李曉軍，劉荊輝

（同濟大學土木工程學院，上海 200092）

當前的富水巖石隧道大多采用設有防排水系統(tǒng)的復合式襯砌［1］。在復合式襯砌防排水系統(tǒng)的設計過程中，隧道涌水量是一項重要參數(shù)［2］，同時襯砌外水壓力是復合式襯砌設計中的一項重要荷載［3-4］，而涌水量和外水壓力與襯砌的滲透系數(shù)密切相關［5-6］。土工布是隧道防排水系統(tǒng)的重要部分［7］，地下水因土工布中的滲流阻力而導致其滲流速度降低［8］，環(huán)向排水管間距和防水板也是影響涌水量和襯砌外水壓力的重要因素［9-10］。忽視這些因素的影響就會導致預測計算結果與實測結果存在一定差距［9］。因此，如何考慮土工布、環(huán)向排水管和防水板因素以及如何準確確定復合式襯砌的滲透系數(shù)是襯砌外水壓力和隧道涌水量計算的關鍵［9，11］。

復合式襯砌包含初襯和二襯2層襯砌，地下水通過兩者之間的排水系統(tǒng)進入隧道［10］。目前隧道涌水量和襯砌外水壓力的計算通常將復合式襯砌簡化為單層均質透水襯砌，其滲透系數(shù)不考慮排水管、防水板的作用［10，12］。Arjnoi等［13］假定復合式襯砌為單層均質透水襯砌，分析了不同排水方式下的圍巖滲流場分布。Ying等［14］基于單層襯砌推導出適用于均質圍巖的涌水量和襯砌外水壓力解析解。張祉道［15］、Wang等［16］采用簡化的單層襯砌滲流模型，提出了包含注漿圈的涌水量和外水壓力公式。于麗等［17］以泄水型管片襯砌為對象，分析了圍巖滲透系數(shù)、隧道排水率等因素對襯砌外水壓力的影響。Maleki［18］根據(jù)單層襯砌的假定提出一個全新的隧道涌水量解析式。以上方法中的單層透水襯砌的滲透系數(shù)大多根據(jù)試驗或經(jīng)驗確定，未能準確考慮隧道防排水系統(tǒng)的影響。為此，一些學者嘗試采用數(shù)值法來考慮復合式襯砌滲透特性。Shin等［19］采用數(shù)值法模擬了考慮防排水系統(tǒng)的復合式襯砌與圍巖中的滲流場，提出了襯砌外水壓力的計算方法；趙樂［20］采用FLAC（fast Lagrangian analysis of continua）軟件模擬了復合式襯砌中的滲流，分析了泄水孔縱向間距對襯砌外水壓力的分布規(guī)律。趙啟超［21］采用數(shù)值法分析了兩側邊溝排水條件下的襯砌外水壓力分布特征。以上數(shù)值法在考慮復合式襯砌滲透特性過程中，建模計算以及結果獲取都較復雜，耗費時間長，難以在工程中應用。因此，在涌水量與外水壓力計算過程中，部分學者提出采用襯砌滲透系數(shù)的量化修正方法［12］或者等效滲透系數(shù)［22］對復合式襯砌滲透特性進行修正來考慮防排水系統(tǒng)因素。鄭波等［22］提出了復合式襯砌等效滲透系數(shù)的簡化計算方法，將設有防水板和排水管的復合式襯砌滲透特性用等效滲透系數(shù)來表示。丁小平等［12］根據(jù)隧道涌水量相等的原則對復合式襯砌的滲透系數(shù)進行量化修正。李宗利等［4］應用深埋隧道滲流場對隧道透水性復合式襯砌環(huán)的滲透系數(shù)合理取值進行了探討。以上學者對復合式襯砌滲透系數(shù)的計算與修正做了初步探討和應用，但未提出該參數(shù)通用的計算公式，同時沒有完全考慮防排水系統(tǒng)中的土工布、環(huán)向排水管、防水板因素，導致以上方法在實際工程的涌水量和襯砌外水壓力的預測計算中仍難以應用。

