俞綱

在高三的復習課教學中，教師應以考綱與教材為向設計教學內(nèi)容，以學生為本選用教學方法，恰當?shù)亟柚嗝襟w進行例題動畫演示，提高復習效率，著力培養(yǎng)學生能力與核心素養(yǎng).筆者現(xiàn)以“空間中垂直關系的證明”復習課為例，談談如何設計教學，才能有效提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

一、授課背景

2019年11月，筆者有幸參加了“昆明市2019年高三復習課課堂教學競賽暨研討活動”，上了人教A版《普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學2（必修）》一節(jié)題為“空間中垂直關系的證明”的復習課，并獲得一等獎，得到了專家評委較高的評價，現(xiàn)將此課教學設計與教學反思整理如下.

二、考綱分析、學生分析、教學目標、教法構想

1.考綱分析

對于空間中垂直關系的相關內(nèi)容，《2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（文科）》（以下簡稱《大綱》）中指出：理解空間直線、平面位置關系的定義，認識和理解空間中垂直的有關性質(zhì)與判定定理，能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.同時，《大綱》提出空間想象能力的標準：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象.空間想象能力主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力.對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志.

2.學情與考情分析

對于高三文科學生，容易出現(xiàn)的問題有：概念意識比較淡薄，推理的邏輯不夠清晰，空間想象力不強，看圖、畫圖和用圖的能力比較弱.結合近幾年文科立體幾何高考題目考查特點，垂直證明問題的難度并不大，但往往結合圖形翻轉(zhuǎn)、組合圖形來考查空間基本位置關系，考查學生空間想象與演繹推理的能力.

3.教學目標與教法構想

根據(jù)人教A版《普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學2（必修）》的內(nèi)容，筆者擬通過復習空間中幾種垂直關系的定義、判定及其性質(zhì)定理來建構空間垂直關系的知識體系;通過例題與練習厘清證明問題和演繹推理的邏輯思路;培養(yǎng)學生等價轉(zhuǎn)化、空間想象及識圖、用圖的能力;通過問題導入、一題多變、合作與交流、主動反思總結的形式引導學生主動參與課堂活動，感受數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系;滲透用數(shù)學眼光觀察世界的意識，培養(yǎng)學生空間想象能力、轉(zhuǎn)化和推理論證能力.

三、教學過程簡錄

1.課前準備

課前播放國慶70周年閱兵式視頻及圖片.

【設計意圖】弘揚民族自豪感，引入生活中垂直關系的例子，吸引學生注意力，既為課堂作鋪墊，又讓學生感受數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.

2.復習定義

師：國慶閱兵式上那些整齊的隊列與筆直的身姿彰顯了中國軍人的氣質(zhì).圖1中蘊含著很多空間中的垂直關系，請大家回顧空間中的垂直關系主要有哪些？教材如何定義？

生1：主要有線線垂直、線面垂直及面面垂直.

生2：只記得線面垂直的定義是直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，其他記不得了.

生3：線面垂直的定義應該是直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線.

師：生3所說的是線面垂直的判定定理而非定義;生2記得定義與判斷定理不一樣，很值得表揚，但可惜表述不正確.請大家打開教材第47頁、64頁、67頁，齊聲朗讀三種垂直的定義，并反思剛才的錯誤.

大家齊聲朗讀教材上相關內(nèi)容.

生2反思：剛才自己的錯誤在于認為無數(shù)條直線與任意一條直線是同一個意思，其實是不一樣的.無數(shù)條直線不能代表任意一條直線.

師：反思得不錯，大家在復習的時候要注意回歸教材，重視定義.

【設計意圖】學生復習往往不重視教材與概念，因此筆者先讓學生暴露問題，再有針對性地辨析解決問題，以此提醒學生重視對基礎知識的復習，并在教學中滲透用數(shù)學眼光觀察世界的意識.

3.復習定理

師：根據(jù)定義，空間中兩直線的垂直關系可能是異面垂直也可能是共面垂直，對于共面兩直線垂直的研究，平面幾何所學的知識仍然適用;對于線面垂直與面面垂直的研究，大家還學習了相應的判定定理和性質(zhì)定理，下面我們一起來回顧一下.

熱身練習：已知四面體PABC可能有：①PA⊥AB，②PA⊥AC，③AC⊥BC，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC，⑥平面PAC⊥平面ABC.如圖2，請以以上的一個或多個做條件，一個做結論，直接體現(xiàn)線面垂直判定定理、面面垂直判定定理、面面垂直性質(zhì)定理的主要內(nèi)容，并用語言表達該定理內(nèi)容.

