雷娟棉 ，解文洋，于勇，劉奇

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081)

提 要： 為研究近水面的起飛再入式運(yùn)動(dòng)對(duì)飛行器近海面的高機(jī)動(dòng)突防能力的影響,文中基于CFD數(shù)值模擬方法，湍流模型選取SST k-ω模型，利用重疊網(wǎng)格技術(shù)，將N～S方程與六自由度彈道方程耦合對(duì)三維空間內(nèi)薄圓盤的水漂運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究了不同工況下水漂的入水特性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律.結(jié)果表明：數(shù)值模擬計(jì)算得到的圓盤從接觸水面到離開水面的時(shí)間與實(shí)驗(yàn)值吻合較好，圓盤的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合；圓盤在打水漂向前運(yùn)動(dòng)的同時(shí)由于自身的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生了馬格努斯效應(yīng)，從而使圓盤的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生了一定的側(cè)向偏移以及圓盤自身的姿態(tài)發(fā)生了側(cè)向偏轉(zhuǎn).

打水漂運(yùn)動(dòng)實(shí)際上包含了流體力學(xué)、剛體動(dòng)力學(xué)和陀螺力學(xué)在內(nèi)的眾多力學(xué)問題，研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律需要考慮多方面的因素.對(duì)水漂運(yùn)動(dòng)的數(shù)值研究最早開始于法國(guó)里昂大學(xué)的Bocquet博士，其利用量綱分析的方法針對(duì)圓形和方形平板的水漂運(yùn)動(dòng)建立了數(shù)學(xué)模型，給出了水漂彈跳的條件以及在彈跳過程中能量的耗散規(guī)律[1].2004年，Christophe Clanet等[2]在Bocquet博士研究的基礎(chǔ)上，利用高速攝影設(shè)備對(duì)圓盤彈跳實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究，給出了圓盤的初始狀態(tài)入水角度、入水速度、速度夾角和轉(zhuǎn)速之間的規(guī)律，得出圓盤的理想入水角度約為20°的結(jié)論.2005年，Lionel Rosellini和Clanet等[3]進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)圓盤單次和多次彈跳下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了更加詳細(xì)的研究，給出了圓盤水漂運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型和能量耗散模型，并利用實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.鄔明[4]應(yīng)用 LS-DYNA 顯式程序的ALE方法對(duì)圓盤擊水彈跳運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬仿真，探究了初始參數(shù)對(duì)圓盤擊水彈跳的影響，驗(yàn)證了此數(shù)值模擬方法的可行性.但是作者在分析時(shí)缺少與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比.趙坤[5]在研究水漂的水動(dòng)力問題時(shí)，建立了水漂的六自由度動(dòng)力學(xué)模型，并利用數(shù)值方法對(duì)水漂體的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的可行性.2019年，孫士明等[6]設(shè)計(jì)了一種適宜滑跳的航行體構(gòu)型，并利用CFD方法對(duì)模型重心位置的變化規(guī)律進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，最后基于設(shè)計(jì)的航行體構(gòu)型進(jìn)行了開放水面自由滑跳實(shí)驗(yàn).通過觀察結(jié)果，證明了將滑跳運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)用在飛行器上的可行性，運(yùn)動(dòng)過程中模型整體應(yīng)保持光滑過渡.

近些年來，跨介質(zhì)概念飛行器(一種既可以在空中高速巡航，同時(shí)又能在水中潛航的新型飛行器)在軍事領(lǐng)域逐漸火熱.當(dāng)飛行器在近海面運(yùn)動(dòng)時(shí)，提高其機(jī)動(dòng)性和隱蔽性對(duì)于發(fā)展此類飛行器至關(guān)重要.近年來，不斷有學(xué)者提出利用打水漂這種起飛再入式的滑跳運(yùn)動(dòng)方式[6-10]，但是研究飛行器的滑跳運(yùn)動(dòng)資料目前來說非常少.打水漂作為一種常見的低速下固體擊水滑跳運(yùn)動(dòng)，研究其運(yùn)動(dòng)對(duì)于發(fā)展跨介質(zhì)飛行器的滑跳運(yùn)動(dòng)非常有借鑒意義.