通過隧道復合式襯砌滲流模型的建立，推導了復合式襯砌的滲透系數(shù)計算公式，該公式通過對復合式襯砌中初襯滲透系數(shù)的修正來考慮防排水系統(tǒng)中的土工布、防水板、環(huán)向排水管因素。對推導的公式分別采用數(shù)值法和模型退化方法進行了驗證，并對修正的初襯滲透系數(shù)進行了應用計算和影響規(guī)律分析。

1 基本理論與公式推導

1.1 復合式襯砌滲流模型

復合式襯砌滲流模型包含初襯、土工布、排水系統(tǒng)、防水板和二襯，如圖1所示。

在復合式襯砌滲流模型中，地下水滲流路徑從圍巖開始，經(jīng)初襯、土工布再到環(huán)向排水管，該階段的地下水滲流滿足達西定律和質量守恒定律。進入環(huán)向排水管的地下水經(jīng)縱向、橫向排水管匯流排入隧道邊溝或中心管，由于該階段的水流非達西流，因此復合式襯砌模型的滲流過程只需考慮排水系統(tǒng)的環(huán)向排水管。模型中滲入襯砌的所有地下水最后全部由環(huán)向排水管排出而忽略裂縫滲漏的影響，環(huán)向排水管作為最終集水設施，不存在局部將部分水排出的情況，因此對于模型中的任意局部單元，流入量都等于流出量。相比于已有模型，本模型完全考慮了復合式襯砌中的土工布、環(huán)向排水管和防水板因素。圖1中：r0為二襯內徑，r1為初襯內徑，r2為初襯外徑；h（z）為初襯內側處水頭，h2為初襯外側處水頭；k1為初襯滲透系數(shù)，kz為土工布滲透系數(shù)；L1為環(huán)向排水管間距。

對本模型作如下假定：

（1）地下水服從質量守恒定律，即由圍巖進入初襯、土工布再到環(huán)向排水管的滲流量都相等，并且進入隧道的涌水全部經(jīng)由環(huán)向排水管排出，忽略襯砌裂縫、接縫的漏水影響（流入初襯的地下水全部經(jīng)環(huán)向排水管流出，不考慮縫隙漏水，即在初襯和土工布介質中流入量等于流出量，滿足Laplace方程［14，23］）。

（2）隧道圍巖與襯砌均質連續(xù)、各向同性，地下水從圍巖徑向均勻透過初襯（當隧道埋深較大且地下水位較高時，隧道拱頂處與仰拱處的水頭差異很?。ǖ叵滤辉礁撸町愒叫。?，此時認為兩者水頭相等，那么整個隧道圈外側的水頭相等，因此地下水均勻徑向透過初襯［16］），并且在初襯和土工布中的滲流滿足達西定律，如圖2所示。

（3）土工布中的地下水均勻滲入環(huán)向排水管。在土工布中，從2條環(huán)向排水管中間位置到其中一條環(huán)向排水管處的水頭壓力服從線性分布，并且環(huán)向排水管內的水壓為零（隧道排水管最終與大氣相通，因此排水管內水壓為零［9，20］；根據(jù)防排水系統(tǒng)的設計布置可知，土工布內位于2條環(huán)向排水管中間位置處的水壓最大［24］），如圖2c所示。

圖2 復合式襯砌中的滲流Fig.2 Seepage details in composite lining

如圖2a所示，以隧道中心為原點在襯砌橫斷面上建立極坐標。圖2b中，q為地下水從土工布滲入環(huán)向排水管的滲流速度。當圍巖與襯砌均質連續(xù)、各向同性，地下水滲流穩(wěn)定并滿足達西定律時，地下水在圍巖和襯砌中的滲流過程滿足Laplace方程［9，14，23］，如下所示：

式中：h為滲流場中的全水頭，等于位置水頭與壓力水頭之和；r為隧道半徑；θ為極坐標角度。

當隧道埋深較大且地下水位較高時，隧道拱頂處與仰拱處的水頭差異很小，可認為兩者水頭相等，那么整個隧道圈外側的水頭相等，則地下水均勻徑向透過初襯［16］（即模型假定（2））。當?shù)叵滤畯较蚓鶆驖B入初襯時，有則方程（1）簡化為

