董平 張玉峰

摘 要：概念整合課程是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要支撐.層層遞進的課程目標、針對性強的課程內容、有所裨益的教學建議和能夠有效執(zhí)行的評價建議是整合課程的四個重要方面.以變化量與變化率的概念整合為例，討論了基于中學物理的概念教學內容整合的課程設計.

關鍵詞：概念整合課程;變化量;變化率;學習診斷

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）13-0013-04

作者簡介：董平（1982-），女，甘肅隴西人，博士，中學高級教師，研究方向：中學物理學科教學;

張玉峰（1973-），男，山東泰安人，博士，北京市特級教師，研究方向：物理學習與評價.

概念是人類對客觀世界的一種本質的認識和科學的抽象，是人類認識從感性向理性過渡的橋梁.中學生正處于建立理性概念的階段，概念的建立是學習過程中的一個重要環(huán)節(jié).中學階段物理學的概念數(shù)量多，涉及的具體知識內容也比較龐大，學習了許多概念之后，學生還很難在頭腦中形成全面的概念體系，也就難以深層次理解概念及概念之間的關聯(lián).學習診斷的結果顯示：部分學生缺乏從概念建構中萃取描述和解釋自然現(xiàn)象的方式，缺乏將新建構的概念與原有知識建立實質性聯(lián)系等問題.因此，基于中學物理課程標準的內容要求的概念整合類課程顯得尤為重要.本文以“變化量與變化率”為例，來說明概念整合課程的設計.

設計一個完整的課程，首先我們需要明確課程目標，根據(jù)課程目標設計課程內容，再根據(jù)課程內容和學生實際情況提出教學建議，最后給出合理的評價建議.

1 課程目標

課程目標應根據(jù)教學的實際情況進行設計，針對不同的學生有所不同，在此給出相對比較全面的、層層遞進的目標，在實際執(zhí)行時可酌情增減.

具體目標為：

（1）能夠體會變化量與變化率的概念的建立過程;

（2）能夠系統(tǒng)地、深入地理解變化量與變化率的概念;

（3）能夠分析清楚變化量與變化率與其他物理量之間的對應關系，建立物理量之間的關聯(lián)網(wǎng)絡;

（4）能夠在實際情境中靈活運用變化量、變化率及其相關的內容;

（5）掌握策略性的路徑與方法來分析與變化量、變化率有關的問題，且處理其他問題時能夠將一些策略與方法進行遷移.

2 課程內容

在學習診斷中，有這樣一個情境：車輪和電風扇的扇葉繞轉軸運動時，可以用Δθ表示在一段時間Δt內轉動的角度，用轉動的角度Δθ與其經(jīng)過的時間Δt之比定義角速度ω，即ω=ΔθΔt，用一段時間內角速度的變化率ΔωΔt來描述角速度ω的變化快慢，這個變化率稱作角加速度β，即β=ΔωΔt.診斷中學生對于角速度和角加速度概念的理解、概念之間的關聯(lián)出現(xiàn)了一些問題.角速度ω、角加速度β包含著變化量與變化率的概念，在高中物理范圍內，還有很多物理量涉及到變化量與變化率的問題，對這些問題進行整合頗有價值.

第一層目標是體會變化量與變化率的概念的建立過程.要讓學生體會這個大概念的建立過程，可以從為什么要引入變化量與變化率談起.

2.1 為什么要引入變化量與變化率

在客觀的物理世界中，伴隨著時間的推演，物體占據(jù)的空間位置可能不同，物體運動的情況可能不同，物體具有的能量可能不同……這意味著描述物體方方面面的物理量可能發(fā)生變化.在物理量發(fā)生變化的過程中，我們想要描述物理量的變化，就需要引入變化量.若我們不僅關注物理量的變化，還想研究物理量變化的快慢，就需要引入變化率.

第二層目標是能夠系統(tǒng)地、深入地理解變化量與變化率的概念.系統(tǒng)地理解概念，可以用一個個特例來總結歸納出概念的共性，也可以用一個統(tǒng)一的、普適的定義來概括這個概念，再用一些特例來幫助理解這個概念.深入地理解概念，就要求充分挖掘概念的內涵和外延.為了這個目標，我們設置了以下兩個模塊：（1）什么是變化量（或變化率），這個模塊主要是分析變化量（變化率）這個大概念，從普適的定義出發(fā)，再輔以具體的情境和具體物理量的應用，來幫助學生系統(tǒng)地理解概念;（2）對變化量（或變化率）的再認識，這個模塊主要是深入理解概念.

