姜一舟，于連棟，2*，常雅琪，賈華坤，趙會(huì)寧

（1. 合肥工業(yè)大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2. 中國(guó)石油大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 250000）

1 引 言

工業(yè)機(jī)器人通常具有較高的重復(fù)定位精度，但其定位精度卻很差［1］。機(jī)器人的誤差源分為運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差和非運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差。由于制造和裝配導(dǎo)致實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與其標(biāo)稱值的偏差稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差，運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差約占總定位誤差的90%［2］。因此，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定是提高機(jī)器人定位精度的重要途徑。運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定分為4 個(gè)步驟：建模、測(cè)量、識(shí)別、補(bǔ)償或校正［3］。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的基礎(chǔ)，運(yùn)動(dòng)學(xué)模型應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的三個(gè)基本要求：完備性、連續(xù)性和非冗余性［4-6］。POE（Product of Exponentials）模型為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)提供了完整的幾何化和參數(shù)化表示，從而大大簡(jiǎn)化了機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。有研究對(duì)POE 模型參數(shù)的可辨識(shí)性進(jìn)行了分析，結(jié)果表明，POE模型能夠滿足連續(xù)性、完整性和非冗余性的要求［7］。因此，它被認(rèn)為是理想的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法，并被廣泛應(yīng)用［8］。本文采用POE 模型完成了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，用于六自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定。

標(biāo)定算法在機(jī)器人標(biāo)定過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用。最常用的標(biāo)定算法是最小二乘算法，如高斯-牛頓算法和LM（Levenberg-Marquardt）算法［9］。LM 算法具有良好的抗干擾能力和全局優(yōu)化能力，但需要標(biāo)定參數(shù)的初始理論值與實(shí)際值接近時(shí)才能有較好的標(biāo)定精度，這限制了算法的應(yīng)用。差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法［10-11］是一種高效、高精度的優(yōu)化算法，但容易出現(xiàn)局部收斂，影響運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定精度。當(dāng)種群收斂到目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)值，種群粒子失去多樣性，此時(shí)算法進(jìn)展緩慢或者根本不進(jìn)行［12］。為了提高標(biāo)定精度，本文提出了一種改進(jìn)的 差 分 進(jìn) 化（Modified Differential Evolution，MDE）算法，應(yīng)用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定。該算法利用Metropolis 接受準(zhǔn)則在搜索空間中探索更多的區(qū)域以獲得更好的全局收斂性。同時(shí)，利用種群多樣性評(píng)價(jià)函數(shù)評(píng)價(jià)種群粒子的聚集程度，當(dāng)種群多樣性低于一定閾值時(shí)進(jìn)行二次變異操作。該方法可以有效地提高算法的優(yōu)化能力和運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定精度。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

基于旋量理論的POE 模型提供了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的幾何和參數(shù)化表示，從而大大簡(jiǎn)化了機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，從連桿i－1 到連桿i的連桿變換矩陣可以描述為：

qi=[qxi，qyi，qzi]，表 示 基 坐 標(biāo) 系 中 各 軸 原 點(diǎn) 的 坐標(biāo)；wi=[wxi，wyi，wzi]，為 各 旋 轉(zhuǎn) 軸 在 基 坐 標(biāo) 系中的方向向量；ξi為關(guān)節(jié)旋量的旋量坐標(biāo)。

本文所用六自由度機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。根據(jù)以上公式，機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)表示為：

圖1 六自由度機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig. 1 Link frames of used 6-DOF robot

其中：ξ?st為機(jī)器人初始旋量，r(θ)為機(jī)器人末端位置坐標(biāo)。

由于加工誤差、裝配誤差和機(jī)械變形等原因，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)通常與設(shè)計(jì)值有偏差。因此，如圖2 所示，定義在關(guān)節(jié)處的坐標(biāo)系會(huì)稍微偏離其理想位置。

圖2 六自由度機(jī)器人坐標(biāo)系示意圖Fig. 2 Schematic diagram of 6-DOF robot structure after coordinate transformation

在本文中，理論運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)是已知量。當(dāng)只考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差時(shí)，機(jī)器人的實(shí)際位置坐標(biāo)可以表示為：

共42 項(xiàng)待辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。

作者簡(jiǎn)介：盧歡，女，江西銅鼓人，江西省吉安市吉州區(qū)古南二小，中小學(xué)二級(jí)教師，本科學(xué)歷，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性。