由圖1可知，滲流模型的3個邊界條件分別為：BC1（初襯外徑處）、BC2（初襯內徑處）和BC3（二襯內徑處）。

1.2 公式推導

1.2.1 復合式襯砌中的滲流

根據(jù)滲流模型（見圖2c），將隧道軸向長度L1范圍內（環(huán)向排水管的中心到其兩側的中點位置）的一段復合式襯砌定義為一個計算單元（包含環(huán)向排水管、土工布和防水板），依據(jù)該計算單元進行公式推導。

（1）初襯中的滲流

在復合式襯砌的初襯中，滲流路徑如圖2所示。根據(jù)模型假定（1）和（2）以及式（1），并根據(jù)Bear［25］、張祉道［15］和Wang等［16］的研究，滲透半徑為r的每延米滲流量

式中：i為水力梯度；A為每延米初襯滲流環(huán)的面積，A=2πr。

根據(jù)模型假定（2）和（3），從環(huán)向排水管到2條環(huán)向排水管中間處的水頭服從線性分布。設2條環(huán)向排水管中間處的水頭為hz，那么當0＜z＜L1/2時，加載在防水板上的水頭

取一段軸向長度為dz、環(huán)向長度為dθ的初襯微元，則透過該微元進入土工布的滲流量

對式（6）積分（邊界為-L1/2＜z＜L1/2，0＜θ＜2π），得到由初襯滲入土工布的每延米滲流量Q1，計算式如下所示：

（2）土工布中的滲流

根據(jù)模型假定（2）和（3），對于弧長為dθ且縱向寬度為L1的土工布微元，在該微元中滲入環(huán)向排水管的滲流速度為q，則有

式中：t為土工布厚度。從土工布滲入環(huán)向排水管的每延米滲流量

結合式（7）和式（9），可得

1.2.2 未考慮排水系統(tǒng)初襯中的滲流

對于未考慮復合式襯砌的排水系統(tǒng)，以往簡化為單層襯砌的滲流模型［15-16］，如圖3所示。地下水在單層襯砌中的滲流滿足控制方程式（2），同時滿足方程（4），而且邊界條件為r1＜r＜r2，0＜h＜h*2，其中為單層襯砌模型的襯砌外水壓力。

圖3 未考慮排水系統(tǒng)的單層襯砌滲流模型Fig.3 Single-layer lining seepage model without considering drainage system

根據(jù)前人［15-16］的研究結果，未考慮復合式襯砌中防排水系統(tǒng)的單層襯砌滲流量

式（10）和式（11）分別為考慮與未考慮防排水系統(tǒng)的涌水量與襯砌外水壓力數(shù)學關系式，基于2種條件下的涌水量相等和總水頭降落與各分層水頭降落之和（表征為襯砌平均內外水壓力）的相等原則（即Q1=Q2=Qw*，h2=h*2），對未考慮防排水系統(tǒng)的初襯滲透系數(shù)進行修正。設復合式襯砌滲透系數(shù)為k0，根據(jù)式（10）、（11）可得k0的計算式為

式中：λ為初襯滲透系數(shù)的修正系數(shù)。

2 公式驗證

以下將從模型退化方法和數(shù)值法2個方面，對復合式襯砌的滲透系數(shù)計算式（12）進行驗證。

2.1 模型退化方法驗證

相比于現(xiàn)有復合式襯砌滲透特性研究，本修正公式考慮了環(huán)向排水管、土工布和防水板因素，因此采用模型退化方法［26-27］對修正公式進行驗證，即先對提出的修正公式求極限，將公式退化成不考慮這些因素的一般情況，然后與考慮這些因素的一般特征進行差異對比。當退化后的公式與當前隧道一般特征相同或者差異很小時，則公式得以驗證。本修正公式考慮了土工布、環(huán)向排水管與防水板因素，以下模型退化驗證也將從對應參數(shù)下所有極限條件的退化展開。