2.2 什么是變化量與變化率

2.2.1 什么是變化量

物理量發(fā)生變化必然對應著一個物理過程，這個過程不論長短，都有初狀態(tài)和末狀態(tài).我們把某個物理量D的初狀態(tài)記為D1，末狀態(tài)記為D2，那么物理量D的變化量定義為ΔD=D2-D1.從定義可以看出，物理量的變化量，描述的是物理量狀態(tài)之間的差異.

若物理量D為標量，計算ΔD時，直接用D2的數(shù)值減去D1的數(shù)值，變化量為正表示末狀態(tài)的物理量D2比初狀態(tài)的物理量D1大;變化量為負則表示末狀態(tài)的物理量D2比初狀態(tài)的物理量D1小.

若物理量D為矢量，計算ΔD時，應采用矢量相減的法則.如圖1所示，采用由O點指向A點的有向線段來表示矢量D1，采用由O點指向B點的有向線段來表示矢量D2，則變化量ΔD即為由A點指向B點的有向線段，變化量ΔD既有大小也有方向，為一個矢量.

特殊地，當矢量D1、D2的方向在一條直線上時，有以下兩種情況：

①若矢量D1、D2方向相同，我們可以直接用矢量D2的大小減去矢量D1的大小，變化量為正表示變化量的方向與D1、D2的方向相同，如圖2所示;變化量為負則表示變化量的方向與D1、D2的方向相反，如圖3所示.

②若矢量D1、D2方向相反，我們可以直接用矢量D2的大小加上矢量D1的大小進行計算，變化量ΔD的大小等于D1、D2的大小直接相加，方向與D2的方向相同，如圖4所示.

2.2.2 對變化量的再認識

變化量描述了在一個過程中，物理量的末狀態(tài)與初狀態(tài)之間的差異，矢量的變化量就包括大小的差異和方向的差異，因此，我們可以以圖1中矢量D1的起始點O點為圓心，以矢量D1的長度OA為半徑作一段圓弧，圓弧與線段OB交于C點，如圖5所示.矢量D1和矢量D2大小的差異為線段CB的長度，它們方向的差異體現(xiàn)在線段AC上.因此，變化量ΔD可以看作線段AC代表的矢量與線段CB代表的矢量之和.

標量的變化量則只需考慮其大小的差異即可.

2.2.3 什么是變化率

物理量發(fā)生變化時，其末狀態(tài)和初狀態(tài)之間的時間間隔記為Δt，定義時間變化率k=ΔDΔt，k越大，物理量D隨時間t的變化率就越大，物理量就變化得越快.很多物理過程還伴隨著空間位置的變化（即經(jīng)過一段位移，高中階段位置限定在一維坐標上），對應物理過程經(jīng)過的位移記為Δx，就可以定義空間變化率k′=ΔDΔx，k′越大，物理量D隨位置x的變化率就越大.

2.2.4 對變化率的再認識

變化率除了可以用定義式來表示外，還可以用物理圖像來分析研究.如圖6所示，物理量D隨時間t變化的關系為圖中的曲線，t1時刻物理量為D1，對應的狀態(tài)為A狀態(tài)，t2時刻物理量為D2，對應的狀態(tài)為B狀態(tài)，從A狀態(tài)到B狀態(tài)的過程中，物理量的變化量ΔD=D2-D1，持續(xù)的時間Δt=t2-t1，物理量D隨時間的變化率k=ΔDΔt=D2-D1t2-t1為圖像上A、B兩點連線的斜率.這個斜率為曲線的割線的斜率，表示由狀態(tài)A到狀態(tài)B的過程中物理量隨時間的平均變化率.當物理過程持續(xù)的時間Δt極短時，狀態(tài)B趨近于狀態(tài)A，A、B兩點連線的割線的斜率趨近于A點處曲線切線的斜率，平均變化率趨于A點處的瞬時變化率.類似地，可分析物理量隨位移的變化率在物理圖像上的意義.

第三層目標是能夠分析清楚變化量與變化率與其他物理量之間的對應關系，建立物理量之間的關聯(lián)網(wǎng)絡.這個目標要求對概念與其它概念之間的關聯(lián)關系理解清晰，需要對實際概念之間的關聯(lián)關系進行分析和研究.以下呈現(xiàn)這一部分的課程設計.