目前國(guó)內(nèi)對(duì)打水漂的研究起步較晚，且之前的研究多集中在對(duì)水漂入水的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和流動(dòng)機(jī)理研究上，還未形成完整的理論體系和研究方法，相關(guān)實(shí)驗(yàn)資料也同樣很少.基于此，文中通過耦合求解雷諾平均的N～S方程與剛體的6自由度方程，利用重疊網(wǎng)格技術(shù)對(duì)三維空間內(nèi)圓盤打水漂過程進(jìn)行非定常數(shù)值模擬仿真，并通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性，對(duì)圓盤在打水漂過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了分析.

1 數(shù)值模擬方法

1.1 流體控制方程

整個(gè)打水漂運(yùn)動(dòng)過程涉及到固、液、氣多相的耦合問題，文中采用的流體為不可壓縮流體，且無熱交換，利用VOF模型來模擬由水、水蒸氣和非凝結(jié)性氣體的多相流場(chǎng)結(jié)構(gòu).計(jì)算過程中，VOF多相流模型將整個(gè)流場(chǎng)中的流體介質(zhì)處理為單一流體介質(zhì)，該介質(zhì)均質(zhì)且密度和黏度可變，根據(jù)同一單元內(nèi)各相體積分?jǐn)?shù)來區(qū)分不同的流體介質(zhì)區(qū)域.

其中描述混合流場(chǎng)的連續(xù)性方程為

(1)

動(dòng)量方程為

(2)

式中:i、j分別為1、2、3，表示不同的流體相；ui、uj為介質(zhì)速度分量；μt為湍流黏性系數(shù)；ρm和μm分別為混合介質(zhì)的密度和動(dòng)力黏度，二者表達(dá)式分別為

(3)

(4)

式中,αi為不同流體相的體積分?jǐn)?shù)，且滿足α1+α2+α3=1.

1.2 物體運(yùn)動(dòng)方程

計(jì)算過程中采用慣性坐標(biāo)系和體坐標(biāo)系來描述圓盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.其中慣性坐標(biāo)系保持不變，體坐標(biāo)系原點(diǎn)始終在圓盤質(zhì)心位置，且固連在圓盤上.體坐標(biāo)系為動(dòng)坐標(biāo)系，隨圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)而運(yùn)動(dòng).體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系可以通過歐拉角相互轉(zhuǎn)換.在打水漂過程中，圓盤在合外力的作用下做6自由度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，可以將運(yùn)動(dòng)分為質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng).圓盤的平動(dòng)在慣性坐標(biāo)系下進(jìn)行求解計(jì)算，根據(jù)動(dòng)量定理有

(5)

式中：m為圓盤的質(zhì)量；U為圓盤的平動(dòng)速度；F為圓盤運(yùn)動(dòng)中所受的合外力.

關(guān)于圓盤的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，可以通過對(duì)慣性坐標(biāo)系下的動(dòng)量矩方程進(jìn)行求解得出：

(6)

式中：ω為體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的角速度；J為圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；M為圓盤在體坐標(biāo)系下的力矩向量，通過對(duì)圓盤質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系下的力矩MG進(jìn)行計(jì)算得到

M=AMG.

(7)

其中A表示轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，

(8)

式中，φ、θ、ψ為圓盤的3個(gè)姿態(tài)角，即滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角.

在對(duì)圓盤的位置和姿態(tài)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，首先計(jì)算出圓盤某一時(shí)刻的受力以及力矩，再根據(jù)上面的動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算出圓盤此刻的加速度和角加速度，再通過積分運(yùn)算計(jì)算出圓盤此刻的速度和角速度，最后得到圓盤下一時(shí)刻的質(zhì)心位置和姿態(tài)角.

1.3 計(jì)算模型與邊界條件

文中選擇的計(jì)算模型為鋁制圓盤，圓盤密度為水密度的2.7倍，圓盤半徑R=0.025 m，厚度h=0.002 75 m.圖1為三維空間下流場(chǎng)坐標(biāo)系的示意圖，坐標(biāo)系的原點(diǎn)在圓盤質(zhì)心，x軸向外為正；y軸為水平方向，向右為正；z軸為豎直方向，向上為正，文中重力沿z軸向下為負(fù).

