張偉

一、課例背景分析

在舊教材中，三角函數(shù)的概念是從初中銳角三角函數(shù)的概念出發(fā)，逐步導(dǎo)出任意角的三角函數(shù)。通過坐標(biāo)化，將三角函數(shù)的定義引導(dǎo)到sin?=?，cos?=?，tan?=?（x≠0）上進(jìn)行表述，再將這一定義推廣到任意角也適用的情況，這樣得到了任意角的三角函數(shù)。這種定義的引入的優(yōu)點(diǎn)是從學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，學(xué)生易于接受。但從函數(shù)定義的角度看，將銳角的情況直接推廣到任意角的情況，基于數(shù)學(xué)定義的嚴(yán)謹(jǐn)度來說是不夠的。

而新教材中，三角函數(shù)概念的引入是從刻畫單位圓上點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置變化入手，建立函數(shù)關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中，角的終邊從初始位置開始旋轉(zhuǎn)到一定位置，它與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定，從而形成了角一定，則相應(yīng)的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)一定，從而構(gòu)成了函數(shù)關(guān)系。之后三角函數(shù)給出定義sin?=y，cos?=x，tan?=?（x≠0）。這樣的定義方式，從函數(shù)的角度來說是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但缺點(diǎn)是學(xué)生一開始會(huì)對(duì)這個(gè)函數(shù)比較陌生，需要通過在銳角情況下和初中的三角函數(shù)定義比較，學(xué)生才明白這個(gè)函數(shù)就是以前銳角三角函數(shù)定義的推廣。進(jìn)一步探究角的終邊上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)計(jì)算三角函數(shù)的方法，從而更深入地理解三角函數(shù)。

新教材的概念引入有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是函數(shù)的定義更加自然，而且單位圓的定義方法在之后的學(xué)習(xí)中有更廣泛的應(yīng)用（比如已知三角函數(shù)值的范圍，求角的范圍）;二是便于從現(xiàn)實(shí)問題情境引入（比如摩天輪引入三角函數(shù)），這也體現(xiàn)了新課標(biāo)中數(shù)學(xué)應(yīng)用性的理念。

二、教學(xué)案例

1.?情景引入

展示圖片，提問：二次函數(shù)可以刻畫籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡，指數(shù)函數(shù)可以刻畫細(xì)胞的分裂次數(shù)與細(xì)胞數(shù)的關(guān)系，生活中的周期現(xiàn)象應(yīng)如何刻畫？現(xiàn)在我們需要尋找新的函數(shù)模型。突出三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，定義新函數(shù)的必要性。

2.?數(shù)學(xué)建模

摩天輪是我們常見的建筑，如何刻畫它上面某個(gè)客艙的位置變化情況呢？這就需要建立平面直角坐標(biāo)系。將一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，這就是數(shù)學(xué)建模。

模型假設(shè)和簡(jiǎn)化：抽象出動(dòng)點(diǎn)P在單位圓O上的運(yùn)動(dòng)。

建系：以單位圓的圓心O為原點(diǎn)，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）。摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，OA為始邊，OP為終邊，形成一個(gè)角?。我們可以借助?刻畫點(diǎn)P的位置變化。

探究：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，尋找變化規(guī)律。

確定→點(diǎn)P位置確定→點(diǎn)P坐標(biāo)確定→點(diǎn)P橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）確定。

強(qiáng)調(diào)角?是自變量，點(diǎn)P的橫（縱）坐標(biāo)是函數(shù)值。說明點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都是角?的函數(shù)。構(gòu)建三角函數(shù)的概念，是一個(gè)在一般函數(shù)概念指導(dǎo)下的探究活動(dòng)。

3.?三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)的定義：設(shè)?是一個(gè)任意角，它的終邊OP與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：

把P的縱坐標(biāo)y叫做?的正弦函數(shù)，記作sin?，即y=sin?;

把P的橫坐標(biāo)x叫做?的余弦函數(shù)，記作cos?，即x=cos?;

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都稱為三角函數(shù)，通常將它們記作：正弦函數(shù)y=sinx，x∈R;余弦函數(shù)y=cosx，x∈R。

探究：初中時(shí)我們用直角三角形定義了銳角三角函數(shù)，與用單位圓定義是否一致？

4.?例題分析

例1：求角?π的正弦、余弦值。

從具體題目出發(fā)，傳授知識(shí)與技能。學(xué)生缺少解析幾何中直線與圓的認(rèn)知，在求特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，需要借助銳角的三角函數(shù)值求交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的絕對(duì)值。

例2：設(shè)?是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，求證：sin?=?，cos?=?。

將三角函數(shù)的定義從形（單位圓）到數(shù)（坐標(biāo)的比）的抽象。培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)抽象的能力。

5.?思考

x≠0時(shí)，?是不是一個(gè)確定的數(shù)？可以用它定義一個(gè)新的函數(shù)嗎？

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，類比探究，通過正切函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)下位學(xué)習(xí)方式。

6.?小結(jié)及布置作業(yè)（略）

三、教學(xué)反思

構(gòu)建三角函數(shù)的概念，是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，是一個(gè)在一般函數(shù)概念指導(dǎo)下的探究活動(dòng)。其思路是先確認(rèn)“這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)”，然后給出形式化定義。“下位學(xué)習(xí)”不僅使三角函數(shù)定義的自然引入達(dá)到了水到渠成的效果，而且三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的獨(dú)特性，可以使學(xué)生再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)。

為了實(shí)現(xiàn)“借助單位圓建立任意角三角函數(shù)的概念”的教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課從實(shí)際生活中的摩天輪出發(fā)，抽象出動(dòng)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，探究點(diǎn)的坐標(biāo)與角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。探究動(dòng)點(diǎn)P的相對(duì)位置也可以用角度，但是角度的測(cè)量不太方便，所以想用另一個(gè)辦法反映這種相對(duì)位置——轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度，這是三角函數(shù)之實(shí)用性的體現(xiàn)。

除此之外，本節(jié)課也帶給學(xué)生對(duì)單位圓的認(rèn)知。在求特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，需要借助銳角的三角函數(shù)值，而任意角的三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，從初中在直角三角形中的定義到高中在單位圓中的定義，體現(xiàn)了從圖形到代數(shù)的抽象過程。在單位圓中定義三角函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，也為后面的相關(guān)課程打下了良好基礎(chǔ)。

在授課方式方面，本節(jié)課通過小組合作交流，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。課堂上重點(diǎn)講解了正弦與余弦函數(shù)，突出重難點(diǎn)，學(xué)生易于接受和理解。而正切的定義以課后思考題形式留給學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的構(gòu)建過程，培養(yǎng)學(xué)生不斷探索的科學(xué)精神。