吳明澤，張曉偉，鐘賢哲，張慶明

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室， 北京 100081)

提 要:通過有限元數(shù)值方法及已有圓管膨脹試驗對金屬圓管膨脹的變形行為進(jìn)行研究，研究發(fā)現(xiàn)圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1主要受圓管和壓模初始幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)影響，而受圓管材料和摩擦因數(shù)的影響較?。换诹烤V分析，得到膨脹后圓管的幾何尺寸h和D1與主要影響因素之間的量綱一關(guān)系式. 結(jié)合量綱一關(guān)系式與能量守恒定律，提出圓管穩(wěn)態(tài)膨脹過程中穩(wěn)態(tài)下壓力的預(yù)測模型，模型中考慮了材料的應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)和壓模外徑對膨脹管彎曲區(qū)域曲率的影響，結(jié)果表明該模型的預(yù)測值與試驗結(jié)果、仿真結(jié)果能較好地吻合.

薄壁結(jié)構(gòu)具有較高的比強(qiáng)度和比剛度，而且在受到?jīng)_擊載荷作用時表現(xiàn)出良好的吸能特性. 因此，在抗沖擊結(jié)構(gòu)中得到廣泛的應(yīng)用[1-3]，如列車車廂之間的防沖擊碰撞保護(hù)裝置[4]. 其中，薄壁圓管的膨脹變形具有變形過程穩(wěn)定、載荷平穩(wěn)、對下壓載荷方向不敏感等特點(diǎn)，而引起學(xué)者廣泛關(guān)注[5]. 相關(guān)研究表明膨脹管的吸能性能不僅受圓管和壓模的幾何結(jié)構(gòu)影響，同時圓管與壓模接觸表面的摩擦因數(shù)和沖擊速度對此也有較大的影響[6-8]. 其中，膨脹穩(wěn)態(tài)力作為反映圓管變形吸能性能的重要指標(biāo)，對其建立相關(guān)的預(yù)測模型，將對膨脹管吸能裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義. 許多學(xué)者將圓管膨脹后的側(cè)截面簡化為三條線段，并基于應(yīng)力平衡對膨脹穩(wěn)態(tài)力進(jìn)行理論解析；但是，該簡化幾何模型與圓管膨脹區(qū)域?qū)嶋H形狀相差較大，管壁的彎曲變形被忽略[9-12]. LUO等[13]基于小撓度假設(shè)，根據(jù)板殼理論建立控制方程對圓管膨脹的整個過程的膜力和彎矩進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的理論模型. 但上述的模型都將引入復(fù)雜的偏微分方程，以對穩(wěn)態(tài)力進(jìn)行求解. LIU等[14]首次提出將膨脹后圓管的軸向側(cè)截面簡化為兩段曲率半徑相等的圓弧和一條線段，該簡化模型與實際幾何形狀更為貼近，并基于剛塑性材料和能量守恒進(jìn)行理論推導(dǎo). YAO等[15]建立吸能性能參數(shù)與各影響因素之間的響應(yīng)面回歸模型，并結(jié)合相關(guān)目標(biāo)函數(shù)對膨脹機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化.

本文利用Abaqus/static對不同工況和材料下薄壁圓管的膨脹過程進(jìn)行數(shù)值仿真，分析圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1與各影響因素之間的規(guī)律. 通過量綱分析得到圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1與各有效影響因素之間的量綱一關(guān)系；并基于剛-冪次強(qiáng)化材料模型和能量守恒，在LIU等提出的側(cè)截面假設(shè)上，進(jìn)一步考慮了應(yīng)變強(qiáng)化和壓模外徑對兩圓弧曲率半徑的影響，重新建立膨脹穩(wěn)態(tài)力的預(yù)測模型.

1 模型的建立

1.1 模型的建立

圖1為圓管膨脹機(jī)構(gòu)簡圖，其主要由壓模和圓管兩部分組成，壓模的外徑大于圓管的內(nèi)徑，壓模向下擠壓圓管，使圓管發(fā)生徑向擴(kuò)張的塑性大變形. 本文通過有限元軟件Abaqus/static對圓管的膨脹進(jìn)行數(shù)值仿真，其中壓模設(shè)為剛體，圓管為變形體. 考慮到圓管膨脹過程的軸對稱性，有限元建模采用軸對稱模型(圖2所示)，單元類型采用CAX8R單元，并采用罰函數(shù)進(jìn)行接觸定義.

圖1 膨脹機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Expansion mechanism

圖2 有限元仿真模型Fig.2 Finite element mode

為了驗證仿真的準(zhǔn)確性，采用文獻(xiàn)[6]中的三個試驗工況數(shù)據(jù)與數(shù)值仿真結(jié)果對照，如表1所示. 對比顯示，仿真穩(wěn)態(tài)力Fs與試驗穩(wěn)態(tài)力Fe相差不超過8%，數(shù)值仿真結(jié)果具有較好的可靠性.