生4：線面垂直判定定理：由①PA⊥AB，②PA⊥AC，可得④PA⊥平面ABC.（若直線垂直于平面內(nèi)兩相交直線，則垂直于該平面）

生5：面面垂直判定定理：由④PA⊥平面ABC，可得⑥平面PAC⊥平面ABC.（若直線垂直于一平面，則經(jīng)過該直線的平面必垂直于已知平面）

生6：面面垂直性質(zhì)定理：由⑥平面PAC⊥平面ABC，可得④PA⊥平面ABC.（若兩個平面相互垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線就垂直于另一平面）

師：前兩位同學正確地闡述了線面垂直判定定理和面面垂直判定定理;第三位同學對面面垂直性質(zhì)定理的闡述，其他同學是否有不同意見？

生7：平面PAC⊥平面ABC，并不能保證平面PAC內(nèi)任意一條直線都垂直于平面ABC，只有當平面PAC內(nèi)的直線垂直于兩平面的交線時，才垂直于另一個平面.

師：不錯，這位學生正確地闡述了面面垂直的性質(zhì)定理.結合定義，再把這幾個定理綜合在一起，可以把它們看作是三種垂直關系間的轉(zhuǎn)化.在不使用二面角定義的情況下，這種轉(zhuǎn)化關系是以“線面垂直”為核心的一種“線性”轉(zhuǎn)化的關系，如圖3.

【設計意圖】對定理的復習不應該空洞地去復習文字內(nèi)容，而是應該創(chuàng)設一個圖形環(huán)境，讓學生進行回顧，暴露其問題，再有針對性地辨析.通過定義與定理的復習，使學生建立垂直關系的知識體系，形成簡易的思維導圖.

4.典例分析

例題：《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biēnào].在四面體PABC中（圖4），若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，則

問題（1）：請判斷四面體PABC是否為鱉臑？若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）.

生8：四面體PABC是鱉臑，∠PAC，∠PAB，∠PCB和∠ACB為直角.

問題（2）：在上例中，過A做AE垂直PC于E，求證：AE⊥平面PBC.

師：請大家先獨立完成，再小組討論，看看有些什么證明方法？

通過獨立思考證明，再由小組匯總后，學生發(fā)現(xiàn)了不少證明方法。筆者投影展示了其中幾位同學的證明方法如下.

生9：因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又由已知AC⊥BC，則BC⊥平面PAC，所以BC⊥AE，又由已知AE⊥PC，則AE⊥平面PBC.

生10：因為PA⊥平面ABC，且PA？奐平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC;又由已知BC⊥AC，且BC？奐平面ABC，則BC⊥平面PAC，且BC？奐平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，且交線為PC，又由已知AE⊥PC，且AE？奐平面PAC，則AE⊥平面PBC.

師：兩位同學的證法都正確，都很好地進行了三種垂直間的轉(zhuǎn)化.他們的思路可以總結為：從條件分析，已知線面垂直有兩種思路，可推得線線垂直或者面面垂直;從結論分析，要證線面垂直，也有兩種思路，可以通過線線垂直或者面面垂直來證明.因此，搭配書寫可以有四種不同的證明方法，但顯然第一種是最簡潔的.而這些不同證法的本質(zhì)，也體現(xiàn)了解答分析證明題由因?qū)Ч蛨?zhí)果索因兩種典型的思維方法.

問題（3）：在問題（2）的條件下，過A做AF垂直PB于F，如圖5，求證：EF⊥PB.

筆者請了兩位同學到黑板上證明.

生11：由問題（2）的證明可知AE⊥平面PBC，則AE⊥EF，后面就證不下去了.

生12：由問題（2）的證明可知AE⊥平面PBC，則AE⊥PB，又由已知AF⊥PB，且AE、AF都在平面AEF內(nèi)，則PB⊥平面AEF.

師：兩位同學從條件出發(fā)都沒錯，為何結果差異這么大呢？聽了正確的方法，能否分析出自己出現(xiàn)問題的原因嗎？

生11反思：沒有從結論分析需要什么，從而沒有目的性，條件推導就比較盲目.

師：很不錯，對于相對復雜的證明問題，應該首先明確證明的目的是什么。同時，執(zhí)果索因和由因?qū)Ч慕Y合使用就顯得尤為重要.

問題（4）：在問題（3）的條件下做出的四面體PAEF是否為鱉臑？

大家有的說不是，有的說是，熱烈討論起來.通過一段時間的討論，學生找到了逐一證明每個面都為直角三角形的方法，最終確定四面體PAEF是鱉臑.

師：能否快速看出來呢？

全體學生：一開始不能，逐一證明每個面的情況后才能看出.

師：第一問研究了什么？如果用第一問的模型來看呢？

全體學生恍然大悟：由第一問可知，當三棱錐底面為直角三角形，且頂點在底面的射影恰為底面斜邊一個端點時，其對應的四面體就是鱉臑.由此可知四面體PAEF符合這個模型，它就是鱉臑.

【設計意圖】此題源自人教A版《普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學2（必修）》第69頁的探究，并進行了一題多問式的改編，由簡單問題入手，層層推進引導學生自主解決問題，再針對學生出現(xiàn)的問題進行講評.筆者通過例題鞏固空間垂直體系，厘清證明思路，引導學生從判定定理和性質(zhì)定理的結構中總結出證明的關鍵就是多種垂直關系間的轉(zhuǎn)化，并滲透等價轉(zhuǎn)化思想和中國古代數(shù)學文化，培養(yǎng)學生的推理論證能力和識圖、用圖能力.

