河北省易縣教育局教研室 段昆山 074200

縱觀近年各地中考試卷，以二次函數(shù)為載體，結(jié)合幾何圖形求面積最值問題的題型是各地中考的高頻考點之一.這類試題綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法，不僅考查了二次函數(shù)與三角形面積的相關(guān)知識，又為后續(xù)學(xué)習(xí)高中知識奠定了基礎(chǔ).具有難度大、綜合性強，區(qū)分度高的特點，很多考生感到束手無策.現(xiàn)以我縣初三上學(xué)期期末考試試卷最后一題為例談一談以二次函數(shù)為載體的三角形面積最值問題的求解策略.

試題呈現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點D（-2，-3）和 點E（3，2），點P是第一象限拋物線上的一個動點.（1）求拋物線的 表 達 式；（2）當△BPC的面積取最大值時，求△BPC面積及點P的坐標.

圖1

下面重點分析第二問的解題思路.

1 求解策略一 分割法

1.1 提煉模型（如圖2）

圖2

1.2 模型解讀

三角形面積通常用底乘高的一半面積公式來求，在平面直角坐標系中求斜三角形的面積直接用這個公式就求不出來了.那就得用轉(zhuǎn)化的思想，把斜三角形分割成底與高分別與坐標軸平行的三角形，充分利用定點的橫縱坐標來求三角形面積. 過點P作PE⊥x軸于點F,此模型△BPC就

1.3 試題簡解

圖3

2 求解策略二 補形法

2.1 提煉模型（如圖4）

圖4

2.2 模型解讀

圖5

除分割法外，求在平面直角坐標系中斜三角形的面積，也可以轉(zhuǎn)換思路，用補形的方法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把斜三角形面積轉(zhuǎn)化成矩形面積減去三角形的面積.再充分利用定點的橫縱坐標，就可以求斜三角形面積了.過點P,作DE⊥y軸，垂足為E.過點B,作BD⊥DE,垂足為D.則四邊

3 求解策略三 鉛錘法

3.1 提煉模型（如圖6）

圖6

3.2 模型解讀

圖7

圖8

4 求解策略四 平行線法

4.1 提煉模型

4.2 模型解讀

如圖9PH//BC，點H、P在直線PH上，點B、C在直線BC上.平行線間的距離相等，即△BPC和△BHC的高相等，底是BC. 所以△BPC和△BHC的面積相等. 求△BPC的面積就轉(zhuǎn)化成求△BHC的面積.

圖9

4.3 試題簡解

圖10

5 求解策略五 相似法

5.1 提煉模型（如圖11）

圖11

5.2 模型解讀

5.3 試題簡解

圖12

6 求解策略六——切線法

6.1 提煉模型（如圖13）

圖13

6.2 模型解讀

在圖13 中，若P點在拋物線上使S△BPC最大. 則須使PE//BC且PE與拋物線有且只有一個交點，才能使S△BPC最大. 因為P點在拋物線上，PE與拋物線有且只有一個交點時，BC邊上的高才最大.

6.3 試題簡解

7 求解策略七 中點法

7.1 提煉模型（如圖14）

圖14

7.2 模型解讀

圖15

感悟解法：這一類以二次函數(shù)為載體，結(jié)合幾何圖形求面積最值問題的題型涉及的知識面多、難度大、綜合性強，要想順利解答此類問題，必須抓住以下幾點.首先，立足轉(zhuǎn)化，抓住動點（設(shè)動為定）合理構(gòu)造輔助線，以轉(zhuǎn)化思想為基本出發(fā)點，抓住動點，根據(jù)不同思路過動點作平行或作垂直等輔助線，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,把未知問題轉(zhuǎn)換為已知問題；其次，數(shù)形結(jié)合，設(shè)出動點坐標，充分挖掘已知條件與隱含條件，要明確角邊在數(shù)量關(guān)系變化中哪些是保持不變的量，哪些是變化的量. 最后根據(jù)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，把面積表示成一個含有某未知量的二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用公式法或配方法把最值求出來.