（1）環(huán)向排水管間距趨于無限大

當環(huán)向排水管間距L1趨于無限大時，相當于隧道復合式襯砌沒有設置環(huán)向排水管，滲透系數(shù)計算式（12）退化為

式（14）表明，當環(huán)向排水管間距趨近無限大時，修正后的襯砌滲透系數(shù)趨近于零，即相當于復合式襯砌退化為不透水襯砌。該結果與復合式襯砌的防排水機制相符［24］，即透過初襯的地下水在防水板和二襯的防水作用下，只能通過環(huán)向排水管流出，而如果沒有設置環(huán)向排水管，則相當于隧道采用不透水的全封堵方式［19］防水，即修正后的襯砌滲透系數(shù)為零。以上分析進一步說明全封堵型隧道［5，19］襯砌滲透特性為式（12）的特例。

（2）環(huán)向排水管間距趨于零

當環(huán)向排水管間距L1無限趨近于零時，式（12）退化為

式（15）與該條件下復合式襯砌的防排水機制［24］相一致，即當環(huán)向排水管的間距無限趨近于零時，隧道的防排水系統(tǒng)相當于隧道結構不設土工布、防水板和二襯，只有初襯起到防水作用，地下水透過初襯后直接進入隧道。為了進一步探究退化后的復合式襯砌滲透系數(shù)取值，根據(jù)公路隧道常用洞徑r1和初襯厚度C計算模型退化后修正系數(shù)值，如圖4所示。

圖4 模型退化的修正系數(shù)與初襯厚度關系Fig.4 Relationship between reduced correction coefficient and initial lining thickness

由圖4可知，該值為0.96～1.00，與1.00的偏差小于4%，近似等于1.00，因此可認為模型退化為只有初襯起防水作用。

（3）土工布滲透系數(shù)趨于無限大

當土工布滲透系數(shù)kz無限大時，式（12）退化為

式（16）的結果與退化后復合式襯砌的防排水機制［24］相符，即當土工布滲透系數(shù)kz趨于無限大時，防排水系統(tǒng)中的土工布相當于排水管的延伸而完全起排水通道作用，復合式襯砌中只有初襯起防水作用。

（4）土工布滲透系數(shù)趨于零

當土工布滲透系數(shù)kz趨于零時，相當于土工布不透水，即相當于在復合式襯砌的初襯與排水管之間設置了一道隔水層，使得隧道不透水。式（12）退化為

式（17）表明，當土工布的滲透系數(shù)趨于零時，復合式襯砌滲透系數(shù)為零，隧道模型退化為完全不透水的全封堵型隧道［5，19］。全封堵型隧道的襯砌滲透特性為式（12）的特例。

2.2 數(shù)值法驗證

采用FLAC3D軟件分別計算2種襯砌工況下涌水量和外水壓力：即采用式（12）修正初襯滲透系數(shù)的工況和直接模擬包含防排水系統(tǒng)的復合式襯砌滲透特性工況，通過對比這2種工況下的涌水量和外水壓力的偏差進行驗證。因此，對應建立通過單層襯砌排水的襯砌修正滲流模型和通過排水系統(tǒng)排水的復合式襯砌滲流模型（2個數(shù)值模型的襯砌不同，其余邊界、圍巖參數(shù)都相同）。

2.2.1 數(shù)值模型

復合式襯砌滲流模型考慮完整的防排水系統(tǒng)，包含圍巖、初襯、排水管、土工布、防水板和二襯。襯砌修正滲流模型包含圍巖和初襯，并采用式（12）修正初襯滲透系數(shù)以考慮防排水系統(tǒng)的影響，即相當于用修正初襯滲透系數(shù)表征復合式襯砌的滲透特性。2個數(shù)值模型的圍巖尺寸均為100 m×100 m×20 m（圍巖左右邊界距隧道中心都為5倍洞徑），如圖5所示。隧道模型的參數(shù)如表1所示（參考云南某特長隧道工程）。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

圖5 數(shù)值模型（單位：mm）Fig.5 Numerical model（unit：mm）

2個模型的邊界條件如下：底部水力邊界均為不透水邊界，頂面邊界透水并施加恒定的靜水壓，水位線以下圍巖介質始終保持飽和；左、右兩側水力邊界為透水且孔隙水壓力為恒定的線性分布；前、后水力邊界均為不透水邊界。2個模型的邊界條件不同之處在于：復合式襯砌滲流模型的防水板和二襯為不透水邊界，并且環(huán)向排水管處的水壓力恒定為零，而襯砌修正滲流模型的襯砌為透水邊界，并且襯砌內側的水壓力恒定為零。