表1 仿真驗證工況[6]Tab.1 Validiton works for simulation[6]

對不同工況和材料下的圓管膨脹進(jìn)行數(shù)值仿真，尋找圓管膨脹后的幾何尺寸與各影響因素的規(guī)律，其影響因素包括圓管內(nèi)徑、厚度、壓模外徑、壓模傾斜角度、摩擦因數(shù)、材料. 將圓管的長度設(shè)置為200 mm，其足夠長以避免圓管底端固支約束對膨脹的影響，壓模軸向下壓的位移為120 mm. 表2列出了不同工況的詳細(xì)參數(shù)，A類工況只改變壓模的傾斜角度，B類工況只改變圓管的厚度，C類工況只改變壓模的外徑，D類工況只改變摩擦因數(shù).

表2 不同工況下圓管、壓模的幾何尺寸和摩擦因數(shù)

1.2 材料的選取

選取了C45鋼、AA-6061鋁合金、銅三種合金，用來研究圓管材料的不同對圓管膨脹后幾何尺寸的影響. 三種材料的相關(guān)力學(xué)參數(shù)如表3所示. 其中，Y為屈服應(yīng)力，B為硬化模量，n為硬化指數(shù).

表3 各材料力學(xué)參數(shù)[16-18]Tab.3 The mechanic parameters of different materials[16-18]

2 仿真結(jié)果分析及量綱分析

圖3為圓管膨脹的管壁軸向截面簡圖，研究不同工況下圓管膨脹后的內(nèi)徑D1和兩弧區(qū)域C、A兩點(diǎn)的高度差h. 圖4和圖5展示了不同工況下D1和h的比較，顯示不同金屬材料的圓管在相同的工況下膨脹，其內(nèi)徑D1相差不超過2%，高度差h不超過3%. 并且，由D工況數(shù)據(jù)看出，摩擦因數(shù)對圓管膨脹后幾何尺寸D1和h的影響相差不超過3%. 說明材料屬性和摩擦因數(shù)對圓管膨脹后的內(nèi)徑D1和兩弧區(qū)域高度差h的影響很小，其主要受圓管和壓模的幾何結(jié)構(gòu)影響.

采用量綱分析的方法對它們之間的關(guān)系進(jìn)一步研究. 膨脹過程中的幾何自變量有4個，分別為圓管的內(nèi)徑D0、圓管的厚度t0、壓模的外徑Dd、壓模的傾斜角度α；因變量有2個，分別為圓管膨脹后內(nèi)徑D1和膨脹截面兩弧度區(qū)域的高度差h.

以圓管的初始內(nèi)徑D0為基本物理量，根據(jù)π定理進(jìn)行量綱一分析：

(1)

(2)

圖3 軸向截面簡圖Fig.3 A sketch of the axial profile

當(dāng)研究的量綱一參數(shù)在相對較小的范圍內(nèi)變化時，可對以上未知函數(shù)采用冪函數(shù)作為近似[19]. 但由文獻(xiàn)[6]中的試驗結(jié)果可知，當(dāng)圓管內(nèi)徑一定，若圓管厚度越小，膨脹后圓管的內(nèi)壁就越靠近壓模的外壁. 隨著厚度的減小即厚徑比的減小，D1/D0存在一個極限值，其值無限接近于Dd/D0；因此在t0/D0較小的情況下，量綱一D1/D0與t0/D0之間的關(guān)系用指數(shù)函數(shù)更貼近實際情況. 因此，在這里采用了分段函數(shù)，當(dāng)t0/D0≤0.06時，采用指數(shù)函數(shù)；當(dāng)t0/D0>0.06時，采用冪函數(shù). 同樣，隨著壓模傾斜角度的減小，圓管膨脹后的內(nèi)壁也會無限貼近壓模的外壁.D1/D0也存在一個極限值，無限接近于Dd/D0，因此D1/D0與α之間的關(guān)系用指數(shù)函數(shù)更合適. 式(1)(2)的未知函數(shù)采用以下函數(shù)近似：

(3)

(4)

根據(jù)以上的擬合結(jié)果，可得到以下的量綱一關(guān)系式：

(5)

圖4 D1與各自變量的量綱一關(guān)系Fig.4 The dimensionless relationship between D1 with independent variables

圖5 h與各幾何自變量的量綱一關(guān)系Fig.5 The dimensionless relationship between h with independent variables

(6)

3 解析推導(dǎo)

3.1 理論模型的建立

通過數(shù)值仿真，膨脹過程中管壁截面的變化能被詳細(xì)觀測，其膨脹的區(qū)域由一條線段和兩段弧度區(qū)域組成，弧度區(qū)域的曲率半徑實際上是連續(xù)變化的[11]. 為簡化解析模型，做出以下幾點(diǎn)假設(shè)：

② 膨脹過程中，圓管的體積守恒(式(7)).