圖1 流場(chǎng)三維坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of the three-dimensional coordinate system of the flow field

圖2給出了zoy平面內(nèi)圓盤的擊水示意圖.n和t分別為垂直圓盤和與圓盤表面相切的兩個(gè)方向向量.s為圓盤浸入水中的長(zhǎng)度，d為圓盤浸入水中的垂直深度.通過下面4個(gè)參數(shù)描述圓盤的入水狀態(tài)：入射角α(圓盤平面與水平面的夾角)、速度夾角β(圓盤速度與水平面的夾角)、入水速度U和繞圓盤中心軸方向的轉(zhuǎn)速Ω.

圖3給出了yoz平面內(nèi)計(jì)算域示意圖，其中上面區(qū)域?yàn)榭諝庥?，下面區(qū)域?yàn)樗?，兩個(gè)區(qū)域的中間交界處為自由液面.計(jì)算域y方向長(zhǎng)度為1.0 m，z方向高度為0.25 m，x方向?qū)挾葹?.4 m，設(shè)置水域高度為0.09 m，空氣域高度為0.16 m，空氣域的上側(cè)邊界條件設(shè)置為壓力入口，壓強(qiáng)與大氣壓一致；水域的下側(cè)邊界條件設(shè)置為壓力出口.圓盤與計(jì)算域其余邊界均設(shè)置為無滑移壁面.

圖2 yoz平面圓盤擊水示意圖Fig.2 Schematic diagram of stone hitting water on the yoz plane

圖3 計(jì)算域示意圖Fig.3 Phase diagram of calculated domain

圓盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律由耦合了6自由度方程的非定常雷諾時(shí)均N～S方程求解圓盤的運(yùn)動(dòng)得出.物體假定為剛體，忽略表面張力，考慮重力的作用.湍流模型選取SST(shear stress transport)k-ω模型.壓力場(chǎng)與速度場(chǎng)采用PISO耦合算法，時(shí)間上采用隱式格式，空間上均采用二階迎風(fēng)格式，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為10-5，保證殘差在每個(gè)時(shí)間步內(nèi)迭代50次達(dá)到10-3.每個(gè)工況的總物理時(shí)間在1.5～2.5 s以內(nèi)，保證一次彈跳的完整性[11].

1.4 重疊網(wǎng)格技術(shù)

由于圓盤的運(yùn)動(dòng)范圍比較大，在進(jìn)行非定常運(yùn)動(dòng)過程的數(shù)值模擬時(shí)，使用傳統(tǒng)動(dòng)網(wǎng)格方法在網(wǎng)格重構(gòu)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的網(wǎng)格變形從而給計(jì)算帶來很大的誤差.重疊網(wǎng)格方法(overset grids)是一種在處理運(yùn)動(dòng)邊界時(shí)能夠進(jìn)行區(qū)域分割和網(wǎng)格組合的技術(shù).按照網(wǎng)格生成的需要將復(fù)雜的流場(chǎng)分解開，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)生成高質(zhì)量的網(wǎng)格塊.其中區(qū)域與區(qū)域之間通過嵌套或重疊的方式來確定共享邊界.共享區(qū)域(重疊區(qū)域)通過插值的方式來傳遞流場(chǎng)數(shù)據(jù)，而其余區(qū)域內(nèi)部則用差分的方式傳遞流場(chǎng)數(shù)據(jù).這一方式降低了網(wǎng)格生成的難度，提高了網(wǎng)格靈活性，保證了原始網(wǎng)格的質(zhì)量，在模擬多相流運(yùn)動(dòng)問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)[12-13].根據(jù)重疊網(wǎng)格技術(shù)的思路，將文中圓盤及其周圍運(yùn)動(dòng)區(qū)域設(shè)置為部件網(wǎng)格，區(qū)域之外的流域設(shè)置為背景網(wǎng)格.

圖4為yoz平面的重疊網(wǎng)格示意圖，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行重構(gòu)處理過程中要保證總體網(wǎng)格的質(zhì)量，從而減小插值帶來的誤差.由圖4可知，重疊區(qū)域距離圓盤較遠(yuǎn)，網(wǎng)格大小適中，部件網(wǎng)格與背景網(wǎng)格重疊質(zhì)量良好，符合重疊網(wǎng)格的要求.整個(gè)流場(chǎng)的總網(wǎng)格數(shù)量在275萬左右，其中部件網(wǎng)格的網(wǎng)格量在25萬左右，背景網(wǎng)格量在250萬左右.考慮到圓盤在縱向平面內(nèi)的位移變化較大，為了保證對(duì)氣液交界面的捕捉精度，對(duì)平板及水面附近的網(wǎng)格區(qū)域進(jìn)行局部加密.

