王藝澎，郭樹青，包小軍，鄧軍剛，張鴻飛

1.蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000

2.深圳大學(xué)光電工程學(xué)院，深圳 518061

3.湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長沙 410081

目 錄

I.引言 157

II.低能重離子核反應(yīng) 158

A.深度非彈性碰撞 159

B.熔合反應(yīng) 159

III.雙核模型 159

A.雙核模型的兩種解釋 159

B.理論框架 160

1.俘獲截面 160

2.熔合幾率 160

3.存活幾率 161

C.主方程發(fā)展 161

1.一維主方程 162

2.二維主方程 163

3.三維主方程 164

IV.總結(jié)與展望 166

參考文獻 166

I.引言

原子核系統(tǒng)中主要存在三種相互作用：質(zhì)子間的庫侖相互作用、核子間的強相互作用、β衰變過程中的弱相互作用。一般重核或超重核系統(tǒng)很不穩(wěn)定，存在著復(fù)雜的相互作用，系統(tǒng)可以自發(fā)地通過α衰變、自發(fā)裂變等衰變類型向能量較穩(wěn)定的狀態(tài)演變。根據(jù)液滴模型，庫侖力與核力的競爭使得原子核在拉伸形變過程中存在一個勢壘，阻擋原子核發(fā)生裂變。對很多Z=98[1]以后的核素，由于核力近似與核子數(shù)成正比，庫侖力與Z2成正比，導(dǎo)致裂變位壘隨質(zhì)子數(shù)的增加而降低，自發(fā)裂變幾率的分支比大于α衰變分支比。當(dāng)Z=104左右時，裂變位壘趨近零，自發(fā)裂變壽命小于10?14s，按照經(jīng)典液滴模型理論預(yù)言，不存在104號以上的元素[2]。

1949年，Mayer等提出原子核的殼模型[3]，成功地解釋了幻數(shù)的存在。對于雙幻核附近的原子核，殼結(jié)構(gòu)效應(yīng)足夠的強使其形狀近似為球形，顯著增加了原子核的裂變位壘，延緩其自發(fā)裂變，為探索更重的核提供了可能。自1965年以來，以Myers[4]、Nilsson[5]為代表的理論物理學(xué)家，預(yù)言了以Z=114，N=184為中心的一片壽命較長、相對穩(wěn)定的原子核，即超重核穩(wěn)定島[6]。此后，又有Skyme-Hartee-Fock[7]、相對論平均場[8]等不同模型對之進行了驗證。與此同時，世界各核物理實驗室，比如俄羅斯超重核工廠Dubna[9]、德國重離子中心GSI[10]等都積極開展了新一輪超重元素的合成研究[11,12]。

目前，超重核合成領(lǐng)域取得了一些成就。2016年，國際純粹與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會(International Union of Pure and Applied Chemistry)和國際純粹與應(yīng)用物理學(xué)聯(lián)合會(International Union of Pure and Applied Physics)聯(lián)名確認了所有已合成的元素并予以命名[13,14]。（表1：超重核元素首次合成的相關(guān)信息[15–27]），但在實驗上對Z>118的超重元素截面僅僅給出fb量級[11]。

表I.超重核元素首次合成的相關(guān)信息

理論上，一方面區(qū)別于輕體系的熔合反應(yīng)，重離子完全熔合過程中存在復(fù)雜的動力學(xué)形變；另一方面完全熔合過程不提供任何信息來描述復(fù)合核的形成過程?；诖?，理論物理學(xué)家發(fā)展了各種模型來描述完全熔合過程。Swiatecki等人發(fā)展了宏觀動力學(xué)模型[28,29]，將原子核認為是有粘滯性的液滴，熔合過程是純粹的動力學(xué)過程，但該模型忽略了原子核的殼效應(yīng)及反應(yīng)過程中的統(tǒng)計性質(zhì)。Aritomo等人在宏觀動力學(xué)的基礎(chǔ)之上，考慮殼修正及統(tǒng)計漲落效應(yīng)發(fā)展了漲落–耗散模型[30–32]，該模型適用于計算蒸發(fā)剩余截面、（準(zhǔn)）裂變產(chǎn)物的質(zhì)量分布，但對質(zhì)量較對稱的彈靶組合，給出過大的蒸發(fā)剩余截面。Zagrebaev等人發(fā)展了核子集體化模型[33,34]：彈核、靶核接觸后，一些核子逐漸從兩核逸出，被兩個原子核共有。隨著共有核子的增多，彈核、靶核的區(qū)別逐漸消失，但該模型的物理圖像目前仍存在較大的爭議。Adamian等人發(fā)展了雙核模型[35]，假定碰撞動能充分耗散后，雙核系統(tǒng)由輕核轉(zhuǎn)移核子到重核形成復(fù)合核，通過實驗數(shù)據(jù)對比得出，該模型適用于描述超重核的生成截面。盡管不同模型在不同方面描述了超重核的形成過程，但是由于理論計算中存在許多不確定因素，不同模型給出的熔合幾率相差幾個數(shù)量級，因此給出可靠的生成截面和入射道參數(shù)還比較困難[36–38]。

