胡旺寧

（上海捷勃特機器人有限公司，上海，200030）

0 引言

機器人的工作空間是指機器人末端參考點（一般取手腕點）在關(guān)節(jié)角變化下所能達(dá)到的所有位置點的集合，是衡量機器人工作能力的一個重要的運動學(xué)指標(biāo)[1]。在設(shè)計機器人本體時，這是首先需要考慮的問題。在選定了某一構(gòu)型后，機器人的工作空間由臂桿長度和關(guān)節(jié)角范圍決定[2]。機器人的工作空間有兩個基本問題：一是已知機器人的臂桿長度和各個關(guān)節(jié)角范圍，求取其工作空間，稱為工作空間分析或工作空間正問題；二是已知機器人的工作空間要求，反過來求機器人的臂桿長度和各個關(guān)節(jié)角范圍，稱為工作空間綜合或工作空間逆問題[1]。

工作空間正問題相比逆問題容易一些，但是從需求驅(qū)動的邏輯來說逆問題比正問題更具有實際意義。由于逆問題比較復(fù)雜，現(xiàn)有的很多研究方法往往是通過試湊法[3]或影響系數(shù)法[4]將逆問題轉(zhuǎn)化為正問題求解。這種方法雖然可以將逆問題進(jìn)行簡化，但是只能得到次優(yōu)可行解，無法做到結(jié)果優(yōu)化。盡管可以在正問題中做到將工作空間體積最大化[5-6]，然而也不等于逆問題求解的最優(yōu)化，因為機器人的工作空間要求往往不是指整個工作空間，而是整個工作空間的一部分，通常為規(guī)則的幾何形狀。

本文以PUMA機器人為例，對其進(jìn)行運動學(xué)分析，在此基礎(chǔ)上通過數(shù)值法和圖解法相結(jié)合的方法求解其工作空間，然后借助解析法建立基于工作空間的臂長參數(shù)優(yōu)化模型（適當(dāng)減小參數(shù)的個數(shù)），最后選擇啟發(fā)式的遺傳優(yōu)化算法對臂長參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到優(yōu)化結(jié)果。

1 基于工作空間的PUMA機器人臂長優(yōu)化建模

1.1 PUMA機器人運動學(xué)與工作空間分析

PUMA構(gòu)型是一種典型的工業(yè)機器人構(gòu)型，由6個旋轉(zhuǎn)軸線垂直或平行的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成[7]。如圖1所示的弧焊機器人就是一款PUMA型機器人。

圖1 弧焊機器人

按照J(rèn)ohn J. Craig的方法建立上述PUMA機器人的D-H連桿坐標(biāo)系[7]，如圖2所示，其方法的特點是坐標(biāo)系{i}固連于連桿i的首端關(guān)節(jié)副，其原點位于關(guān)節(jié)軸i上，坐標(biāo)系的編號與關(guān)節(jié)軸的編號剛好一致。對應(yīng)的D-H連桿參數(shù)表如表1所示。

圖2 PUMA機器人D-H連桿坐標(biāo)系

/（°）/mm （當(dāng)前位姿初始值）/（°） /mm 1 0 0 2 -900 3 0 0 4 -90 5 90 0 0 6 -90 0 0 7 0 0 0

坐標(biāo)系{3}相對于坐標(biāo)系{0}的變換矩陣：

圖3 PUMA機器人工作空間離散點分布圖

圖4 PUMA機器人工作空間包絡(luò)圖

1.2 基于工作空間的臂長優(yōu)化建模

1.3 基于工作空間的臂長參數(shù)優(yōu)化模型

基于1.2節(jié)的分析，基于工作空間的 機器人臂長參數(shù)優(yōu)化模型表述如下。

2 優(yōu)化算法與實例分析

2.1 優(yōu)化算法介紹

經(jīng)典優(yōu)化算法的原理是先建立目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量之間的梯度關(guān)系，然后沿初始值位置的負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索，當(dāng)收斂差值小于設(shè)定的閾值即停止搜索，當(dāng)前的設(shè)計變量值即為優(yōu)化結(jié)果。經(jīng)典優(yōu)化算法的前提是目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量之間能夠建立可以表達(dá)的映射關(guān)系。如果目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量之間是一種離散的、難以表達(dá)的復(fù)雜映射關(guān)系，那么就難以用經(jīng)典優(yōu)化算法來求解其優(yōu)化問題。

啟發(fā)式優(yōu)化方法無需建立目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量之間可以表達(dá)的映射關(guān)系，是利用已有的經(jīng)驗，選擇已經(jīng)行之有效的解，以隨機或近似隨機方法搜索非線性復(fù)雜空間中的全局最優(yōu)解。常見的啟發(fā)式優(yōu)化方法有模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法等。

遺傳算法是一種模擬生物遺傳選擇和自然進(jìn)化過程的搜索最優(yōu)解的方法，其表達(dá)形式是針對一個群體中的所有個體，利用隨機化的技術(shù)對一個被編碼的參數(shù)空間進(jìn)行高效搜索。其主要步驟有生成初始種群、編碼、適應(yīng)度評價、選擇、交叉和變異，其中選擇、交叉和變異構(gòu)成遺傳算法的遺傳操作。

遺傳算法的計算流程如圖5所示：

圖5 遺傳算法計算流程

2.2 優(yōu)化實例與結(jié)果分析

圖6 初始變量下機器人工作空間

圖7 優(yōu)化變量下機器人工作空間

在初始設(shè)計變量條件下，目標(biāo)函數(shù)值為1430，而在優(yōu)化設(shè)計變量條件下，目標(biāo)函數(shù)值為1351.5，優(yōu)化率為5.5%。

3 結(jié)論

本文從實際需求出發(fā)，提出了一種基于工作空間的機器人臂長優(yōu)化方法。首先建立機器人的運動學(xué)模型，基于運動學(xué)模型通過數(shù)值法和圖解法相結(jié)合的方法求解機器人的工作空間，然后通過解析法建立基于工作空間的臂長參數(shù)優(yōu)化模型，最后采用遺傳算法對臂長參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。以PUMA機器人為例，給定工作空間要求，以臂長之和最小化為目標(biāo)，采用上述優(yōu)化方法，優(yōu)化率達(dá)到5.5%。