5.課堂練習

練習1：（改編自2019年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學新課標卷Ⅲ第19題）如圖6，幾何體是由矩形ADEB，直角三角形ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中BE=BF，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG.證明平面ABC⊥平面BCDG.

生13：想象不出翻折后的圖形，所以做不出來.

生14：把矩形ADEB和菱形BFGC都向上翻折，在此過程中AB⊥BE，且AB⊥BC，所以AB⊥平面BCDG，則平面ABC⊥平面BCDG.

生15：思路和剛才生14一樣，但看圖角度不一樣，我想把矩形ADEB從左向右翻折，菱形BFGC向上翻折使之重合.

看到不少同學皺著眉頭，想象不出圖形，筆者一方面讓學生嘗試自己折紙;另一方面用GeoGebra軟件制作翻折動畫進行演示如圖7、圖8，并總結道：“翻折問題首先要用一個合適的角度想象并觀察圖形，思考翻折過程中的“變”與“不變”：翻折過程中在同一平面內(nèi)的幾何對象，其位置關系與數(shù)量關系仍然保持不變;在不同平面內(nèi)的幾何對象，其位置關系可能會發(fā)生變化.當學生看懂并想象出圖形翻折過程后，問題自然迎刃而解.”

練習2：（改編自2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學新課標卷Ⅲ第19題）已知平面圖形由矩形ABCD和以CD為直徑的半圓組成（圖9），P是半圓弧上異于C，D的點，現(xiàn)沿CD將圖形翻折，使得矩形ABCD所在平面與半圓所在平面垂直，證明：平面PAD⊥平面PBC.

生16：翻折后，如圖10，因為平面ABCD⊥平面PCD且交線為CD，AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，后面就不知道該怎么證了.

生17：換個角度畫圖如圖11，前面的方法與上一位同學一樣，得到AD⊥平面PCD后，可知AD⊥PC，又根據(jù)CD為直徑可知PC⊥PD，所以PC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD.

生16反思：就是因為圖的位置不好觀察，沒看出CD為直徑可推得PC⊥PD.

師：剛才兩位同學的講解和反思，再次體現(xiàn)出觀察圖形時角度選擇與直觀想象的重要性，在復習過程中我們要特別重視，多總結、多練習.

【設計意圖】兩個例題都改編自近年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學新課標卷Ⅲ的相關試題，在保持題目條件基本不變的前提下增加了看圖、用圖的考查.很多同學不重視空間想象能力及識圖、畫圖能力的培養(yǎng)，只會處理熟悉的圖形與熟悉的視角.通過這兩個題目，筆者給學生一種思路，提升了學生的空間想象能力及識圖、畫圖能力.

6.課堂小結

師：本節(jié)課回顧了哪些基本內(nèi)容？如何能形象地理解三種垂直關系的判定定理和性質(zhì)定理？空間中垂直關系的證明要注意些什么？在后面的復習中還應該注意什么？

生18：復習了空間中三種垂直關系的定義及其相應的判定定理和性質(zhì)定理.

生19：空間中垂直關系的幾個定理可以形象地看作是三種垂直關系間的相互轉(zhuǎn)化，要記住轉(zhuǎn)化關系圖.

生20： 證明要注意三種垂直間的轉(zhuǎn)化條件有差異，不能記錯.

生21：證明問題時要注意將從條件出發(fā)由因?qū)Ч姆治龇椒ê蛷慕Y論思考執(zhí)果索因的分析方法相結合.

生22： 對于立體幾何的復習要加強看圖、識圖能力與空間想象能力的培養(yǎng).

師：大家總結得很不錯，這就是本節(jié)課我們的三維目標.

四、總結與反思

美國著名教育心理學家布魯納提出學習的本質(zhì)是主動地形成認知結構，教學的目的在于理解當前知識的基本結構，包括基本概念、基本原理和基本態(tài)度與方法。因此，一輪復習應以考綱為向、教材為本，幫助學生對已學基礎知識進行梳理、歸納總結，形成知識網(wǎng)絡或思維導圖.建構主義學生觀認為學生并不是空著腦袋走進教室的，因此復習不是無視學生的經(jīng)驗另起爐灶，而應以學生為本，引導他們先回顧原有的知識并發(fā)現(xiàn)問題，再來彌補知識漏洞并解決問題，以此增長新的知識經(jīng)驗，同時學習過程有情境性，即使是一輪復習中這種高度概括與枯燥的內(nèi)容，我們也不應該空洞地復習定理本身，而應盡量以情境化的教學活動讓學生主動參與、主動暴露問題、自主反思，并在知識復習的過程中著眼于學生能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

◇責任編輯 邱 艷◇