在描述熔合過程的諸多模型中，雙核模型是影響最大的一個[36]。Adamian等人對勢能面進行近似處理[35]大大削弱了原子核的結(jié)構(gòu)效應(yīng)。中科院近物所李君清研究員等人發(fā)展了雙核模型[39]，用數(shù)值求解主方程“精確”描述核子轉(zhuǎn)移過程，不對勢能面做近似處理。本文在雙核模型的理論框架內(nèi)，采用李君清等人的處理方法，著重探討雙核模型主方程的發(fā)展過程，深度詮釋了雙核系統(tǒng)的熔合過程，為新核素的合成提供了理論依據(jù)。

II.低能重離子核反應(yīng)

在核反應(yīng)問題中，入射粒子與靶核所組成的體系處在非束縛態(tài)。核反應(yīng)研究的是體系碰撞前后不同狀態(tài)的躍遷幾率或反應(yīng)截面。

推廣殼模型觀點，可以考慮入射粒子在靶核的平均勢場作用下運動，但入射粒子與靶核間的作用可使靶核激發(fā)。如果只激發(fā)了靶核內(nèi)的個別自由度，則反應(yīng)機制比較簡單，稱為直接反應(yīng)。入射粒子與靶核作用損失能量足夠多時，與靶核一起形成了一個復(fù)合系統(tǒng)，該復(fù)合系統(tǒng)的激發(fā)能還將逐漸分布到越來越多的自由度，形成極端復(fù)雜的復(fù)合核狀態(tài)。這樣的反應(yīng)可基本上分為復(fù)合核的形成與隨后的衰變兩個階段，稱為復(fù)合核反應(yīng)。

從輕離子核反應(yīng)擴展到重離子核反應(yīng)是核反應(yīng)的一個重要發(fā)展[40]。重離子核反應(yīng)是指比α粒子更重的粒子所引起的核反應(yīng)[41]。其中，對深度非彈性碰撞和全熔合反應(yīng)的研究，可以揭示出能量、角動量、質(zhì)量、電荷在原子核小體系中的輸運過程[42]，為合成超重核提供條件。

A.深度非彈性碰撞

深度非彈性碰撞是重離子核反應(yīng)所特有的一種反應(yīng)機制。在深度非彈性碰撞中，入射粒子能量Ec.m>庫侖勢壘Vcb，要使彈核深入到靶核表層，碰撞參數(shù)b應(yīng)滿足下述關(guān)系：

式中bg指擦邊碰撞參數(shù)，bcr指發(fā)生熔合反應(yīng)的臨界值。

深度非彈性碰撞過程大體可分為三個階段。第一階段稱為接近相。在接近相，兩個粒子A、B以適當(dāng)?shù)呐鲎矃?shù)b作相對運動，在光學(xué)勢的作用下，彼此接近。第二階段為碰撞的主要階段，又稱耗散相。在耗散相，A、B的最大密度半徑相互接觸，全部徑向耗散殆盡，開始粒子交換，相對運動的角動量開始轉(zhuǎn)化為兩個核的轉(zhuǎn)動角動量，同時兩核做相對運動。第三階段稱為終了階段，分為分離相和熔合相。在分離相，兩個核由于庫侖斥力分開，輸運過程終止；在熔合相，由于核力的強相互作用，兩個核熔合在一起，輸運過程向統(tǒng)計平衡發(fā)展[40]。

深度非彈性反應(yīng)機制的研究能夠揭示重離子核反應(yīng)過程的動力學(xué)效應(yīng)，特別適合研究多個自由度的弛豫現(xiàn)象，并由此獲得非平衡核態(tài)過渡到平衡核態(tài)的詳細信息[41]。實驗結(jié)果表明：入射粒子和靶核的特性基本可以保持，大量的相對運動動能被耗散和相當(dāng)大的一部分軌道角動量轉(zhuǎn)化為兩核內(nèi)稟角動量[40]。其中，重離子深度非彈性碰撞中的輸運過程可以用Fokker-Planck方程[43]研究。

B.熔合反應(yīng)

對比深度非彈性碰撞反應(yīng)的適用條件，當(dāng)碰撞參數(shù)b

根據(jù)熔合反應(yīng)的靜態(tài)理論，系統(tǒng)要超越靜熔合勢壘才能發(fā)生熔合，但由于摩擦，到達熔合勢壘前，一部分相對運動動能已經(jīng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)稟激發(fā)能，需要有額外動能E來補償摩擦引起的動能耗損。而對于非中心碰撞情況，切向摩擦引起相對角動量的耗損，系統(tǒng)的作用勢需要進行修正。實驗結(jié)果表明，熔合過程主要由碰撞早期行為決定[40]。

在熔合反應(yīng)的動態(tài)解釋中，基于經(jīng)典模型，作用勢必須有一個“窩”，而且達到復(fù)合核狀態(tài)的弛豫時間應(yīng)小于體系逗留在“窩”內(nèi)的時間。當(dāng)能量略高于庫侖勢壘時，對某一特定的角動量l,主要問題在于能否進入熔合勢壘V lf。這里lf是到達勢壘時留有的角動量。對涉及較大的l值，由于作用勢“窩”的限制，熔合截面呈1/Ec.m下降[40]。