圖4 某剖面重疊網(wǎng)格示意圖Fig.4 Schematic diagram of overset grid of a section

2 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

2.1 數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

為了驗(yàn)證文中的數(shù)值方法在研究水漂運(yùn)動(dòng)時(shí)的可行性和準(zhǔn)確性，文中選取文獻(xiàn)[3]中的圓盤平板水漂實(shí)驗(yàn)進(jìn)行算例驗(yàn)證.實(shí)驗(yàn)的圓盤材料、規(guī)格等參數(shù)與文中相同.根據(jù)實(shí)驗(yàn)，文中分別在工況1：初速度U=3.5 m/s、入射角α=20°、速度夾角β=20、圓盤旋轉(zhuǎn)速度Ω=65 r/s和工況2：初速度U=5 m/s、入射角α=20°、速度夾角β=20、圓盤旋轉(zhuǎn)速度Ω=65 r/s條件下對(duì)圓盤的彈跳規(guī)律和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算.

2.1.1運(yùn)動(dòng)特性對(duì)比分析

如圖5展示工況1條件下圓盤進(jìn)行水漂運(yùn)動(dòng)不同時(shí)刻的姿態(tài)變化.為了方便觀察，所選切面為yoz平面內(nèi)尺寸相同的部分流場(chǎng)，尺寸比例如圖5(a)所示，每幅圖像相隔時(shí)間均為6.5 ms，依次展示了圓盤從接觸水面到出水整個(gè)過程.從圖5中可以看出，初始時(shí)刻圓盤最低點(diǎn)與水面接觸，在部分盤體進(jìn)入水中后，圓盤周圍產(chǎn)生一定的擾動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生一定的凹陷.在整個(gè)過程中，圓盤以近乎恒定的入射角在水中滑行.在t≈32 ms時(shí)，圓盤離開水面到空中做拋物線運(yùn)動(dòng).圖6為展示了在xoy平面的部分流場(chǎng)圓盤與水面相互作用的空氣體積分布云圖.從圖6中可以看出，在圓盤旋轉(zhuǎn)的影響下，圓盤附近的水面同樣產(chǎn)生了擾動(dòng)，這個(gè)擾動(dòng)隨著圓盤的不斷移動(dòng)而向前移動(dòng).

圖5 yoz平面不同時(shí)刻圓盤滑跳過程空氣體積分?jǐn)?shù)分布云圖Fig.5 Cloud graph of air volume fraction distribution in the process of stone skipping at different moments on the yoz plane

圖7為同一初始條件下圓盤進(jìn)行水漂運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)圖像，每幅圖像同樣相隔6.5 ms.通過對(duì)比圖5和圖7，能夠看出數(shù)值模擬方法準(zhǔn)確的模擬出整個(gè)水漂運(yùn)動(dòng)過程.同時(shí)從圖5中可以看出，在整個(gè)打水漂過程中圓盤的入射角度幾乎不變，這個(gè)規(guī)律與文獻(xiàn)[2-3]中通過實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是相吻合的.工況2條件下圓盤的運(yùn)動(dòng)規(guī)律圖像與工況1類似，不再展示.

圖6 xoy平面部分時(shí)刻圓盤滑跳過程中空氣體積分?jǐn)?shù)分布云圖Fig.6 Cloud graph of air volume fraction distribution during stone skipping at some moments on the xoy plane

圖7 不同時(shí)刻圓盤滑跳過程實(shí)驗(yàn)圖像Fig.7 Experimental image of stone skipping process at different moments

2.1.2觸水時(shí)間對(duì)比分析

根據(jù)陀螺效應(yīng)，旋轉(zhuǎn)的物體有維持自己方向穩(wěn)定的趨勢(shì).在文中的研究中，旋轉(zhuǎn)的作用是使圓盤在與水面接觸過程中的角度保持穩(wěn)定.而且旋轉(zhuǎn)速度越大，圓盤越穩(wěn)定，使之能夠在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)與水面保持一個(gè)恒定的角度.當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度低于能夠保持圓盤穩(wěn)定的閾值或圓盤無旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓盤將不能保持與水面恒定的角度，此時(shí)圓盤受力的方向不能夠保持穩(wěn)定，圓盤會(huì)側(cè)翻進(jìn)入水中，不能彈起來.