2.2 距離誤差模型

距離精度是工業(yè)機(jī)器人的一個(gè)重要性能指標(biāo)［13］。本文采用距離精度衡量機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定精度，并利用距離誤差模型對(duì)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定［14］。

如圖3 所示，相鄰兩點(diǎn)p與p＋1 之間距離的平方可以表示為（在任意兩點(diǎn)的情形，只需將式（9）中的p＋l 以q（q≠p）代替即可）：

圖3 距離誤差模型Fig. 3 Distance error model

其中：lm(p，p＋1)表示采樣點(diǎn)實(shí)際位置之間的距離，本文采用激光軌跡測(cè)量實(shí)際位置坐標(biāo)；ltheo(p，p＋1)表示采樣點(diǎn)期望位置坐標(biāo)之間的距離，采樣點(diǎn)期望位置坐標(biāo)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算得到。

因此，標(biāo)定過(guò)程中使用的目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

3 標(biāo)定算法

標(biāo)定算法用于優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，求解運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差［15］。差分進(jìn)化算法是一種基于種群差異進(jìn)行高效優(yōu)化的啟發(fā)式算法。隨著算法的迭代計(jì)算，種群粒子會(huì)收斂為最優(yōu)粒子，種群的多樣性會(huì)下降，容易陷入局部收斂。為了保證算法的全局收斂性和最終定標(biāo)精度，必須提高種群的多樣性，防止算法過(guò)早收斂。

3.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法包括變異操作、交叉操作和選擇操作。種群個(gè)體εi={Δwi，Δqi}按公式（13）進(jìn)行初始化：

對(duì)種群個(gè)體按公式（12）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，并且選擇使目標(biāo)函數(shù)值最小的最優(yōu)解εgbest。如果F(εgbest)＞0.1 mm，或迭代次數(shù)小于預(yù)設(shè)次數(shù)，繼續(xù)執(zhí)行變異操作。個(gè)體變異操作的公式為：

其中CR是一個(gè)在［0，1］內(nèi)的實(shí)值交叉概率因子，CR影響搜索過(guò)程的收斂速度和魯棒性。按式（17）執(zhí)行交叉操作，生成測(cè)試個(gè)體εT i。在本文中，為了保證較快的收斂速度，CR=0.9。

然后，基于貪心搜索策略完成選擇操作：

差分進(jìn)化算法的偽代碼如圖4 所示。

圖4 差分進(jìn)化算法流程Fig. 4 Flow chart of differential evolution algorithm

3.2 Metropolis 接受準(zhǔn)則

將Metropolis 接受準(zhǔn)則與DE 算法相結(jié)合應(yīng)用于選擇操作中，可以使算法以一定的概率接受惡化解，從而使算法具有逃脫局部極值和避免過(guò)早收斂的全局優(yōu)化能力［17-19］。以式（19）代替式（18）完成選擇操作，即：

式中：t為初始退火溫度，K∈(0，1)為冷卻系數(shù)，g為迭代次數(shù)。

迭代開始時(shí)，算法直接接受較優(yōu)解，以較大概率接受較差解，避免種群粒子過(guò)早聚集，陷入局部?jī)?yōu)化。隨著迭代次數(shù)的增加，算法接受較差解的概率降低，從而保證了算法在后續(xù)迭代中具有更好的優(yōu)化速率。

3.3 種群多樣性評(píng)價(jià)函數(shù)

差分進(jìn)化算法的全局優(yōu)化能力與種群的多樣性有關(guān)［20］。改進(jìn)差分進(jìn)化算法將種群多樣性描述為種群粒子的聚集程度。隨著迭代次數(shù)的增加，粒子逐漸聚集，種群多樣性減少，導(dǎo)致算法陷入局部?jī)?yōu)化解。因此，采用一種避免種群粒子過(guò)早聚集的方法，可以有效提高全局優(yōu)化能力。

本文提出了一個(gè)種群多樣性評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)監(jiān)測(cè)種群多樣性，當(dāng)種群低于某一閾值時(shí)進(jìn)行二次變異操作以避免陷入局部?jī)?yōu)化，即：

改進(jìn)差分進(jìn)化算法流程如圖5 所示。利用種群多樣性評(píng)價(jià)函數(shù)，在每次迭代中評(píng)估粒子種群的聚集程度，并對(duì)過(guò)度聚集的粒子進(jìn)行兩次突變，從而有效提高了差分進(jìn)化算法的全局優(yōu)化能力和最終標(biāo)定精度。