重離子熔合反應(yīng)（包含新的反應(yīng)機制）基于新的實驗結(jié)果，探討壘下熔合，額外推動模型，快裂變等熔合過程中的動力學(xué)問題[40]。目前，主要采用唯象的耗散過程的觀點[33,35,44]解釋重離子核反應(yīng)的各個方面。

III.雙核模型

目前，合成超重核最主要的途徑是重離子熔合蒸發(fā)反應(yīng)[45]。實驗室通過低能重離子核反應(yīng)合成超重核，即P+T→C→B+n,p,α,γ[41]。首先，用加速到一定能量的重離子束流轟擊靶核產(chǎn)生復(fù)合核。其次，復(fù)合核通過蒸發(fā)粒子退激能量，但發(fā)射粒子不能帶走很多角動量，剩余核通過級聯(lián)躍遷退激到基態(tài)，具有非常高的自旋態(tài)。最后，在反沖余核的飛行過程中利用電、磁等相關(guān)技術(shù)進行分離，分離后的余核被具有單原子衰變測量能力的探測系統(tǒng)進行測量與鑒別[46]。

研究重離子核反應(yīng)的基本任務(wù)是弄清反應(yīng)機制，判斷發(fā)生這類反應(yīng)的條件，提出理論模型，定量的計算反應(yīng)的各種物理量[40]。用雙核模型研究超重核的合成機制，最主要的部分是由雙核系統(tǒng)演化到復(fù)合核的熔合機制[35,47,48]。

A.雙核模型的兩種解釋

雙核模型的思想是，在深度非彈性碰撞過程中，入射而來的彈核被靶核俘獲形成雙核系統(tǒng)。伴隨著相對運動能量的耗散，在相互作用時間內(nèi)兩核之間發(fā)生大量的核子轉(zhuǎn)移、能量及角動量的耗散與弛豫，不斷形成新的雙核系統(tǒng)，即彈、靶核仍保持其各自的獨立特征[35]。

對完全熔合反應(yīng)，雙核系統(tǒng)認為它和深度非彈性碰撞的核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)具有相同的反應(yīng)過程[35]，只不過是彈（靶）核中的所有的核子全部轉(zhuǎn)移到靶（彈）核中，最后形成復(fù)合核。在一系列核子轉(zhuǎn)移的過程中，復(fù)合核沿著質(zhì)量不對稱度增大的方向不斷演化。這樣，雙核模型不僅可以很自然地解釋形成復(fù)合核時存在內(nèi)部熔合位壘，還解釋了雙核系統(tǒng)向復(fù)合核演化過程中熔合與準(zhǔn)裂變的競爭機制。

值得說明的是，圍繞勢能面的計算與核子轉(zhuǎn)移過程，雙核模型有兩種解釋。Adamian[35]等假定在碰撞動能充分耗散之后，雙核系統(tǒng)由輕核到重核轉(zhuǎn)移核子而形成復(fù)合核，復(fù)合核包含了全熔合與準(zhǔn)裂變的競爭兩個過程。此時計算超重核截面包含了結(jié)構(gòu)效應(yīng)，但該模型用Fokker-Planck描述核子轉(zhuǎn)移過程，用了Gaussian類型的解而對勢能面采用了諧振子近似，或者Kramers類型的準(zhǔn)靜態(tài)近似及諧振子近似解。而事實上奇偶修正的勢能面與諧振子勢相差甚遠，原因在于雙核系統(tǒng)勢能面包含了反應(yīng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)效應(yīng)，諧振子近似削弱了此效應(yīng)。

中科院近物所李君清研究員[39]等人在雙核模型框架內(nèi)，通過數(shù)值求解描述熔合過程的主方程，得到熔合幾率隨激發(fā)能的變化行為，并且在這個過程中不對驅(qū)動勢做諧振子近似。計算過程考慮了核子轉(zhuǎn)移與相對運動中能量、角動量、碎片形變弛豫過程相耦合，用微觀方法推導(dǎo)與相對運動的能量耗散有關(guān)的核子躍遷幾率，因而與時間相關(guān)。該計算結(jié)果保留了更多的動力學(xué)效應(yīng)，并在計算熔合幾率考慮了彈核與靶核的形變及相對取向?qū)Ψ磻?yīng)的影響等。對以Pb為靶及以48Ca為炮彈的反應(yīng)，計算了一系列生成超重核的蒸發(fā)剩余截面，所得結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)在數(shù)量級上很好符合[49]。

B.理論框架

根據(jù)N.Bhor的復(fù)合核的形成和衰變過程相互獨立的假設(shè)與V.F.Weisskopf提出的核合成反應(yīng)的三階段模型，理論上通常將超重核合成動力學(xué)過程分為俘獲階段、熔合階段或復(fù)合核形成階段，以及復(fù)合核的退激發(fā)階段[35]。