定義τ為圓盤從接觸水面到離開水面所用的時(shí)間，即觸水時(shí)間.在一定的范圍內(nèi)，隨著圓盤初始轉(zhuǎn)速的增大，觸水時(shí)間τ值會(huì)逐漸減小，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到閾值后，τ值不再變化而是趨于一個(gè)固定值，此時(shí)圓盤的狀態(tài)稱為轉(zhuǎn)速飽和狀態(tài)，此時(shí)得到的觸水時(shí)間值為τmin.文中選取的工況1和工況2轉(zhuǎn)速都為65 r/s，處在轉(zhuǎn)速飽和狀態(tài).

根據(jù)圓盤位移隨時(shí)間變化的數(shù)值模擬結(jié)果和圓盤的尺寸數(shù)據(jù)，計(jì)算圓盤在兩種工況下第一次彈跳過程的觸水時(shí)間τmin.表1為兩種工況下τmin的數(shù)值計(jì)算結(jié)果以及文獻(xiàn)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果.從表1中可以看出，在工況1條件下，τmin的數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，相對(duì)誤差在0.5%以內(nèi)；工況2條件下，τmin的數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比相對(duì)誤差不超過2%.可以看出數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差距很小，這說明數(shù)值模擬方法能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算出圓盤最小觸水時(shí)間.

表1 兩種工況下圓盤觸水時(shí)間τminTab.1 Time τmin under two operating conditions

通過以上結(jié)果可以看出，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性，說明文中的數(shù)值計(jì)算方法在研究圓盤水漂運(yùn)動(dòng)時(shí)是可信的.

2.2 圓盤打水漂運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析

下面將從3個(gè)坐標(biāo)軸方向上圓盤的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律入手來分析圓盤在打水漂過程中的運(yùn)動(dòng)特性.

2.2.1水平方向(y方向)

圖8給出了工況1和2條件下圓盤的水平位移y和速度Uy隨時(shí)間的變化規(guī)律(文中出現(xiàn)的圓盤的速度、位移和受力如無特殊說明，均指圓盤質(zhì)心的速度、位移和受力).如圖8所示，初始時(shí)刻，圓盤接觸到水面，在水平方向上速度開始下降，之后變化逐漸減緩.從圓盤軌跡可以看出，圓盤在接觸水面后水平方向上所受阻力突然增大，因而速度開始減小，入水后圓盤阻力變化范圍很小，速度的變化幅度也降低.圓盤出水后在空中做拋物線運(yùn)動(dòng)，水平方向速度基本保持不變.數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律是相吻合的.

圖8 工況1和工況2圓盤水平方向位移y與速度Uy隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Diagram of time-dependent displacement and speed Uy of the stone in the horizontal direction of Case 1&2

2.2.2豎直方向(z方向)

如圖9分別給出了工況1和2條件下圓盤在豎直方向上的位移z以及速度Uz隨時(shí)間的變化規(guī)律.從兩幅圖中可以看出，圓盤在初始時(shí)刻接觸水面后，首先下降了一定的距離，到達(dá)軌跡最低點(diǎn)后，圓盤又開始逐漸上升.結(jié)合圖5和圖6進(jìn)行分析，初始時(shí)刻圓盤在重力的作用開始下降，隨著圓盤浸入水中的面積逐漸增大，根據(jù)升力公式：

(9)

圖9 工況1和工況2圓盤豎直方向位移z與速度Uz隨時(shí)間變化圖Fig.9 Diagram of time-dependent displacement and speed Uz of the stone in the vertical direction of Case 1&2

(10)

隨著觸水面積的增大，圓盤所受的升力開始增大，直至圖中最低點(diǎn)圓盤在豎直方向上速度衰減到零，此時(shí)圓盤所受升力大于重力.之后圓盤在二者合力的作用下，會(huì)發(fā)生反彈，直至離開水面.由于空氣對(duì)圓盤的作用力很小，圓盤在空中做拋物線運(yùn)動(dòng)后再次進(jìn)入水中，重新進(jìn)行下一次滑跳運(yùn)動(dòng)直至能量不足不能再彈起.

