(xué)試卷中,許多涉及函數(shù)選擇題或填空題的題目,可采用構(gòu)造函數(shù)法進(jìn)行解答.所謂構(gòu)造函數(shù)法是指通過一定方式,設(shè)計并構(gòu)造一個與有待解答問題相關(guān)的函數(shù),通過觀察分析,借助函數(shù)本身的性質(zhì),如單調(diào)性或利用運算結(jié)果,解決原問題的方法.簡而言之就是構(gòu)造函數(shù)解答問題.如何合理地構(gòu)造函數(shù)就成為了問題的關(guān)鍵,這里我們就這方面問題探討一下.
例1已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,且對任意x∈R,都有f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( ).
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
解析構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-2x-4,所以h′(x)=f′(x)-2,由于對任意x∈R,f′(x)>2,所以h′(x)=f′(x)-2>0恒成立,所以h(x)=f(x)-2x-4是R上的增函數(shù),又由于h(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以h(x)=f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4的解集為(-1,+∞),故選B.
點評對于f′(x)>a(a≠0),可構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-ax.
點評對于f′(x)+f(x)>0,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=exf(x).
例3已知f(x)>0為f(x)<0上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)>x,均有f(x) A.e2016f(-2016) B.e2016f(-2016) C.e2016f(-2016)>f(0),f(2016)>e2016f(0) D.e2016f(-2016)>f(0),f(2016) 例4若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf′(x)+f(x)>0恒成立,對任意正數(shù)a、b,若a A.af(b) C.af(a) 解析由已知xf′(x)+f(x)>0可構(gòu)造函數(shù)h(x)=xf(x),則h′(x)=xf′(x)+f(x)>0,從而h(x)在R上為增函數(shù).因為a 點評對于xf′(x)+f(x)>0,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=xf(x). 例5已知f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)≤0,對任意正數(shù)a、b,若a A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.bf(b)≤af(a) 故選A. 例6設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,下面不等式恒成立的是( ). A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>xD.f(x) 解析由已知,首先令x=0得f(x),排除B,D. 令h(x)=x2f(x),則h′(x)=x[2f(x)+xf′(x)] 綜上f(x)>0,故選A. 點評對于xf′(x)+nf(x)≥0,可構(gòu)造函數(shù)h(x)=xnf(x). 例7設(shè)函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且xf′(x)-2f(x)>0,下列不等式成立的是( ). 例8設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),f′(x)、g′(x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,則當(dāng)a A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a) 解析構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x),則h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,所以函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在R上為減函數(shù),因為xf(b)g(b),故選C. 點評對于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x). 例9設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]上均可導(dǎo),且f′(x) A.f(x)>g(x) B.f(x) C.f(x)+g(a) 解析構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則h′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上為減函數(shù),因為a 點評對于f′(x)-g′(x)>0或f′(x)+g′(x)>0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)或h(x)=f(x)+g(x). 在平時的教學(xué)中,我們要勤于積累,善于總結(jié),熟練掌握導(dǎo)數(shù)四則運算,通過對題目的分析,根據(jù)題目的不同形式在解題中合理巧妙地構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)這一工具進(jìn)行合理計算,使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成熟悉而簡單的問題,進(jìn)而找到問題解決的突破口! 模型總結(jié)關(guān)系式為“加”型 (1)f′(x)+f(x)≥0,構(gòu)造h(x)=exf(x),則h′(x)=[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)]. (2)xf′(x)+f(x)≥0,構(gòu)造h(x)=xf(x),則h′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x). (3)xf′(x)+nf(x)≥0,構(gòu)造h(x)=xnf(x),則h′(x)=[xnf(x)]′=xnf′(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)]. 關(guān)系式為“減”型