在俘獲階段，彈核需要克服與靶核之間的庫侖位壘，被靶核俘獲形成雙核系統(tǒng)。當(dāng)兩核處于熔合階段時，雙核系統(tǒng)向復(fù)合核方向演化，在這個過程中時刻都有準(zhǔn)裂變發(fā)生，但仍有幾率克服“內(nèi)部位壘”，形成超重復(fù)合核。在退激發(fā)階段，復(fù)合核一般具有較高的激發(fā)能，具有很大的裂變幾率，但也有一定幾率通過蒸發(fā)一個或多個中子或輕帶電粒子來退激發(fā)，超重核最終得以“存活”下來[36]，如圖1所示。

圖1.雙核系統(tǒng)概念的物理圖像

于是，目標(biāo)超重核的生成截面可以表示為不同分波下三個因子乘積的求和，表示為[50]：

式中Ec.m為質(zhì)心系下入射能，J為角動量，σc(Ec.m,J)為俘獲截面，PCN(Ec.m,J)為熔合幾率，Wsur(Ec.m,J)為存活幾率。

1.俘獲截面

兩核從無窮遠處相互靠近時，包含庫侖力與核力的相互作用，在以雙核質(zhì)心距離R為函數(shù)的有效勢能曲線上會形成一個口袋和庫侖位壘。穿透幾率受庫侖位壘高度及口袋寬度的影響。俘獲分波截面[34]可以表示為：

式中，μ是折合質(zhì)量，T(Ec.m,J)是穿透幾率。

式中ω(J)是RB(J)處庫侖位壘位置對應(yīng)的曲率剛度，需在計算中考慮其位壘分布函數(shù)。

2.熔合幾率

兩核之間發(fā)生核子轉(zhuǎn)移時，一個核的核子全部轉(zhuǎn)移給另一個核時形成復(fù)合核，這個過程可以用主方程描述。彈、靶核在克服庫侖位壘相接觸后，雙核系統(tǒng)將沿著兩個自由度變化。一是沿兩核之間距離R的變化，二是兩核交換核子過程中，雙核系統(tǒng)沿質(zhì)量不對稱度η的變化。

在碰撞過程中彈、靶核相接觸時，有核子、能量、角動量等在兩核間進行轉(zhuǎn)移、交換。設(shè)反應(yīng)中始終保持兩體過程，碎片1、2的質(zhì)量數(shù)分別是A1、A2，總質(zhì)量數(shù)A=A1+A2。在t時刻，碎片1的激發(fā)能為E1時的分布幾率為P(A1,E1,t)，考慮兩核交換核子過程中的準(zhǔn)裂變與重核裂變，主方程為[39]：

圖2.反應(yīng)道64Ni+208Pb的驅(qū)動勢，B fus是內(nèi)部熔合位壘[49]

式中W表示碎片1的質(zhì)量數(shù)為A1，內(nèi)部激發(fā)能為E1時向(A′1,E′1)態(tài)躍遷的幾率。dA1表示碎片在(A1,E1)宏觀狀態(tài)時所包含的微觀狀態(tài)的維度，并對碎片1所能取的所有狀態(tài)進行求和。(Θ)是沿兩核距離R的準(zhǔn)裂變速率，(Θ)為裂變速率。系統(tǒng)驅(qū)動勢[34]為：

式中，Atot=A1+A2。A1、A2是雙核系統(tǒng)中類彈和類靶核的質(zhì)量數(shù)。ULD(A1)、ULD(A2)和ULD(Atot)分別為對應(yīng)的碎片1、碎片2和復(fù)合核的結(jié)合能，包括了殼修正和奇偶效應(yīng)。

式中UC和UN分別為兩核的庫侖相互作用能和核相互作用能，V′rot為復(fù)合核轉(zhuǎn)動能。UC由式(9)給出，UN采用與動量和自旋無關(guān)的Skyrme類型的核子–核子相互作用雙折疊勢。

(64Ni+208Pb→272Ds*) 反應(yīng)系統(tǒng)的驅(qū)動勢在圖2中給出，箭頭所標(biāo)的位置是入射道位置。對確定的角動量分波J，所有能越過勢能面最高點UBG的分布幾率都將最終達到復(fù)合核。所以熔合幾率用下式表示:

式中τint是相互作用時間。

3.存活幾率

重離子熔合形成的復(fù)合核需要通過發(fā)射中子、帶電粒子等方式退激發(fā)。對于重核，發(fā)射帶電粒子需要克服庫侖位壘才可以從原子核中分離出來，此時庫侖位壘比裂變位壘和中子分離能要高許多，而且只有當(dāng)激發(fā)能低于中子分離能時，發(fā)射帶電粒子作用才比較明顯。因此，目前考慮復(fù)合核退激發(fā)的存活幾率只考慮了中子蒸發(fā)與裂變的競爭。這樣，自旋為J、激發(fā)能為E*的超重復(fù)合核通過蒸發(fā)x個中子而存活下來的幾率表示為[49]：