2.2.3側(cè)向(x方向)

前面兩部分分析了不同初始條件下圓盤進(jìn)行水漂運(yùn)動(dòng)時(shí)在水平方向(y方向)和豎直方向(z方向)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這也是多數(shù)打水漂運(yùn)動(dòng)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究主要關(guān)注的兩個(gè)方向.文中在使用數(shù)值模擬方法對(duì)圓盤在三維空間內(nèi)的水漂運(yùn)動(dòng)進(jìn)行探究時(shí)，注意到圓盤在向前做水漂運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還存在明顯的側(cè)向(x負(fù)方向)運(yùn)動(dòng)，這也是在二維條件下研究水漂運(yùn)動(dòng)時(shí)觀察不到的[14-15].通過數(shù)值模擬計(jì)算的工況1條件下圓盤的側(cè)向位移隨時(shí)間變化規(guī)律如圖10所示；圖11則為數(shù)值模擬計(jì)算得到的部分時(shí)刻下圓盤側(cè)向力系數(shù)隨時(shí)間變化的結(jié)果.由圖10和圖11可見，圓盤初始時(shí)刻側(cè)向速度為0，且側(cè)向力系數(shù)同樣為0，所以此時(shí)的側(cè)向位移變化非常小，入水后圓盤的側(cè)向力系數(shù)開始急劇增大，較大的側(cè)向力使得圓盤的側(cè)向速度逐漸增大，在側(cè)向上產(chǎn)生了明顯的位移，之后圓盤的側(cè)向力系數(shù)開始減小，直到出水時(shí)刻減小為0.側(cè)向速度保持不變.圖12給出了馬格努斯效應(yīng)示意圖，圓盤在進(jìn)入水中后，由于自身不斷的旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)觸水區(qū)域周圍的水開始旋轉(zhuǎn)，在圓盤兩側(cè)產(chǎn)生一個(gè)誘導(dǎo)速度場(chǎng)(U1、U2)，這個(gè)誘導(dǎo)速度場(chǎng)在水平方向上的分速度與來流作用下的附加速度場(chǎng)(Uw)相互影響，在自身旋轉(zhuǎn)方向與來流速度方向相同的一側(cè)，兩個(gè)速度場(chǎng)相互疊加而增強(qiáng)，相反在另一側(cè)兩個(gè)速度場(chǎng)相互抵消而減弱.根據(jù)伯努利定理，圓盤兩側(cè)由于合速度的不同產(chǎn)生壓力差，從而產(chǎn)生側(cè)向力，即馬格努斯力.馬格努斯力與來流方向和圓盤旋轉(zhuǎn)方向均垂直，使圓盤在側(cè)向上產(chǎn)生了一定的偏移(Ur).

圖10 工況1圓盤側(cè)向位移隨時(shí)間變化圖Fig.10 Diagram of time-dependent displacement of the stone in the x direction of Case 1

圖11 工況1圓盤部分時(shí)刻側(cè)向力系數(shù)隨時(shí)間變化圖Fig.11 Diagram of time-dependent lateral force coefficient of the stone in a part of moment of Case 1

圖12 馬格努斯效應(yīng)示意圖Fig.12 Schematic diagram of the Magnus effect

除了前文提到的在側(cè)向上圓盤的運(yùn)動(dòng)存在一定的偏移之外，觀察到圓盤在運(yùn)動(dòng)過程中還存在一定的偏轉(zhuǎn).圖13給出了初始時(shí)刻和出水時(shí)刻時(shí)，沿y軸負(fù)方向?yàn)橛^察角度的圓盤自身姿態(tài)變化.如圖13所示，圖中圓盤A側(cè)方向表現(xiàn)為逐漸升高的趨勢(shì)，而相反一側(cè)則表現(xiàn)為下降的趨勢(shì).這表明圓盤在與水的相互作用下產(chǎn)生了一個(gè)旋轉(zhuǎn)力矩.下面分析這個(gè)旋轉(zhuǎn)力矩是怎么產(chǎn)生的.