③ 圓管膨脹過程中母線長度保持不變，則接觸部位之間的相對速度為恒值.

④ 子午線上各點(diǎn)的等效應(yīng)力值等效代替該點(diǎn)所在橫截面上各點(diǎn)的等效應(yīng)力值.

根據(jù)能量守恒，圓管膨脹過程中下壓力所做的功被三部分耗散掉(式(8))，分別是：拉伸耗散E?、彎曲耗散El、摩擦耗散Ef.

v0t0(D0+t0)=vDtD(D+tD)

(7)

(8)

式中：vD為管壁相對于壓模的速度；tD為管壁厚度；都是關(guān)于圓管內(nèi)徑D的函數(shù).

圓管在膨脹變形過程中，忽略其彈性變形. 材料模型采用更符合材料實際應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的剛-冪次強(qiáng)化模型，材料的等效應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

σ=Y+Bεn

(9)

式中：σ為等效應(yīng)力；ε為等效應(yīng)變；?、l、t分別為圓管的環(huán)向方向、子午線方向、厚度方向(如圖6所示). 由材料的不可壓縮性有

ε?+εl+εt=0

(10)

在圓管的子午線上，材料單元各主方向的應(yīng)變分別為

(11)

因此，等效應(yīng)變和等效應(yīng)力分別為

(12)

圖6 各應(yīng)變分量Fig.6 Strain component

(13)

圓管管壁在變形的過程中，忽略應(yīng)力之間的耦合效應(yīng)，則單元體積內(nèi)的應(yīng)變能為

(14)

式中εi代表各主應(yīng)變分量.

(15)

(16)

3.2 塑性拉伸耗散

結(jié)合式(9)(11)(16)，根據(jù)體積守恒，拉伸耗散功率為

(17)

3.3 塑性彎曲耗散

在A、B-、B+和C4點(diǎn)的彎曲耗散功率為

(18)

(20)

(21)

根據(jù)體積守恒：

(22)

根據(jù)圖中的幾何特征，弧形區(qū)域的曲率為

(23)

式中ΔR=(D1+tD1-D0-t0)/2，可得：

(24)

根據(jù)做最小的原則，結(jié)合式(23)(24)，當(dāng)

(25)

3.4 摩擦耗散

對圓管內(nèi)壁和壓模外壁接觸部位做力的平衡示意圖(圖7所示)，根據(jù)力的平衡有：

圖7 力的平衡Fig.7 The force balance

(26)

由式(26)可得摩擦力：

(27)

膨脹過程中圓管的母線保持不變，則圓管與壓模的接觸部分與壓模的切向相對速度v0，因此摩擦耗散功率為

(28)

3.5 能量守恒

將式(17)(25)(28)代入能量守恒公式(8)，若忽略膨脹前后圓管厚度變化量，可以看成t0≈tD1. 則膨脹過程中穩(wěn)態(tài)下壓力為

(29)

式中，(b1+b2)和m的值可由式(5)～(6),(23)～(25)得到.

4. 理論模型的驗證

4.1 與仿真結(jié)果對比

將理論模型計算出的膨脹穩(wěn)態(tài)力Ft與各工況下的仿真值Fs進(jìn)行比較(圖8所示)，顯示理論模型較好地反映出了膨脹穩(wěn)態(tài)力隨壓模傾角、壓模外徑、圓管厚度、摩擦因數(shù)變化而變化的趨勢，誤差值小于10%.

4.2 與試驗結(jié)果對比

為了進(jìn)一步驗證理論模型的準(zhǔn)確度，將文獻(xiàn)[6,11]中的各工況下的試驗結(jié)果Fe與解析值Ft進(jìn)行對比. 可以看出，除了04A、 05A、07A和08B工況，其他工況下誤差小于14%. 其中，文獻(xiàn)[6]中的摩擦因數(shù)是通過數(shù)值仿真與試驗工況06A對照而估算出的，其摩擦因數(shù)值可能并不適用于所有的工況，從而造成一些工況下解析值和試驗值有較大的誤差. 整體上來說，理論解析模型能對膨脹管膨脹過程中的穩(wěn)態(tài)力做較好的預(yù)測.

圖8 理論解析解與仿真解對比Fig.8 The comparision of the analytical solutions and simulation solutions

表4 解析值Ft與試驗值Fe進(jìn)行對比Tab.4 The comparison of the theoretical solutions Ft and the experimental data Fe

5 結(jié) 論

本文通過數(shù)值仿真軟件及已有的膨脹試驗對圓管的膨脹行為進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論：

① 在膨脹變形模式下，圓管膨脹后的幾何尺寸D1和h主要受圓管和壓模的初始幾何尺寸影響，受圓管材料和摩擦因數(shù)的影響較小. 并建立了圓管膨脹后直徑D1、側(cè)截面兩弧區(qū)高度h與圓管內(nèi)徑D0、厚度t0、壓模角度α、壓模外徑Dd之間的量綱一關(guān)系.