式中Γn(E*i,J)為第i個中子的蒸發(fā)寬度，Γf(E*i,J)為蒸發(fā)第i個中子前的裂變寬度，E*i為蒸發(fā)第i個中子前的激發(fā)能。P(E*)描述退激發(fā)狀態(tài)，由Jackson簡化的中子蒸發(fā)公式給出。

C.主方程發(fā)展

重離子熔合反應(yīng)是一個復(fù)雜的多自由度的輸運過程，多自由度(η,β1,β2,R,θ)及多反應(yīng)道（熔合、準(zhǔn)裂變、重核裂變）的耦合使得動力學(xué)演變十分復(fù)雜。在此過程中，宏觀集體自由度的選擇關(guān)系到系統(tǒng)狀態(tài)能否被合理描述。原則上宏觀自由度越多，系統(tǒng)狀態(tài)越能得到精確描述。

實驗上觀察到的深度非彈性碰撞中的弛豫現(xiàn)象[41]，曾借助Fokker-Planck方程[35]、主方程[39]以及更普遍的輸運方程描述。對核的內(nèi)部狀態(tài)演化采用非定態(tài)、能反映弛豫過程的主方程描述，如此不僅能給出物理量的平均值，還能給出其漲落、分布情況。除了方程描述的差異性外，雙核模型也經(jīng)歷了自由度從一維到三維的演化過程。

1.一維主方程

設(shè)在t時刻，碎片1的激發(fā)能為E1時的分布幾率為P(A1,E1,t)，則各組態(tài)分布幾率由主方程(式6)來描述。此時，描述熔合過程的主方程是一維的，以質(zhì)量數(shù)A1為宏觀自由度。與此對應(yīng)的驅(qū)動勢也是一維的。

圖3.(a)反應(yīng)道40Ca+90Zr和40Ca+96Zr的熔合截面隨入射能的關(guān)系，(b)反應(yīng)道48Ca+90Zr和48Ca+96Zr的熔合截面隨入射能的關(guān)系[36]

在雙核模型中，彈、靶核接近時相對徑向動能逐漸耗散到兩核的內(nèi)稟態(tài)，使兩核均處于激發(fā)態(tài)。驅(qū)動勢U實際上是復(fù)合系統(tǒng)分為兩個相接觸碎片的能量，這種復(fù)合系統(tǒng)的能量大體在N/Z等于復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比處有一個谷。如果相碰撞的兩個核不具有這種合適的中質(zhì)比，則接觸后將同時發(fā)生質(zhì)子和中子的擴散，需要調(diào)整到合適的中質(zhì)比[40]。

圖4.(a)反應(yīng)道40Ar+238U→278Ds*驅(qū)動勢隨質(zhì)量不對稱度的關(guān)系，(b)圖(a)上半部分放大圖[49]

內(nèi)稟激發(fā)能引起兩核之間的核子轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移的核子由較低的勢能面或更接近復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比來決定。實驗發(fā)現(xiàn)對彈、靶核的中質(zhì)比接近于反應(yīng)道復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比時，反應(yīng)道會給出基本一致的結(jié)果[36]。

對于圖3(a)，兩個反應(yīng)體系的熔合截面隨入射能的增加而增加，最后趨于飽和。豐中子靶系統(tǒng)40Ca+96Zr有更高的熔合截面；對于圖3(b)，質(zhì)量更非對稱的體系48Ca+96Zr有更高的熔合截面，而且系統(tǒng)均在能量較高時這種差別逐漸消失。

重離子熔合需要克服內(nèi)部熔合位壘，因為高的內(nèi)部熔合位壘會抑止重離子的熔合。40Ca+90Zr有更高的內(nèi)部熔合位壘，導(dǎo)致熔合幾率隨體系變重而下降。但是48Ca+90Zr有更低的內(nèi)部熔合位壘卻給出較低的熔合截面，這是由于熔合幾率不僅和內(nèi)部熔合位壘有關(guān)，還和彈靶的質(zhì)量不對稱度有關(guān)[36]。

當(dāng)彈、靶核的中質(zhì)比遠離反應(yīng)道復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比時，中子和質(zhì)子的轉(zhuǎn)移情況比較復(fù)雜，用一維的主方程不能正確描述核子轉(zhuǎn)移，因此不能正確描述熔合過程。這種現(xiàn)象在采用非48Ca彈核轟擊錒系靶的反應(yīng)道中較為常見[49]。

圖5.(a)反應(yīng)道40Ar+238U→278 Ds*分別在A=40、39和38三處的分布幾率隨時間的演化圖，(b)反應(yīng)道熔合幾率隨激發(fā)能的關(guān)系（空心圈：未選擇路徑，實心圈：選擇路徑后）[49]

圖4是此反應(yīng)道的驅(qū)動勢能圖。點A=40處是系統(tǒng)入射道，B點與C點分別經(jīng)過更低勢能面。根據(jù)經(jīng)過A點的勢能面分別給出A=40、A=39、A=38三處的分布幾率隨時間的演化圖，如圖5(a)。在t=10?22s時，A=40處的分布幾率已低于10?2量級，勢能面分布向A=38處演化，即絕對傾向于沿過C點的最低勢能面進行演化。圖5(b)描述了不同驅(qū)動勢對應(yīng)熔合幾率隨激發(fā)能的關(guān)系，從圖中可以看出，一維主方程對應(yīng)驅(qū)動勢的熔合幾率比考慮更低（未經(jīng)過驅(qū)動勢路徑選擇）勢能面影響的結(jié)果高約2個量級。