2.2.2 計算工況和結果

水頭H100 m、150 m、200 m、250 m和300 m分別對應工況1、工況2、工況3、工況4和工況5。根據(jù)各工況分別計算2個模型的隧道涌水量和襯砌外水壓力，如圖6、7所示。

由圖6可知，復合式襯砌滲流模型與襯砌修正滲流模型的涌水量曲線吻合較好，涌水量最大差值為5.4%，最小差值為1.8%，結果較為一致。

由圖7可知，復合式襯砌滲流模型與襯砌修正滲流模型的襯砌外水壓力曲線吻合較好，最大差值為10.6%，最小差值為2.0%，結果較為一致。

圖7 2個模型外水壓力對比Fig.7 Comparison of external water pressure between two calculation models

3 公式應用與影響分析

圍巖滲透系數(shù)kr是涌水量和襯砌外水壓力等預測計算的關鍵參數(shù)［28］，不同地質條件下的隧道滲透系數(shù)大多不一樣。因此，根據(jù)不同圍巖滲透系數(shù)和表1中的隧道參數(shù)，采用文獻［16］、［27］的解析解分別計算未修正的滲透系數(shù)（未考慮環(huán)向排水管、土工布和防水板的初襯滲透系數(shù)）和修正的滲透系數(shù)（考慮環(huán)向排水管、土工布和防水板的修正初襯滲透系數(shù)）下涌水量和襯砌外水壓力。通過對比2種條件下的差異以分析修正的滲透系數(shù)對隧道涌水量和外水壓力的影響，即分析土工布、環(huán)向排水管間距和防水板因素對結果的影響。

3.1 涌水量的影響

根據(jù)文獻［16］、［27］的涌水量解析解，分別計算修正與未修正滲透系數(shù)下的涌水量，如圖8所示。

圖8 涌水量Fig.8 Groundwater inflow

由圖8可知，由文獻［16］、［27］計算得到的4條涌水量曲線都是隨著圍巖滲透系數(shù)增大而逐漸上升，且斜率逐漸增大，尤其當圍巖滲透系數(shù)大于1×10-7m·s-1時，涌水量顯著增加。對比修正與未修正的滲透系數(shù)下涌水量可知，前者均小于后者。究其原因在于修正的滲透系數(shù)條件下考慮了環(huán)向排水管、土工布和防水板因素，導致地下水在透過土工布時因滲流路徑延長而水頭降落增加［8］。當圍巖滲透系數(shù)在1×10-8～1×10-7m·s-1時，最大偏差值小于6.8%，說明該范圍內修正的初襯滲透系數(shù)對隧道涌水量影響并不明顯。當圍巖滲透系數(shù)在1×10-7～1×10-6m·s-1時，偏差值約為6.8%～41.2%，說明修正的初襯滲透系數(shù)對涌水量的影響在該區(qū)間顯著，應當重視土工布、環(huán)向排水管間距和防水板因素的影響。

3.2 襯砌外水壓力的影響

計算2種滲透系數(shù)下的外水壓力，如圖9所示。

圖9 外水壓力Fig.9 External water pressure

由圖9可知，文獻［16］、［27］計算得到的4條曲線都隨著圍巖滲透系數(shù)增大而上升，并且斜率也逐漸增大。修正的滲透系數(shù)下外水壓力均大于未修正的。由圖9可知：①當圍巖滲透系數(shù)為1×10-8～1×10-7m·s-1時，2條曲線的絕對偏差較小，但相對偏差達到55%；②當圍巖滲透系數(shù)為1×10-7～1×10-6m·s-1時，外水壓力的絕對偏差開始增大，并在1.3×10-7m·s-1處達到最大（相差約30.5 m水頭），相對偏差為37%～55%；③當圍巖滲透系數(shù)大于2×10-6m·s-1時，絕對偏差開始減小，相對偏差繼續(xù)減小。以上規(guī)律說明，圍巖滲透系數(shù)在1×10-7～1×10-6m·s-1時，修正的初襯滲透系數(shù)對外水壓力的影響在該區(qū)間顯著，不容忽視。