2.3 變化量或變化率與其它物理量的對應關系

當我們用變化量來描述物理量的變化、用變化率來描述物理量變化的快慢時，這種描述是表觀的，是對現(xiàn)象的物理概括.于是我們進一步思考，在表觀之下，內在的、深入的、機理性的本質是什么？

位置的變化量Δx是狀態(tài)量速度v在時間Δt上的累積效果，速度的變化量Δv是狀態(tài)量加速度a在時間Δt上的累積效果，動量的變化量Δp是狀態(tài)量合外力F在時間Δt上的累積效果，動能的變化量ΔEk是狀態(tài)量合外力F在空間Δx上的累積效果.因此，我們可以從其它物理量入手，來分析物理量變化量的情況.比如要分析電勢能的變化量ΔEp，我們可以從電場力做功的角度入手，要研究機械能的變化量ΔE，可以從除了重力和彈簧彈力以外的其它力做功的角度入手.

一個自由下落的物體，其動能的增加量為ΔEk=Ek2-Ek1（Ek1、Ek2分別指初態(tài)和末態(tài)時的動能），重力勢能的減少量為-ΔEp=Ep1-Ep2（Ep1、Ep2分別指初態(tài)和末態(tài)時的重力勢能），根據(jù)動能定理和功能關系，可得等量關系ΔEk=-ΔEp，通過數(shù)學變形我們發(fā)現(xiàn)，存在等式Ek1+Ep1= Ek2+Ep2，這說明在某些物理量變化的過程中，存在著不變的量.這為我們探究客觀世界的規(guī)律提供了一個很好的策略與路徑.我們在追溯變化量時，可能發(fā)現(xiàn)在變化過程中的某些不變量;反之我們在分析一些不變的物理量時，也可能發(fā)現(xiàn)其中某些變化量的規(guī)律.這種由變化推演到不變，或由不變推演到變化的思辨過程，正是我們探索客觀世界規(guī)律的過程中所需要的兩種很好的思維路徑.

有些情況下，考慮變化率與其它物理量的對應關系時，可以將變化量作為結果，來追溯產(chǎn)生變化量的原因.例如動能隨空間位置的變化率ΔEkΔx等于合外力F的大小，動量隨時間的變化率ΔpΔt也等于合外力F，合外力F既決定著動能的空間變化率，又決定著動量的時間變化率，是一個重要的物理量.我們還可以將變化量或變化率作為原因，來考慮變化量或變化率導致的結果.例如，磁通量的變化ΔΦ是產(chǎn)生感應電動勢的原因，那么磁通量的變化率ΔΦΔt是否對應著感應電動勢ε的大小呢？首先將磁通量的變化分為磁感應強度B的變化或線圈面積S的變化，進一步研究發(fā)現(xiàn)，S一定時，ΔBΔt越大，ΔΦΔt就越大，感應電動勢ε就越大;B一定時，ΔSΔt越大，ΔΦΔt就越大，感應電動勢ε就越大.這就是電磁感應的兩種情況.在這個例子中，磁通量的變化導致了感應電動勢的產(chǎn)生，磁通量的變化率決定了感應電動勢的大小.在具體情境中，將變化率作為結果來分析產(chǎn)生變化率的原因，或將變化率作為原因來研究變化率導致的結果，對于理解變化率的大小很有幫助，而追本溯源這一思維過程，也正是物理學邏輯性的體現(xiàn).

第四層目標為能夠在實際情境中靈活運用變化量、變化率及其相關的內容，因此設計了下面的環(huán)節(jié).

2.4 變化量及變化率的應用

如圖7所示，一試探電荷+q在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動.取該直線為x軸，起始點O為坐標原點，某條電場線沿+x方向.在試探電荷q由O點運動至A點的過程中，其動能Ek、電勢能EP、總能量E與位移x的關系可用圖像表示.取A點為零勢能參考點.若圖7中的電場為點電荷+Q產(chǎn)生的電場，圖8中合理的是

首先應判斷場源電荷的位置.由于場源電荷、試探電荷均為正電荷，試探電荷由靜止釋放后，由O點運動至A點，因此場源電荷位于O點的左側，那么試探電荷O點運動至A點的過程中，受到的靜電力逐漸減小.考慮到圖像上某一點處切線的斜率可以反映物理量的變化率的情況，可知Ek-x圖像應為一條斜率逐漸減小但Ek逐漸增大的圖線，A、B選項均不對.Ep-x圖像應為一條斜率的絕對值逐漸減小且Ep逐漸減小的圖線，故C選項正確.總能量守恒，故D選項錯誤.因此正確選項為C.

第五層目標為掌握策略性的路徑與方法來分析與變化量、變化率有關的問題，且處理其他問題時能夠將一些策略與方法進行遷移.這是最高的目標，是對上述內容的反思與提升.