由此，入射道在雙核系統(tǒng)勢能面比較高的位置時，使用一維主方程計算的熔合幾率偏差大，進而影響最終蒸發(fā)剩余截面的大小。

2.二維主方程

在核結(jié)構(gòu)中，當(dāng)入射道同位旋與復(fù)合系統(tǒng)同位旋相差較大時，單質(zhì)子能級躍遷不可忽略，它可以使核子殼層與形狀出現(xiàn)變化，即殼是同位旋相關(guān)的[51]。

一方面，選擇單一自由度質(zhì)量數(shù)A，忽略了原子核同位旋效應(yīng)的影響，另一方面，在核子轉(zhuǎn)移過程中，中子和質(zhì)子的轉(zhuǎn)移情況比較復(fù)雜。結(jié)合一維主方程的適用條件，考慮入射道在雙核系統(tǒng)勢能面較高的位置，對以質(zhì)量數(shù)A為自由度的一維主方程作出修正，建立以類彈碎片中子數(shù)N1和質(zhì)子數(shù)Z1為宏觀自由度的二維主方程[49]。設(shè)反應(yīng)始終保持兩體過程，碎片1、2的中子質(zhì)子數(shù)分別是(N1,Z1)、(N2,Z2)。設(shè)在t時刻，碎片1的局域激發(fā)能為E1時的分布幾率為P(N1,Z1,t)，則各組態(tài)分布幾率由主方程來描述：

對一些典型的彈靶同位旋與復(fù)合核同位旋相差較大的系統(tǒng)34S+244Pu→273Ds+5n(E*=50 Mev)，二維主方程給出的蒸發(fā)剩余截面[49]與實驗值[52]符合度很高，進而擴展了一維主方程適用的范圍。

在重離子核反應(yīng)過程中，原子核由于受到很強的核與庫侖相互作用而變形，變形核的質(zhì)量、核-核相互作用、庫侖相互作用都會發(fā)生改變，這必然會影響隨后的反應(yīng)過程[53–55]。其中最重要的形變方式是四極形變，錒系靶核還具有較大的十六極形變[56]。

動力學(xué)形變影響彈靶相互作用的勢壘高度，進一步影響耗散到系統(tǒng)中激發(fā)能的大小。不僅如此，在形成雙核系統(tǒng)并發(fā)生核子轉(zhuǎn)移后，類彈、類靶也會發(fā)生動力學(xué)形變，進而影響系統(tǒng)的演化過程[45]。因此，采用二維主方程，同時考慮動力學(xué)形變效應(yīng)，可以得到“精確”描述反應(yīng)機制的數(shù)值解。

圖6.(a)48Ca+242Pu反應(yīng)系統(tǒng)的驅(qū)動勢在時間起點t=0 s和t=290×10?22 s處隨質(zhì)量不對稱度的變化行為，(b)對比了僅考慮四極形變時的驅(qū)動勢和同時考慮四極形變和十六極形變時的驅(qū)動勢[56]

圖6(a)描述的是反應(yīng)系統(tǒng)48Ca+242Pu驅(qū)動勢隨雙核系統(tǒng)質(zhì)量不對稱度η的變化情況。基于Fokker-Planck方程研究低能重離子碰撞中類彈、類靶四極形變隨時間演化的結(jié)果，核的四極形變期待值隨時間指數(shù)增加[55]，最后達到平衡值。因此，考慮到驅(qū)動勢隨時間的演化行為，對圖像作出以下說明。

由前面的討論知，形成復(fù)合核需要克服內(nèi)部熔合位壘（Bg點和入射點之間的差值）。在t=0 s時，圖像為未考慮動力學(xué)形變驅(qū)動勢隨η的變化。根據(jù)t=290×10?22s的結(jié)果，表明考慮動力學(xué)形變后的內(nèi)部熔合位壘更高，抑止重離子熔合而使得熔合幾率變小[36]。圖6(b)也呈現(xiàn)出類似的結(jié)果：同時考慮十六極形變時，系統(tǒng)內(nèi)部熔合位壘會更高，驅(qū)動勢在η的近對稱區(qū)域內(nèi)減小，增加準(zhǔn)裂變發(fā)生的幾率，不利于熔合過程進行。

基于動力學(xué)形變下的驅(qū)動勢，計算二維主方程下對應(yīng)的熔合幾率。圖7(a)中，GSD表示僅考慮基態(tài)形變計算的熔合幾率，DyD表示考慮動力學(xué)形變后計算的熔合幾率。對比發(fā)現(xiàn)，考慮動力學(xué)形變后的熔合幾率減小，與之相應(yīng)的蒸發(fā)剩余截面也減小。其中，考慮動力學(xué)形變后的計算結(jié)果在圖7(b)實驗測量數(shù)據(jù)的誤差范圍內(nèi)。

