方瓊林

集美大學(xué) 航海學(xué)院，福建 廈門 361021

1 引 言

船舶橫搖是指以船舶重心所在的前、后軸線（縱軸線）為中心的回轉(zhuǎn)搖晃，若幅度過大將嚴(yán)重影響船舶的適航性、適居性和安全性及其艦上設(shè)備的使用。此外，艦舶橫搖還會(huì)對(duì)艦艇的戰(zhàn)斗性能產(chǎn)生嚴(yán)重影響，若橫搖角超過某一個(gè)限值時(shí)會(huì)帶來船舶傾覆的危險(xiǎn)。因此，安裝船舶減搖裝置是現(xiàn)代船舶設(shè)計(jì)的焦點(diǎn)之一，例如減搖水艙、舭龍骨和減搖鰭。目前，采用的減搖控制算法包括有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、預(yù)測(cè)控制、H∞控制等。

20 世紀(jì)50 年代前，蘇聯(lián)學(xué)者提出了滑模控制(SMC) 方法，其是變結(jié)構(gòu)控制的一個(gè)分支，屬于非線性控制，通過切換函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)偏離滑模的程度切換控制律或控制器參數(shù)。近年來，滑?？刂品椒ㄔ诖斑\(yùn)動(dòng)領(lǐng)域得到了較快發(fā)展。例如，Lavieri 等[1]采用滑模技術(shù)來減小小型船舶的橫搖運(yùn)動(dòng)；Moradi 等[2]針對(duì)船舶航行中影響減搖鰭系統(tǒng)的問題，采取了滑動(dòng)模態(tài)控制；Ngo 等[3]為移動(dòng)式港口起重機(jī)設(shè)計(jì)滑動(dòng)面為期望的軌跡，針對(duì)滑模函數(shù)及其變化率，采用模糊邏輯調(diào)整滑模控制的增益抖動(dòng)；Carletti 等[4-5]為減搖和航向保持問題設(shè)計(jì)了滑膜控制器，并介紹一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的海洋機(jī)動(dòng)艇鰭片橫搖穩(wěn)定滑?？刂品椒?，采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)學(xué)習(xí)系統(tǒng)的不確定性界，利用網(wǎng)絡(luò)輸出調(diào)整滑?？刂圃鲆?；Fang 等[6]設(shè)計(jì)了一種由滑模控制器和視線導(dǎo)引技術(shù)，來研制自動(dòng)駕駛儀系統(tǒng)；Koshkouei 等[7]設(shè)計(jì)了包括滾翼、滾舵和自動(dòng)駕駛儀的船舶減搖滑模控制器；謝克峰[8]針對(duì)浮動(dòng)平臺(tái)的搖擺實(shí)驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)了積分滑模控制器；王世凱等[9]運(yùn)用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)了同步橫搖阻尼和航向保持控制器來調(diào)節(jié)一階波浪擾動(dòng)；梁利華等[10]為減搖鰭設(shè)計(jì)了切換模糊化非線性自適應(yīng)滑?？刂疲ˋSMC）器；劉文帥[11]設(shè)計(jì)了滑模反演控制器，通過操控減搖鰭運(yùn)動(dòng)來抵消干擾；沈曉[12]設(shè)計(jì)了反步滑模自適應(yīng)控制器，并將其應(yīng)用于舵鰭聯(lián)合減搖控制；胡建章等[13]充分考慮了不確定性干擾來設(shè)計(jì)欠驅(qū)動(dòng)水面無人艇集群的自適應(yīng)反步滑模控制器；劉志全等[14]提出帶有航速損失約束的自動(dòng)舵控制系統(tǒng)，依據(jù)舵角協(xié)同控制方法設(shè)計(jì)了航向和舵減搖滑模控制律。

然而，滑模變結(jié)構(gòu)控制仍存在因?yàn)椴贿B續(xù)開關(guān)特性所引起的系統(tǒng)抖振等問題。例如，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到滑模面且靠近平衡點(diǎn)時(shí)具有一定速度，在慣性等因素的影響下滑模面的兩側(cè)會(huì)出現(xiàn)反復(fù)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生諸如抖振這樣的負(fù)面效應(yīng)。