圖5 改進(jìn)差分進(jìn)化算法流程Fig. 5 Flow chart of modified differential evolution algorithm

4 實(shí)驗(yàn)與仿真

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6 所示。實(shí)驗(yàn)對(duì)象為六自由度串聯(lián)機(jī)器 人（Universal robot 5，Universal Robots，Danmark）。在機(jī)器人末端執(zhí)行器上的指定位置固定有靶球。使用精度為0.005 mm/m 的激光跟蹤器（API T3，Automated Precision Inc，USA）測(cè)量機(jī)器人末端的位置坐標(biāo)。

圖6 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 Experimental setup for calibration of robot kinematic parameters

4.1 仿 真

在理論運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)中加入隨機(jī)參數(shù)誤差作為實(shí)際參數(shù)進(jìn)行仿真。采用500 組關(guān)節(jié)變量和位置坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定，采用另外100組測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)比較LM 算法、DE算法和提出的MDE 算法的仿真結(jié)果，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。采用不同算法得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差如表1 所示。標(biāo)定后的距離誤差結(jié)果如圖7 和表2 所示。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與LM 算法和DE 算法相比，MDE 算法的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定效果最好。該算法可以有效地提高機(jī)器人的定位精度。最大距離誤差由2.392 0 mm 減小到0.249 3 mm，平均誤差由0.880 5 mm 減小到0.080 5 mm。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab. 1 Identification results of kinematic parameters

表2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Simulated calibration results （mm）

圖7 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Simulation results

4.2 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)測(cè)量機(jī)器人在工作空間內(nèi)的500 個(gè)關(guān)節(jié)變量和位置坐標(biāo)數(shù)據(jù)，對(duì)機(jī)器人參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。選擇的采樣點(diǎn)在應(yīng)使相應(yīng)的關(guān)節(jié)變量能夠覆蓋機(jī)器人的關(guān)節(jié)工作范圍。同時(shí)測(cè)量了100 個(gè)采樣點(diǎn)，用于標(biāo)定后精度的驗(yàn)證。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，采用LM、DE 和MDE 算法識(shí)別機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10 和表3 所示。標(biāo)定前，受運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的影響機(jī)器人定位精度較低，最大距離誤差為4.431 0 mm，平均距離誤差為1.148 8 mm。經(jīng)過(guò)LM 算法、經(jīng)典DE 算法和MDE 算法的標(biāo)定，運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差降低，機(jī)器人的定位精度得到了顯著提高。如圖8 所示，采用MDE 算法標(biāo)定后，機(jī)器人的距離誤差最小。

圖8 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig. 8 Comparison of kinematic calibration experimental results

圖9 比較了經(jīng)典DE 算法和MDE 算法的收斂能力，圖10 比較了迭代優(yōu)化過(guò)程中的種群多樣性變化情況。如圖9 和圖10 所示，經(jīng)典的DE 算法比MDE 算法收斂得早，同時(shí)種群多樣性降低到1 左右。MDE 算法使種群多樣性保持在1 左右，避免了算法提前收斂。因此，MDE 算法表現(xiàn)出更好的優(yōu)化能力。標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表3，最大距離誤差從4.977 mm 到0.280 7 mm，平均誤差從2.906 0 mm 減少到0.095 2 mm。

圖9 全局收斂性比較Fig.9 Comparison of global convergence

圖10 種群多樣性變化Fig.10 Changes in population diversity

表3 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定結(jié)果Tab.3 Experimental calibration results （mm）

5 結(jié) 論

為提高運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定精度，本文提出了一種MDE 算法。該算法在選擇操作中結(jié)合了Metropolis 接受準(zhǔn)則，同時(shí)采用種群多樣性評(píng)價(jià)函數(shù)來(lái)監(jiān)測(cè)種群粒子的聚集度，在種群低于某一閾值時(shí)進(jìn)行二次變異操作，以避免算法陷入局部?jī)?yōu)化。本文采用六自由度串聯(lián)機(jī)器人和激光跟蹤儀進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的仿真和實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過(guò)標(biāo)定，機(jī)器人的平均距離誤差由2.906 0 mm（校準(zhǔn)前）降低到0.095 2 mm。通過(guò)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)與DE算法和LM 算法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了MDE 算法的優(yōu)越性。