圖7.(a)靶核為242Pu反應(yīng)系統(tǒng)熔合幾率隨激發(fā)能的關(guān)系，(b)靶核為242Pu反應(yīng)系統(tǒng)蒸發(fā)剩余截面隨激發(fā)能的關(guān)系，(c)靶核為244Pu反應(yīng)系統(tǒng)熔合幾率隨激發(fā)能的關(guān)系，(d)靶核為244Pu反應(yīng)系統(tǒng)蒸發(fā)剩余截面隨激發(fā)能的關(guān)系[56]

圖7(c)、(d)分別對比了僅考慮四極形變(β2)和同時考慮四極形變和十六極形變(β2+β4)兩種情況的熔合幾率和蒸發(fā)剩余截面隨時間的變化?？紤]十六極形變后的熔合幾率和蒸發(fā)剩余截面顯著減小，使得理論計算結(jié)果進一步符合實驗數(shù)據(jù)。

二維主方程以質(zhì)子數(shù)Z、中子數(shù)N為自由度，對一維主方程入射道在勢能面較高位置作出修正。同時，考慮類彈、類靶核的動力學(xué)形變效應(yīng)，結(jié)合四極形變的時間依賴性，可以幫助理論計算結(jié)果更好地再現(xiàn)實驗測量值。除動力學(xué)形變的影響外，同位旋效應(yīng)[49]、彈靶取向作用[57]對熔合幾率的影響同樣重要。

3.三維主方程

由二維主方程討論知，采用類彈、類靶形變隨時間演化的方法計算驅(qū)動勢，可得到雙核系統(tǒng)考慮動力學(xué)形變效應(yīng)后的熔合幾率與蒸發(fā)剩余截面。理論計算盡管可以很好地再現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的部分超重核，但對Z=119、120等更重的超重核的預(yù)言截面偏低[56]，不利于實驗上合成更重的超重核。

雙核模型包含復(fù)合核演化過程中熔合與準(zhǔn)裂變的競爭機制。目前，在低能重離子熔合反應(yīng)過程中，準(zhǔn)裂變是實驗上可以直接測量的唯一信號，通過準(zhǔn)裂變測量可以間接為熔合過程提供有效依據(jù)[45,58,59]。因此，進一步考慮動力學(xué)形變效應(yīng)，研究熔合過程中的準(zhǔn)裂變行為，可建立以質(zhì)量不對稱度η(或類彈質(zhì)量數(shù)A1)，與兩核的形變自由度（β1,β2）三個宏觀集體自由度的主方程：

對于任一雙核組態(tài)(A1,β1,β2)下，準(zhǔn)裂變碎片產(chǎn)額分布和熔合幾率分別為[45]：

雙核系統(tǒng)不僅可以通過轉(zhuǎn)移核子向質(zhì)量不對稱度η方向演化，還可以在其動態(tài)形變空間(β1,β2)中演化。圖8表示48Ca+248Cm系統(tǒng)相互作用勢隨質(zhì)心距離的變化關(guān)系。

圖8.雙核組態(tài)相對于質(zhì)心距離r的相互作用勢[45]

圖8表明，準(zhǔn)裂變在雙核系統(tǒng)演化的整個過程都時刻發(fā)生著。當(dāng)雙核系統(tǒng)沿質(zhì)量不對稱度方向增加至η=1時，兩核組態(tài)在沿徑向自由度r發(fā)展，越過相互作用勢壘（準(zhǔn)裂變勢壘）發(fā)生準(zhǔn)裂變。其中，圖8中勢阱為雙核系統(tǒng)位置，勢壘右側(cè)為發(fā)生準(zhǔn)裂變斷點位置。

下面討論僅考慮類彈、類靶對頭碰撞的動態(tài)四極形變。通過數(shù)值求解三維主方程可知，雙核組態(tài)(A1,β1,β2)在t時刻下的分布幾率和準(zhǔn)裂片碎片產(chǎn)額分布隨時間的演化行為類似，表明雙核系統(tǒng)的分布幾率對準(zhǔn)裂變產(chǎn)額分布起主要作用。

圖9.E c.m=205 Mev下,反應(yīng)道48Ca+248Cm關(guān)于質(zhì)量不對稱度的勢能曲線[45]

圖9表示質(zhì)量數(shù)A1與雙核系統(tǒng)最低能量的關(guān)系，即雙核系統(tǒng)大致的的演化路徑，其中藍色箭頭代表反應(yīng)的起點。根據(jù)能量最低原理，雙核系統(tǒng)沿能量最低的方向演化。因此，對某一特定的(A1,β1,β2)系統(tǒng)，質(zhì)量不對稱度η大致沿曲線路徑進行演化。