誕生于1695 年的分?jǐn)?shù)階微積分（fractional order calculus）方法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，其可處理擾動(dòng)問題且控制性能良好，具有較快響應(yīng)速度、較低超調(diào)量、更寬控制參數(shù)范圍的特點(diǎn)。為此，趙蕊等[15]提出一種基于分?jǐn)?shù)階PID 技術(shù)的航向控制器，結(jié)合遺傳算法完成了控制參數(shù)的自動(dòng)整定，提高了控制器的實(shí)用性；Zhou 等[16]提出了一種基于深卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂撇呗?，用于剛性機(jī)器人的跟蹤控制，并采用深度學(xué)習(xí)方法對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行補(bǔ)償；Fei 等[17]提出的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階滑?？刂品桨附Y(jié)合了分?jǐn)?shù)階控制方法和遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；Modiri 等[18]采用具有分?jǐn)?shù)階滑動(dòng)面的終端滑?？刂破鳎瑢?duì)2 個(gè)具有參數(shù)不確定性和外部干擾的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行了同步；Han[19]將分?jǐn)?shù)階滑模面與分?jǐn)?shù)階非線性擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)合，提出一種基于分?jǐn)?shù)階指令濾波器的反推控制方法，引入基于分?jǐn)?shù)階的命令濾波器。

鑒于分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂?FOASMC)算法已在其他領(lǐng)域獲得應(yīng)用，但在國(guó)內(nèi)外尚未有將分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂扑惴☉?yīng)用到船舶橫搖減搖領(lǐng)域的相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道，本文擬在減搖滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階算法，以便更好地降低橫搖角的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，獲得更佳的減搖控制效果，從而進(jìn)一步克服模型不確定性和外界環(huán)境擾動(dòng)所導(dǎo)致的系統(tǒng)不確定性。

2 船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型

本文以船舶質(zhì)心為原點(diǎn)Ob，船舶前進(jìn)方向?yàn)閤b軸 ，橫蕩方向?yàn)閥b軸，垂蕩方向?yàn)閦b軸，建立船體的坐標(biāo)系。如圖1 所示。圖中， φ為船舶橫搖角。

圖1 船舶橫搖模型Fig. 1 Ship rolling model

船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型為[20]

3 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂?/h2>

3.1 分?jǐn)?shù)階微積分

Caputo 形式的分?jǐn)?shù)階微積分定義如下[21-22]：

3.2 分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模控制

式中，c為控制律增益，且滿足下式：

3.3 穩(wěn)定性分析

定理：基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論，考慮船舶非線性橫搖系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(4)和基于分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂破魇?8) 及自適應(yīng)控制律式(9)，則系統(tǒng)的橫搖角跟蹤誤差將漸進(jìn)穩(wěn)定。

為了防止造成抖振，采用如下飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)。

式中： Δ為邊界層參數(shù)； s at(h) 為h的飽和函數(shù)，其中h為任意實(shí)數(shù)。

4 實(shí)例與分析

4.1 實(shí)例介紹

為驗(yàn)證基于分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模控制的算法在船舶橫搖中的控制效果，采用表1 所示主要參數(shù)[1]。

表1 船模參數(shù)Table 1 Parameters of ship model

4.2 閉環(huán)橫搖控制與比較

實(shí)驗(yàn)測(cè)試采用Intel(R) Core(TM) i3-4150T CPU@ 3.00 GHz、內(nèi)存4.00 GB 的64 位操作系統(tǒng)、基于x64 的處理器完成。圖2 為船速v=10 m/s、不同遭遇浪向角（μe）下海浪的Pierson-Moscowitz (PM)譜曲線，圖3 為遭遇浪向角70°時(shí)不同船速下海浪的P-M 譜曲線。

圖2 不同遭遇浪向角下海浪P-M 譜（v=10 m/s）Fig. 2 P-M spectrum of waves in different directions at v=10 m/s

圖3 不同船速下海浪P-M 譜（ μe=70°）Fig. 3 P-M spectrum of waves at different ship speeds when μe=70°

