陳一寧，陳 巖

(沈陽工業(yè)大學理學院，110870，遼寧省沈陽市)

0 引 言

作為對策論的一個重要分支，合作對策主要研究的是參與對策的局中人怎樣與其他人合作能夠共同取得最大收益，以及形成聯(lián)盟后如何對共同取得的收益進行分配.其中，合作對策的收益分配問題一直是該方向的熱點.合作對策解的概念有很多，主要分為兩類：一類是穩(wěn)定集、談判集、核仁等占優(yōu)解，但在某些情況下合作對策的占優(yōu)解集可能為空；另一類是估值解，合作對策的估值解是唯一的解向量，給予對策中的每個局中人相應的分配.Shapley值[1]是1953年Shapley從公理化角度出發(fā)，提出的n人對策解的概念，是合作對策的一個重要估值解.由于其含義清晰，表達式簡潔且始終存在等優(yōu)良性質(zhì)，成為合作對策中最重要的解的概念之一.經(jīng)典Shapley值假設局中人在決定離開或加入聯(lián)盟時是獨立的，即在計算邊際貢獻的過程中，局中人皆以個人的身份出現(xiàn).然而在現(xiàn)實生活中，局中人往往被同伴所做的決定影響，或者單干時獲得收益微弱但參與合作后可為聯(lián)盟獲得大量收益，這就需要考慮團體邊際貢獻(簡稱團體貢獻)的概念.團體貢獻的隱含思想在合作對策中早有體現(xiàn)，Grabisch[2]提出的合作對策模型中，局中人基于相似的利益相互作用，形成團體.類似地，在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策中，還有些方法[3-6]是將大聯(lián)盟分成小組或其他聯(lián)盟結(jié)構(gòu)再進行對策求解.近期，Borkotokey等[7]提出了合作對策中考慮團體貢獻的Shapley值.在此概念中，計算邊際貢獻時考慮局中人的團體貢獻使得不被允許單獨生產(chǎn)但參與合作后貢獻突出的局中人獲得更合理的分配，最終獲得的收益分配更具有公正性、平等性.

由于環(huán)境、條件及信息等因素的不確定性，使得現(xiàn)實中的合作幾乎不可能在清晰準確的環(huán)境下進行，往往難以精確給出合作對策的支付，只能估計其范圍．因此經(jīng)典合作對策向著模糊化拓展延伸，許多學者開始關(guān)注并研究模糊支付合作對策.1974年，Aubin[8]首次提出了模糊對策的概念，隨后Butnariu[9]、Tsurumi等[10]研究了模糊合作對策的Shapley函數(shù).在模糊支付合作對策中，收益為區(qū)間數(shù)的區(qū)間支付合作對策更是備受關(guān)注.Alparslan G?k等[11,12]對區(qū)間支付合作對策上的Shapley值進行了研究．2010年，Mallozzi等[13]提出區(qū)間支付合作對策的一類F-核心解.2017年，鄒正興和張強[14]研究了區(qū)間支付合作對策的廣義區(qū)間Shapley值.2018年，Hsien-Chung Wu[15]研究了區(qū)間支付合作對策的支配核心.

由此可見，盡管區(qū)間支付合作對策上解的研究層出不窮，但該對策模型上有關(guān)團體貢獻Shapley值的研究卻并不多見.因此，本文以經(jīng)典可轉(zhuǎn)移效用合作對策上的團體貢獻Shapley值為基礎，利用區(qū)間數(shù)的運算及性質(zhì)，將這類解推廣至區(qū)間支付合作對策模型，對區(qū)間支付合作對策的團體貢獻Shapley值進行研究.建立公理化體系，證明其滿足區(qū)間有效性、區(qū)間對稱性及區(qū)間可加性.最后通過算例與區(qū)間Shapley值進行比較，說明其可行性與有效性.

1 預備知識

給定局中人集N={1,2,…,n}，可轉(zhuǎn)移效用合作對策為一序?qū)?N,v)，其中v：2N→R為對策的特征函數(shù)，且v(φ)=0.所有(N,v)全體構(gòu)成的集合記為G(N).為表簡練，S∪{i}簡寫為S∪i，S{i}簡寫為Si，若無歧義，對策(N,v)簡寫為v.聯(lián)盟S的模用s表示，即|S|=s.

定義1.3[7]對于任意v∈G(N)，存在唯一滿足以下三條公理的Shapley值函數(shù)Φ:G(N)→RN，有

(1)

稱向量Φ(v)=Φi(v)i∈N為Shapley值向量，簡稱Shapley值.

對稱性公理：對于i,j∈N，S?N{i,j}，v(S∪i)=v(S∪j)，有Φi(v)=Φj(v).

可加性公理：對于v,w∈G(N)，i∈N，有Φi(v+w)=Φi(v)+Φi(w).

2 可轉(zhuǎn)移效用合作對策的團體貢獻Shapley值

對于對策v∈G(N)，設π是N的一個排列，N上排列全體構(gòu)成的集合記為Π(N).對任意排列π，P(π,i)={j∈N|π(j)<π(i)}，表示在排列π中于局中人i之前進入大聯(lián)盟的局中人的集合，其中π(i)為局中人i在排列π中的位置.

定義2.1[7]對于任意v∈G(N)，N={1,2,…,n}，可轉(zhuǎn)移效用合作對策的團體貢獻Shapley值是一個向量函數(shù)Φk:G(N)→RN，形如

(2)

命題2.1[7]對于S?N，α(s,k)滿足下列關(guān)系

(1) 對于s≥k≥1，

其中[x]為小于或等于x的最大整數(shù).

(2) 對于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1.

(3) 對于s≤k，α(s,k)=2s-1.

命題2.2[7]當k=2時，對于i=0,1,2,…有α(0,2)=1，α(1,2)=1且

α(i,2)+α(i+1,2)=α(i+2,2).

推論2.1[7]根據(jù)命題2.1，式(2)可等價表示為

(3)

3 區(qū)間支付合作對策的團體貢獻Shapley值

3.1 區(qū)間支付合作對策的區(qū)間Shapley值

(4)

3.2 區(qū)間支付合作對策的團體貢獻Shapley值

(5)

類似地，根據(jù)命題2.1，式(5)可等價表示為

(6)

[v-(S)-v-(ST)]=

上式右端S=N時,

[v-(S∪T)-v-(S)]=

所以

[v-(S∪T)-v-(S)]}.

又當S?N時，有

由引理1，可得

由此可知，

所以

(2)對稱性公理.對于任意i,j∈N，S?N{i,j}有

證明由命題2.1知，對于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1，即

4 算例分析

5 結(jié) 論

本文定義了區(qū)間支付合作對策的團體貢獻Shapley值，考慮局中人加入團體所產(chǎn)生的團體邊際貢獻，給出區(qū)間支付合作對策的一類解.并對其做出公理化刻畫，證明其滿足區(qū)間有效性、區(qū)間對稱性及區(qū)間可加性.最后通過算例對比分析該解與區(qū)間Shapley值的異同，驗證其有效性，并說明在某些情況下該解更具公平性.本文為區(qū)間支付合作對策的求解提供一種新的思路，同時也拓展了團體貢獻Shapley值的適用范圍，對求解基于不確定信息的合作對策問題有一定參考價值.