圖9黑線描述了雙核系統(tǒng)驅(qū)動勢隨質(zhì)量不對稱度的變化關(guān)系，其中驅(qū)動勢在沿質(zhì)量不對稱度減小的方向明顯降低，即雙核組態(tài)的分布幾率在沿對稱區(qū)域方向相對有所積累。圖9紅線描述了雙核組態(tài)的準(zhǔn)裂變勢壘高度與質(zhì)量不對稱度的關(guān)系，在質(zhì)量不對稱度較大時，準(zhǔn)裂變勢壘較高，準(zhǔn)裂變不易發(fā)生；在質(zhì)量不對稱度比較小(A1=100)時，準(zhǔn)裂變勢壘趨于零，準(zhǔn)裂變易發(fā)生。除此之外，受準(zhǔn)裂變的影響，雙核組態(tài)的分布幾率沿質(zhì)量不對稱度減小的方向會急劇減小。綜合勢能曲面與準(zhǔn)裂變勢壘高度這兩方面的因素，雙核組態(tài)的分布幾率沿質(zhì)量不對稱度減小的方向先增大，當(dāng)積累的速度等于雙核組態(tài)因準(zhǔn)裂變而流出的速度時，雙核組態(tài)分布幾率達到最大值，之后雙核組態(tài)分布幾率開始減小。

圖10.E c.m=205 Mev下,反應(yīng)道48Ca+248Cm準(zhǔn)裂變碎片質(zhì)量分布隨相互作用時間的演化行為[45]

在得到雙核系統(tǒng)狀態(tài)的分布幾率后，計算熔合反應(yīng)過程中準(zhǔn)裂變碎片的質(zhì)量分布。圖10表示不同時刻準(zhǔn)裂變碎片的相對產(chǎn)額分布，在反應(yīng)剛開始時（A1=48,A2=248），準(zhǔn)裂變碎片產(chǎn)額集中在注入點附近，在t=50×10?22s時，準(zhǔn)裂變碎片分布開始向質(zhì)量對稱的方向彌散，中等質(zhì)量的準(zhǔn)裂變碎片開始相對增多，在t=300×10?22s時，趨勢幾乎保持動態(tài)平衡不再改變。圖像類似于一個具有兩個峰值的倒置拋物線，同實驗測量（黑線[60]）的雙峰位置和數(shù)值大小較好符合。

數(shù)值求解三維主方程很好地描述了準(zhǔn)裂變碎片的相對產(chǎn)額。同時，在考慮動力學(xué)形變的基礎(chǔ)之上，研究對熔合反應(yīng)過程中平均總動能分布行為[45]等工作，可以驗證熔合過程中“雙核”組態(tài)存在的合理性，進而給出與模型自洽的結(jié)果，間接理解重離子熔合機制。

IV.總結(jié)與展望

低能重離子核反應(yīng)是研究超重核合成的一種有效機制，也是揭示完全熔合過程的一種重要方法。本文基于雙核系統(tǒng)概念，發(fā)展了一個描述超重核形成機制的理論模型，即雙核模型。該模型能夠充分地體現(xiàn)重離子熔合過程中彈靶的結(jié)構(gòu)效應(yīng)，伴隨著熔合過程中存在的問題，主方程經(jīng)歷了由一維至三維的變化，并在各個階段取得了重要成果：

1.一維主方程選擇質(zhì)量數(shù)A為自由度，當(dāng)彈核、靶核的中質(zhì)比接近反應(yīng)道復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比時，討論了熔合截面的彈靶組合相關(guān)性。但在彈核、靶核的中質(zhì)比遠離反應(yīng)道復(fù)合系統(tǒng)的中質(zhì)比時，由于中子和質(zhì)子的轉(zhuǎn)移情況比較復(fù)雜，計算結(jié)果存在2個量級的誤差。

2.二維主方程以質(zhì)子數(shù)Z和中子數(shù)N為自由度，考慮入射道在雙核系統(tǒng)勢能面較高的位置，對一維主方程進行修正?；诘湍苤仉x子碰撞中類彈（靶）四極形變隨時間演化的結(jié)果，考慮了動力學(xué)形變效應(yīng)，并對熔合幾率和蒸發(fā)剩余截面進行了討論。

3.三維主方程選擇質(zhì)量不對稱度η、兩核形變自由度(β1,β2)為自由度，進一步考慮動力學(xué)形變來描述準(zhǔn)裂變的性質(zhì)，結(jié)合實驗上可測量準(zhǔn)裂變信號的條件，使得雙核系統(tǒng)能在更廣的宏觀系統(tǒng)組態(tài)范圍內(nèi)演化。

研究超重核的合成對探索原子核的質(zhì)量數(shù)存在上限、檢驗和發(fā)展核結(jié)構(gòu)理論模型有重要意義。對合成超重核的理論研究而言，描述熔合機制需做進一步研究，如發(fā)展多集體宏觀變量主方程描述多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)[61–66]、較大反應(yīng)Q值的近對稱系統(tǒng)全熔合反應(yīng)[67]等。除此之外，結(jié)合反應(yīng)機制，需要從核結(jié)構(gòu)[51,68]給出合適的裂變位壘、中子分離能及形變信息。最后，結(jié)合超重核的衰變[69,70]、結(jié)構(gòu)理論，對核反應(yīng)理論進行發(fā)展，給出最佳彈靶組合和最佳入射能量，為實現(xiàn)新核素提供可靠的理論預(yù)言。