圖4 為船速5 m/s、遭遇浪向角60°時(shí)開環(huán)控制與閉環(huán)控制時(shí)的橫搖角曲線。

圖4 開環(huán)控制與閉環(huán)控制時(shí)的橫搖角曲線Fig. 4 Rolling angle curve of open-loop control and closed-loop control

參數(shù)設(shè)置如下： α=0.9,c=0.16,λ=1。圖5 為船速5 m/s、遭遇浪向角80°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線, 圖6 為船速5 m/s、遭遇浪向角90°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線，圖7 為船速5 m/s、遭遇浪向角100°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線。

圖5 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=5 m/s， μe=80°）Fig. 5 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s， μe=80°)

圖6 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=5 m/s， μe=90°）Fig. 6 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s， μe=90°)

圖7 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=5 m/s， μe=100°）Fig. 7 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s， μe=100°)

圖8 為船速10 m/s、遭遇浪向角80°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線，圖9 為船速10 m/s、遭遇浪向角90°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線，圖10 為船速10 m/s、遭遇浪向角100°時(shí)的橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線。

圖8 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=10 m/s， μe=80°）Fig. 8 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s， μe=80°)

圖9 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=10 m/s， μe=90°）Fig. 9 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s， μe=90°)

圖10 橫搖角滑模閉環(huán)控制曲線（v=10 m/s， μe=100°）Fig. 10 Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s， μe=100°)

圖11 為本文所提分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄅc基本滑模控制算法、自適應(yīng)滑模控制算法計(jì)算結(jié)果的比較。

圖12 為本文所提分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模控制算法與基本滑?？刂扑惴刂戚斎氲谋容^。由圖可見，本算法能減少控制輸入的抖振現(xiàn)象。

圖12 不同控制算法的控制輸入比較Fig. 12 Input comparison of of different control algorithms

圖13 所示為系統(tǒng)相空間控制曲線。由圖可見，系統(tǒng)被控后穩(wěn)定在原點(diǎn)，相空間的軌跡是收縮的，逐漸趨近于原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，且對(duì)初始條件不敏感。

圖13 系統(tǒng)相空間控制曲線（v=5 m/s， μe= 120°）Fig. 13 System phase space control curve (v=5 m/s， μe= 120°)

綜合以上各圖可以看出，對(duì)于不同的船速、遭遇浪向角等情況，分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑模控制均有更好的減搖控制效果。

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，將本文所提算法與基本滑模控制算法進(jìn)行了比較。表2 給出了不同船速和遭遇浪向角下控制系統(tǒng)橫搖角的均 值 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差。參 數(shù) 設(shè) 置 如 下：c=1， α=0.5，λ=1。表中數(shù)據(jù)均為計(jì)算20 次后的平均值，具有統(tǒng)計(jì)意義。其中，EFOASMC和 σFOASMC表示用分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄓ?jì)算的橫搖角均值和方差，ESMC和 σSMC表示用基本滑模控制算法計(jì)算的橫搖角均值和方差，EOpen和 σOpen表示用開環(huán)控制算法計(jì)算的橫搖角均值和方差。

表2 不同算法計(jì)算結(jié)果比較Table 2 Result comparison of different control algorithms

由以上結(jié)果的比較可見，與基本滑?？刂扑惴ㄏ啾?，在相同實(shí)例和運(yùn)行條件下，分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂扑惴ǖ玫降臋M搖角均值和標(biāo)準(zhǔn)差更小，控制效果更好，減搖控制結(jié)果令人滿意。

4.3 參數(shù)影響分析

為了了解各個(gè)主要參數(shù)對(duì)算法計(jì)算性能的影響，分別對(duì)分?jǐn)?shù)階、控制律增益、滑模面增益等參數(shù)取不同的數(shù)值，分別比較其對(duì)控制效果的影響。

4.3.1 分?jǐn)?shù)階的影響分析

對(duì)4.3 節(jié)所述運(yùn)動(dòng)情況，取c=1，λ =1，v=5 m/s，μe=90°，其他參數(shù)不變。不同分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)計(jì)算的橫搖角均值和方差如表3 所示。