圖13 圓盤前后時(shí)刻偏轉(zhuǎn)示意圖Fig.13 Schematic diagram of the deflection of the stone

前文提到圓盤由于自身的旋轉(zhuǎn)，使得圓盤觸水區(qū)域周圍的水產(chǎn)生了誘導(dǎo)速度場(chǎng)，這個(gè)速度場(chǎng)在圓盤的兩側(cè)表現(xiàn)為相反的方向.由于圓盤初始狀態(tài)下與水平面存在一定的角度，因此圓盤兩側(cè)的誘導(dǎo)速度U1可以分為水平分速度U1y和豎直分速度U1z，其中豎直分速度U1z在圖中AC兩側(cè)的方向是相反的.在A點(diǎn)一側(cè)這個(gè)分速度方向?yàn)樨Q直向上，另一側(cè)則為豎直向下.這兩個(gè)相反方向的速度，作用在圓盤上，在圓盤兩側(cè)產(chǎn)生了使圓盤發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩.

下面分析圓盤在單次打水漂運(yùn)動(dòng)中的能量損失，在文中，圓盤的能量為其自身的機(jī)械能，由動(dòng)能和勢(shì)能兩部分組成：

(11)

式中:E為圓盤的機(jī)械能;m為圓盤質(zhì)量;g為重力加速度(文中取9.8 m/s2);h為圓盤相對(duì)水面的高度，初始時(shí)刻h=0 m，離開水面時(shí)h同樣為0 m.

通過數(shù)值模擬計(jì)算得到兩個(gè)工況下圓盤單次水漂運(yùn)動(dòng)的相對(duì)能量損失結(jié)果.工況1下圓盤的相對(duì)能量損失為39.75%,工況2下圓盤的相對(duì)能量損失為36.39%.因?yàn)楣r2條件下圓盤初始速度較大，圓盤在水中的時(shí)間相對(duì)更短，消耗的機(jī)械能較少,比工況1能量損失小.

3 結(jié) 論

文中基于CFD方法，耦合求解雷諾平均的N～S方程與剛體的六自由度運(yùn)動(dòng)方程，利用VOF多相流模型和重疊網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)圓盤近水面打水漂的非定常運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了數(shù)值模擬，并與文獻(xiàn)中實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，分析了圓盤的彈跳規(guī)律和運(yùn)動(dòng)特性.可以得出以下基本結(jié)論：

① 文中得到的圓盤滑跳過程的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了在滑跳過程中圓盤與水平面夾角保持恒定，且基本等于初始值.數(shù)值模擬得到圓盤單次水漂觸水時(shí)間τmin與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了文中的數(shù)值模擬方法在研究打水漂運(yùn)動(dòng)時(shí)的可行性.

② 圓盤在三維空間內(nèi)的水漂運(yùn)動(dòng)存在側(cè)向偏移，這是因?yàn)樵趫A盤自身的旋轉(zhuǎn)作用下，圓盤觸水的兩側(cè)產(chǎn)生了相反方向的兩個(gè)誘導(dǎo)速度，圓盤誘導(dǎo)速度場(chǎng)的水平分速度通過與來流的附加速度場(chǎng)相互作用，在圓盤兩側(cè)產(chǎn)生了速度差，從而產(chǎn)生了馬格努斯力，這個(gè)力指向速度增大的一側(cè)，從而使圓盤產(chǎn)生了側(cè)向偏移.

③ 圓盤在三維空間內(nèi)的水漂運(yùn)動(dòng)存在側(cè)向的偏轉(zhuǎn)，這是因?yàn)樵趫A盤自身的旋轉(zhuǎn)作用下，在圓盤觸水的兩側(cè)產(chǎn)生了相反方向的兩個(gè)誘導(dǎo)速度，兩個(gè)誘導(dǎo)速度在縱向上表現(xiàn)為兩個(gè)相反方向的縱向分速度，通過與圓盤相互作用，產(chǎn)生了使圓盤發(fā)生偏轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)力矩.

綜上所述，文中給出的數(shù)值模擬方法在研究圓盤近水面的滑跳運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)確可行的.為深入研究水漂運(yùn)動(dòng)規(guī)律和了解水面滑跳運(yùn)動(dòng)提供一種數(shù)值模擬的思路.文中未針對(duì)圓盤運(yùn)動(dòng)中的受力與圓盤姿態(tài)變化的關(guān)系進(jìn)行定量的分析.在接下來的研究中，將會(huì)對(duì)圓盤運(yùn)動(dòng)中的受力和旋轉(zhuǎn)規(guī)律上做進(jìn)一步的探索研究.