楊曉英,王亞強(qiáng),劉 新

(1.四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部,四川 廣元 628017;2.寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

設(shè)Cm×n表示m×n階復(fù)矩陣的集合，A∈Cn×n,若X∈Cn×n滿足下列方程[1]：

Ak+1X=Ak,XAX=X,AX=XA

則稱X為A的Drazin逆,記作X=AD，稱k為A的指數(shù)，記作ind(A)=k。記Aπ=I-AAD。矩陣的Drazin逆是矩陣廣義逆的一種類型,如果矩陣的Drazin逆存在必唯一。 矩陣的Drazin逆在信息安全、圖像增強(qiáng)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中有著廣泛的應(yīng)用， 這也促使許多學(xué)者執(zhí)著于是否可以在沒有任何限制條件的情況下給出Drazin逆的表示。 直到現(xiàn)在，兩個矩陣之和在沒有條件下的Drazin逆表示仍然是一個開放性的問題。 一些學(xué)者已經(jīng)討論了兩個矩陣之和在特定條件下Drazin 逆的表示結(jié)果，見文獻(xiàn)[1-6]。 本文通過對其中一個矩陣進(jìn)行核-冪零分解，然后結(jié)合Drazin逆的性質(zhì)和利用已有引理，給出兩個矩陣之和分別在AπBA=0和AπB=0條件下Drazin逆的簡單表示。

為了給出兩個矩陣之和Drazin逆的新表示，首先給出幾個重要的引理。

其中

引理2[8]1)如果PQ=0,Q是s-冪零的,則

2)如果PQ=0,P是s-冪零的,則

1 主要結(jié)果

下面，我們應(yīng)用以上引理給出在AπBA=0和AπB=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示。

首先，給出兩矩陣之和在AπBA=0條件下Drazin逆的表示。

定理1設(shè)A,B∈Cn×n，如果AπBA=0，則

其中，Y=(A+B)ADA，ind(A)=k，max{ind(A),ind(B)}≤m≤ind(A)+ind(B)。

β1∈Ck×k，由

可得：β3α1=0，β4α2=0。

由α1為非奇異的，得β3=0，所以

由引理1，得

其中

(α1+β1)Dβ2(α2+β4)D

其中，ind(α2+β4)=r，ind(α1+β1)=s。

由于β4α2=0，α2為k階 -冪零矩陣，由引理2， 得

(1)

由

Y=(A+B)ADA

由

AπAi(BD)i+1

進(jìn)而有

由式(1)，顯然

(α2+β4)π=I-(α2+β4)D(α2+β4)

所以

接下來我們計(jì)算，

((α1+β1)D)j+2β2(α2+β4)j(α2+β4)π

綜合以上式子，得

其中，Y=(A+B)ADA。

下面，我們應(yīng)用以上引理，給出在AπB=0條件下兩矩陣之和Drazin逆的表示。

定理2設(shè)A,B∈Cn×n，如果AπB=0，ind(A)=k，則

其中，Y=(A+B)ADA。

β1∈Ck×k。

易得：β3=0，β4=0。

所以

(YD)i+2BAiAπ=