由表3 可見：當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù)較小時(shí)，橫搖角均值較小，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較小；當(dāng)分?jǐn)?shù)階積分的階數(shù)較大時(shí)，橫搖角標(biāo)準(zhǔn)差較小，即系統(tǒng)波動(dòng)較小，與穩(wěn)定期望值的偏離程度較小。

表3 不同分?jǐn)?shù)階階數(shù)計(jì)算的結(jié)果比較Table 3 Result comparison of fractional orders

基于分?jǐn)?shù)階滑模控制能使系統(tǒng)收斂。不同分?jǐn)?shù)階下調(diào)節(jié)過程的性能有異，故可根據(jù)實(shí)際情況，選取不同分?jǐn)?shù)階微積分算子，使系統(tǒng)滿足不同的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)，控制效果更好。因整數(shù)階微分是特例，整數(shù)階積分是分?jǐn)?shù)階微積分的特例，故整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的特例。分?jǐn)?shù)階微積分參數(shù)選擇范圍更大、更靈活。

4.3.2 控制律增益影響分析

對(duì) 于4.3 節(jié) 所 述 運(yùn) 動(dòng) 情 況，取 α=0.5， λ=1，v=5 m/s， μe=90°，其他參數(shù)不變，不同控制律增益c情況下船舶橫搖角的均值和方差值見表4。

表4 不同控制律增益的計(jì)算結(jié)果比較Table 4 Result comparison of control law gains

由表4 可見：當(dāng)c值較大時(shí)，橫搖角均值較?。ㄏ到y(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較小）且橫搖角標(biāo)準(zhǔn)差較?。ㄏ到y(tǒng)波動(dòng)較小），與穩(wěn)定期望值的偏離程度較小。

4.3.3 滑模面增益影響分析

對(duì)4.3 節(jié)所述運(yùn)動(dòng)情況，取 α=0.5，c=1，v=5 m/s， μe=90°，其他參數(shù)不變，不同滑模面增益λ 情況下的船舶橫搖角的均值和方差值見表5。

表5 不同滑模面增益計(jì)算的結(jié)果比較Table 5 Result comparison of sliding mode surface gains

由表5 可見：當(dāng)λ 的值較小時(shí)，船舶橫搖角均值較小，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較??；而且橫搖角標(biāo)準(zhǔn)差較小，即系統(tǒng)波動(dòng)較小，與穩(wěn)定期望值的偏離程度較小。

5 結(jié) 語

本文針對(duì)船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)控制問題，提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂扑惴?，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)、控制率增益和滑模面增益系數(shù)進(jìn)行了比較，分析其對(duì)控制效果的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，新算法在不同船速、遭遇浪向角的情況下，相對(duì)于基本滑?？刂扑惴ǘ加懈玫臏p搖控制效果。與基本滑?？刂扑惴ㄏ啾?，在相同的實(shí)例和運(yùn)行條件下，分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂频臋M搖角均值和標(biāo)準(zhǔn)差更小，控制效果更好。例如，當(dāng)船速10 m/s、遭遇浪向角5°時(shí)，本文控制算法控制的橫搖角均值是基本滑?？刂频?5.89%，均方差是基本滑?？刂频?4.32%，減搖控制結(jié)果令人滿意。當(dāng)分?jǐn)?shù)階微分的階數(shù)較小時(shí)，橫搖角均值較小，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較?。?當(dāng)分?jǐn)?shù)階積分的階數(shù)較大時(shí)，橫搖角標(biāo)準(zhǔn)差較小，即系統(tǒng)波動(dòng)較小，與穩(wěn)定期望值的偏離程度較??； 控制率增益較大時(shí)，船舶橫搖角均值較?。聪到y(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較?。┣覚M搖角標(biāo)準(zhǔn)差也較?。聪到y(tǒng)波動(dòng)較小），與穩(wěn)定期望值的偏離程度較小； 當(dāng)滑模面增益較小時(shí)，船舶橫搖角均值較?。聪到y(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差較?。┣覚M搖角標(biāo)準(zhǔn)差也較小，即系統(tǒng)波動(dòng)較小，與穩(wěn)定期望值的偏離程度較小。

下一步將繼續(xù)改進(jìn)本控制算法，以進(jìn)一步提高非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的控制精度和魯棒性能。