2.5 反思與提升

有了以上對于變化量和變化率的認識和理解，我們再來看學習診斷中一個典型的問題.

問題：若硬桿從靜止開始繞轉軸O勻加速轉動，轉動的角加速度為β，經(jīng)過時間t，求硬桿轉過的角度θ.

分析：該問題指向同學們對于概念與規(guī)律的綜合分析與遷移應用.角加速度并沒有直接與轉過的角度相聯(lián)系，而是通過角速度相聯(lián)系.Δω=βΔt，而Δθ=ωΔt，這就存在一個困難，在這個問題中角速度ω是一個變量，怎樣處理它的累積效果呢？我們回憶一下，在勻變速直線運動中，由于Δv=aΔt，加速度a一定時，我們可以畫出物體的v-t圖像是一條直線，由于Δx=vΔt，v-t圖像下包圍的面積就是這段時間內物體的位移了.我們完全可以遷移這個策略，由于Δω=βΔt，角加速度β一定時，我們可以畫出物體的ω-t圖像是一條直線，由于Δθ=ωΔt，ω-t圖像下包圍的面積就是這段時間內物體轉過的角度了.實際上這個角度也叫“角位移”.

反思：變化率不是定值時，怎樣計算其在時間上或空間上的累積效果？

提升：上題給出了具體的示范，可以利用圖像來處理這類問題，圖像下包圍的面積就是累積效果.這樣處理時，其實是將圖像下包圍的面積切分成一個個非常非常窄的小矩形條，每個小矩形條的面積都等于它的長乘以寬，寬就是我們劃分出的非常小的時間范圍，長就是在這個非常小的時間范圍內，被當作常量的物理量.然后將這些小矩形條的面積相加，得到總的累積效果.這個策略提示我們，在處理變化率為變量的問題時，可以在一段非常小的時間內，或一段非常短的位移內，將變量當作常量來處理，然后將很多很多這樣的小段相累加，得到最終累加的效果.這蘊含著“化變?yōu)楹恪钡乃枷?，正是在這樣的思想的指引下，偉大的科學巨匠牛頓創(chuàng)立了微積分的初步算法，在科學史上留下了濃墨重彩的一筆.

3 教學建議

根據(jù)以上課程內容和學生的實際情況，提出以下教學建議：

（1）對于程度較好的學生，建議采用“總—分—總”的模式進行教學.先引導學生總結變化量與變化率的概念，引導學生思考變化量與變化率與其它物理量的關系，再讓學生舉例說明高中物理涉及到的變化量與變化率是怎樣體現(xiàn)概念性與規(guī)律性的，最后引導學生思考與總結，提升學生的整體理解和邏輯把握.

（2）對于程度中等的學生，建議采用“分—總”的模式進行教學.先引導學生說出一些具體的變化量與變化率，逐層深入地分析這些變化量與變化率本身的特點，再進行歸納總結它們的共性，最后進行拓展延伸，用本文的邏輯鏈條將學生零散的知識點串聯(lián)起來.

（3）對于程度較差的學生，建議采用“分—分—總”的模式進行教學.先給出一些具體的變化量與變化率的示范，逐個分析具體的變化量與變化率的概念，再引導學生說出一些具體的變化量與變化率，逐層深入地分析這些變化量與變化率本身的特點，最后進行歸納總結它們的共性，理清學生的思路，引領學生掌握部分策略與路徑.

4 評價建議

評價學生關于整合課程的接受程度和學習效果，可以采用多種方法.本文從落實課程目標的角度，給出以下建議：

（1）通過讓學生口述概念、辨析概念的正誤或舉例說明概念的建立過程等方式，評價學生第一層學習目標是否達到，即對于概念的建立過程是否清晰.

（2）設計概念辨析類問題，或者讓學生分類列舉具體概念，來確定學生第二層學習目標是否達到，即是否系統(tǒng)地、深入地理解概念.

（3）設置一系列相關的問題串，來檢驗學生是否能夠分析清楚概念之間的對應關系，是否建立物理量之間的關聯(lián)網(wǎng)絡.

（4）創(chuàng)設問題情境，通過組織學生分析、討論、拓展研究等方法，判斷學生能否在實際情境中靈活運用概念及其相關的內容.

（5）讓學生進行歸納總結，或讓學生進行問題遷移，來引導學生分析問題時掌握策略性的路徑與方法并將一些策略與方法進行遷移.

（收稿日期：2021-05-07）