4 參數(shù)分析

復合式襯砌滲透系數(shù)計算公式中的參數(shù)包括初襯內外半徑、初襯滲透系數(shù)、環(huán)向排水管間距、土工布厚度與滲透系數(shù)。根據(jù)表1中的參數(shù)值，分別繪制初襯滲透系數(shù)k1為5×10-9、1×10-9、5×10-10、1×10-10、5×10-11m·s-15種工況下的修正系數(shù)與各參數(shù)的關系曲線，如圖10所示。

圖10a為修正系數(shù)與環(huán)向排水管間距L1之間的關系曲線。由圖10a可知：當初襯滲透系數(shù)大于1×10-10m·s-1時，隨著環(huán)向排水管間距的增加，修正系數(shù)逐漸減小，并且初襯滲透系數(shù)越大的曲線，修正系數(shù)減小得越快；當初襯滲透系數(shù)小于1×10-10m·s-1時，修正系數(shù)隨著環(huán)向排水管間距增大而逐漸減小并趨于不變；初襯滲透系數(shù)越小，對應的修正系數(shù)越大。

圖10b為修正系數(shù)與土工布參數(shù)kzt之間的關系曲線。由圖10b可知：當初襯滲透系數(shù)大于1×10-10m·s-1，隨著kzt的增加，對應曲線都逐漸增大，且初襯滲透系數(shù)越大的曲線變化越顯著；當初襯滲透系數(shù)小于1×10-10m·s-1時，曲線隨著kzt的增大逐漸趨于水平，表明該條件下土工布參數(shù)kzt對修正系數(shù)的影響很??；初襯滲透系數(shù)越小，對應的修正系數(shù)越大，修正的初襯滲透系數(shù)也越大。

圖10c為修正系數(shù)與初襯內徑r1之間的關系曲線。由圖10c可知：當初襯滲透系數(shù)小于1×10-10m·s-1時，隨著初襯內徑由5.7 m逐漸增加到6.0 m（即初襯的厚度由0.4 m減小到0.1 m），對應的曲線逐漸上升，修正系數(shù)逐漸增大；當初襯滲透系數(shù)大于1×10-10m·s-1時，隨著初襯內徑增加對應曲線下降，修正系數(shù)也顯著減?。怀跻r滲透系數(shù)越小，對應修正系數(shù)越大，而且修正系數(shù)與初襯內徑曲線也越平緩。

圖10d為修正系數(shù)與初襯外徑r2之間的關系曲線。由圖10d可知：隨著初襯外徑由5.7 m逐漸增加到6.0 m，當初襯滲透系數(shù)小于1×10-10m·s-1時，對應曲線的修正系數(shù)逐漸減小；當初襯滲透系數(shù)大于1×10-10m·s-1時，則修正系數(shù)隨著初襯外徑的增加而逐漸增大；初襯滲透系數(shù)越大，修正系數(shù)越小，曲線斜率也越大。

圖10 不同初襯滲透系數(shù)下修正系數(shù)與各參數(shù)的關系Fig.10 Relationship between correction coefficient and parameters at different initial lining permeability coefficients

5 結論

（1）提出的公式適用于埋深較大、地下水位較高的巖石隧道復合式襯砌滲透系數(shù)的計算。

（2）當圍巖的滲透系數(shù)為1×10-7～1×10-6m·s-1時，修正與未修正的襯砌滲透系數(shù)對涌水量的影響差異約為6.8%～41.2%，外水壓力的影響偏差超過37%，因此土工布、環(huán)向排水管和防水板的影響不容忽視。

（3）復合式襯砌滲透特性可用修正的初襯滲透系數(shù)來表征。當環(huán)向排水管間距和初襯滲透系數(shù)越大時，對應的復合式襯砌滲透系數(shù)越?。划斖凉げ紖?shù)kzt越大時，對應的復合式襯砌滲透系數(shù)越大。

作者貢獻說明：

李曉軍：提供研究思路，指導論文撰寫。

劉荊輝：公式的推導與分析，試驗操作，試驗數(shù)據(jù)分析。