楊明明， 邵 荃，丁 嘯

（1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，南京 210016；2.上海農(nóng)村商業(yè)銀行總行，上海 201210）

時(shí)滯現(xiàn)象是引起系統(tǒng)振動(dòng)和不穩(wěn)定的關(guān)鍵因素，在工業(yè)過(guò)程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等實(shí)際生產(chǎn)生活中隨處可見(jiàn).近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)于時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的區(qū)間顯著性過(guò)程進(jìn)行了大量的研究.He等［1］推動(dòng)了最初的區(qū)間變時(shí)滯的發(fā)展，確定了基本的穩(wěn)定性判據(jù)，并在文獻(xiàn)［2］通過(guò)自由權(quán)矩陣方法，提出了有關(guān)區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更低保守性的研究成果.文獻(xiàn)［3-7］使用的自由權(quán)矩陣方法和Jensen積分不等式對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行進(jìn)一步研究.文獻(xiàn)［8-11］通過(guò)結(jié)合構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù)進(jìn)一步改善了時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論.彭丹和華長(zhǎng)春［12］通過(guò)引入2-D Jensen不等式并結(jié)合Lyapunov函數(shù)給出了新的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則.孫欣、高躍［13-14］將Writinger積分不等式應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng)，證明其與Jensen不等式相比有更低的保守性.

本文基于現(xiàn)有時(shí)滯系統(tǒng)的研究成果，通過(guò)將Jensen不等式轉(zhuǎn)化為保守性更低的Wirtinger型不等式，并構(gòu)建新的Lyapunov-Krasovskii泛函，結(jié)合自由權(quán)矩陣得到了基于線性矩陣不等式形式（Linear matrix inequality，LMI）的時(shí)滯系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)并進(jìn)行了證明.

1 基本概念

1.1 Jensen不等式

Jensen不等式是反映凸函數(shù)的基本不等式，對(duì)于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m，M=MT>0，標(biāo)量γ>0，向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有以下Jensen積分不等式：

1.2 Wirtinger型不等式

與Jensen不等式相比，Wirtinger不等式的保守性更小［13］.因此本文對(duì)Jensen不等式進(jìn)行改進(jìn)，得到新的Wirtinger型不等式.

Wirtinger不等式的形式為：對(duì)于任意常數(shù)矩陣M∈Rm×m，M=MT>0，向量函數(shù)[0 ,γ]→Rm有：

1.3 自由權(quán)矩陣

利用Park不等式或Moon不等式結(jié)合模型變換是解決時(shí)滯問(wèn)題的主要方法，即在穩(wěn)定性分析過(guò)程中用Leibniz-Newton公式來(lái)取代Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中的時(shí)滯項(xiàng)，即使用固定權(quán)矩陣來(lái)處理Leibniz-Newton公式間各項(xiàng)的關(guān)系，無(wú)法取代所有的時(shí)滯項(xiàng)，存在極大的局限性.

因此，為了克服固定權(quán)矩陣的保守性，自由權(quán)矩陣方法被引入用來(lái)表示Leibniz-Newton公式中各項(xiàng)的相互關(guān)系.通過(guò)求解LMI進(jìn)行自由權(quán)矩陣優(yōu)化，獲得具有較低保守性的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定條件.自由權(quán)矩陣方法在處理Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)時(shí)，不利用交叉項(xiàng)界定技術(shù)或模型變換，而是將x?(t)用系統(tǒng)方程x?(t)=Ax(t)+Ad x(t-h(t))替換后將該式左側(cè)恒為零值的項(xiàng)加入Lyapunov-Krasovskii泛函導(dǎo)數(shù)中，從而得到時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定條件：

其中N1,N2是自由的，其最優(yōu)值通過(guò)LMI的解求出，從而避免了固定權(quán)矩陣方法導(dǎo)致的高保守性.

2 穩(wěn)定性分析

2.1 問(wèn)題描述

考察以下中立型時(shí)滯系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)向量，0≤h1≤h(t)≤h2，h12=h2-h1，且φ(t)∈C1(h2)為連續(xù)可微函數(shù)，定義域?yàn)閇- 2h2,0].

2.2 改進(jìn)的Jensen不等式

證明

可以發(fā)現(xiàn)，

可推得：

即定理1得證.

2.3 時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

做如下定義：

相應(yīng)地分塊矩陣如下：

則該時(shí)滯系統(tǒng)可寫作：

定理2 若存在矩陣P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n，滿足線性矩陣Ξ<0，那么中立型時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

依次求導(dǎo)后可得：

由定理1可推知：

構(gòu)造線形矩陣Ξ：

可得：

當(dāng)Ξ<0時(shí)，V?(t)<0，即時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

引入自由權(quán)矩陣，定義

其相應(yīng)的分塊矩陣如下：

那么時(shí)滯系統(tǒng)有如下自由權(quán)不等式：

其中M為任意的合適維數(shù)的矩陣.結(jié)合該自由權(quán)不等式及定理2，可得定理3.

定理3 若存在矩陣P∈Rn×n，Q1∈Rn×n，Q2∈Rn×n，Q3∈Rn×n，R1∈Rn×n，R2∈Rn×n以及任意的M∈R8n×n，滿足線性矩陣Ξ<0，時(shí)滯系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

其中：

3 結(jié)論

本文以中立型時(shí)滯系統(tǒng)作為研究對(duì)象，將Jensen不等式進(jìn)一步構(gòu)建成為保守性更低的Wirtinger型積分不等式，利用Lyapunov第二方法構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，并引入自由權(quán)矩陣來(lái)表示Leibniz-Newton公式中各項(xiàng)之間的關(guān)系，最終得到了保守性更低的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù).