周瀟凡，王憲杰，龍詩琪，楊思昭，王 希，董艷秋，呂 龍

(云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650500)

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，私人汽車的擁有量以每年1000萬的速度快速增長[1]。根據(jù)2019版的《中國汽車工業(yè)年鑒》，到2019年底，全國私家車總量接近2億輛，全國平均每百戶家庭擁有超過40輛私家車，在北京、深圳等經(jīng)濟發(fā)達的區(qū)域，每百戶家庭擁有私家車超過70輛。由于私家車的普及停車問題也隨之而來，尤其是在寸土寸金的大城市，受土地和停車場數(shù)量的限制，許多城市開始興建大型立體停車樓來緩解城市停車壓力。然而在以往的停車樓設(shè)計中，大多以層間位移角為限制進行結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計，事實上受車輛隨機停放的影響，停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇罕遇地震時發(fā)生扭轉(zhuǎn)破壞的可能性要更大。

考慮隨機結(jié)構(gòu)與隨機地震激勵的分析在過去幾十年已經(jīng)取得重大進展，形成了以李杰[2-5]等研究、發(fā)展而來的概率密度演化理論(簡稱PDEM)。概率密度演化理論可以求解物理量(包括位移、速度、加速度、變形等)的概率密度函數(shù)及其演化過程，從三維角度分析該物理量隨時間的變化過程[6]。相較于傳統(tǒng)的隨機結(jié)構(gòu)分析方法，如FPK方程(Fokker Planck Kolmogorov equation)、功率譜分析與矩演化方法[7-8]等，概率密度演化方法具有計算精度高，計算量小，能夠在較短的時間內(nèi)完成對結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確分析，從而滿足結(jié)構(gòu)精細化、效率化的抗震分析與設(shè)計要求[9-10]。

本文基于概率密度演化理論，分別對考慮車輛隨機停放和考慮滿載時的典型層層間扭轉(zhuǎn)角、層間位移角的概率密度曲面進行對比分析。并基于極值分布的首次超越破壞可靠度分析方法求解停車樓結(jié)構(gòu)的體系可靠度，得出結(jié)構(gòu)的破壞概率矩陣，從而實現(xiàn)預(yù)測立體停車樓在遭遇罕遇地震作用時隨機車輛荷載對停車樓結(jié)構(gòu)抗震性能產(chǎn)生的影響，為未來高烈度設(shè)防區(qū)立體停車樓的抗震設(shè)計和震后評估提供更加科學(xué)的設(shè)計方法與思路。

1 考慮車輛隨機停放的密度演化方法分析

1.1 車輛隨機停放和隨機地震荷載下結(jié)構(gòu)動力方程

由結(jié)構(gòu)動力學(xué)的知識可以知道，一個n自由度系統(tǒng)的動力方程表示如下：

(1)

將車輛荷載在停車樓中的隨機分布等效為質(zhì)量塊，并以隨機離散矩陣方式加入到結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣中，即將隨機車輛質(zhì)量離散的數(shù)學(xué)表示式為

Ms=diag[m1,m2,…,mi,…,mn],i=1,2,…,n

(2)

式中：mi為第i層的隨機汽車質(zhì)量；Ms為n×n階的汽車質(zhì)量隨機矩陣；diag[]為矩陣對角化。

mi=sum(mmaxrand(1,t))

(3)

式中：t表示第i層有t個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間；mmax為每個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的最大停車荷載值。

對式(3)中rand命令生成的隨機數(shù)列進行離散化

bi-1≤ai≤bi,i=1,2,…,t,t≥1

(4)

式中：ai為rand命令生成的第i個數(shù)；0≤bi≤1且bi的取值與車的質(zhì)量有關(guān)，則令

ai=bi-1

(5)

因此帶有隨機停車荷載的運動方程可表示為

(6)

(7)

(8)

其中Z1為層間位移角，Z2為層間扭轉(zhuǎn)角，則其物理速度方程可以表示為

(9)

1.2 概率密度演化方程求解

根據(jù)概率守恒原理，考慮隨機汽車荷載和隨機激勵下結(jié)構(gòu)的廣義概率密度演化方程為

(10)

初始條件為

PZΘ(z,θ,t)|t=0=δ(z-z0)PΘ(θ)

(11)

式中：δ(·)為狄拉克函數(shù)；PΘ(θ)為Θ的聯(lián)合概率密度函數(shù)；z0為初始值。

將式(9)帶入式(10)并結(jié)合式(11)，對式(10)進行求解時，采用雙邊差分法[4]得到Zl(t)的概率密度函數(shù)PZl(z,t)為

(12)

式中：ΩΘ為Θ的分布區(qū)域。

1.3 數(shù)值計算方法

采用數(shù)值方法計算概率密度函數(shù)時，首先要進行概率密度選點[5]，即在隨機向量Θ的分布空間ΩΘ取得一系列離散代表點，記為

θq=(θ1,q,θ2,q,…,θs,q),q=1,2,…,nsel

(13)

式中：nsel為取得離散代表點的數(shù)目，離散點的數(shù)目與隨機變量的數(shù)目有關(guān)[11]。

同時確定每個點的賦得概率

(14)

式中：Vq為代表性體積。

通過有限元軟件分析并結(jié)合初始條件求解每組θq下的PZΘ(z,θq,t)值，將所有值求和即可得到Pz(z,t)的數(shù)值解

(15)

2 結(jié)構(gòu)體系可靠度求解

基于極值分布的首次超越破壞問題動力可靠度等價于具有無窮多個單元數(shù)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度問題[12-13]，即

(16)

式中：R為結(jié)構(gòu)體系的可靠度；Xi為各層的層間位移角或?qū)娱g扭轉(zhuǎn)角；bi為層間位移角或?qū)娱g扭轉(zhuǎn)角的約束條件。

當(dāng)bi不相同時，表明存在多個動力失效模式，在這種復(fù)雜失效準(zhǔn)則面前，可以通過構(gòu)造等價極值事件，將結(jié)構(gòu)整體可靠度問題轉(zhuǎn)化為等價極值概率密度函數(shù)的一維積分問題，相對于多維積分而言，不僅減小計算量，降低分析難度，且結(jié)構(gòu)可靠度分析精度較高。結(jié)構(gòu)的整體可靠度公式如下：

(17)

式中：τ是虛構(gòu)的虛擬時間。

此時可以構(gòu)造等價極值

(18)

至此式(16)中的整體可靠度轉(zhuǎn)化為

(19)

3 工程運用

以云南省大理市某一立體停車樓的設(shè)計為例，主體結(jié)構(gòu)為10層的鋼混結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)首層層高為3.6 m，2—4層層高為2.55 m，5—8層層高為2.15 m，9層層高為2.6 m，10層層高為2 m。設(shè)防烈度為8度(0.2g)，場地土類別為Ⅱ類，設(shè)計地震分組為第三組，地面粗糙程度為B類。結(jié)構(gòu)所用的主要材料是鋼材Q235、混凝土C30。除第1層柱、第10層樓底和樓頂用鋼筋混凝土澆筑外，其他結(jié)構(gòu)都是鋼結(jié)構(gòu)。該停車樓通過盈建科軟件建立模型后，結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)層如圖1所示，通過盈建科接口程序?qū)⑼＼嚇悄Ｐ蛯?dǎo)入到ABAQUS，得出模型如圖2所示。輸入20條天然波并調(diào)幅到4 m/s2(大震)，分別計算考慮隨機汽車荷載和考慮滿載，停車樓結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)和可靠度。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)層

圖2 停車樓模型

3.1 考慮汽車荷載的停車樓有限元模型

考慮在停車樓的2—9層進行隨機車輛荷載的布置。將停車樓每層劃分為8個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，如圖1所示，每個長方形(長寬分別為7.3和4.82 m)為1個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，每個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間有3個車位，每個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間的中心作為隨機汽車荷載的作用點。通過查閱《中國汽車工業(yè)年鑒》可以知道，我國居民通常駕駛私家車的最小質(zhì)量以長安汽車-悅翔低配為例，車質(zhì)量為1080 kg；最大質(zhì)量以豐田-漢蘭達高配為例，車質(zhì)量為2070 kg。因此在該長方形上作用的車輛荷載可能為0或者1080～6210 kg，采用rand命令隨機生成的8個數(shù)，經(jīng)過離散化后隨機分布到每個標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間中。因此在停車樓結(jié)構(gòu)的每次有限元分析中都將隨機生成一系列與上次不同的停車荷載，這樣就可以較好地考慮汽車隨機停放荷載對停車樓結(jié)構(gòu)抗震性能造成的影響。

3.2 停車樓結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)與量化指標(biāo)

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010)中的結(jié)構(gòu)破壞狀態(tài)與相應(yīng)指標(biāo)[14]，輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞、倒塌對應(yīng)的層間位移角限值如表1所示，各個破壞狀態(tài)下層間位移角與層間扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系由文獻[15]可知

表1 結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)及其判別標(biāo)準(zhǔn)

(20)

式中：αLS為各個破壞狀態(tài)下的層間扭轉(zhuǎn)角；θLS為各個破壞狀態(tài)下的層間位移角；h為層高；R為構(gòu)件到結(jié)構(gòu)剛心的最大距離；u為最大層間位移與平均層間位移的比值。

由式(20)可以得到停車樓結(jié)構(gòu)的破壞狀態(tài)與其最大層間扭轉(zhuǎn)角的關(guān)系，如表2所示。

表2 層間扭轉(zhuǎn)角量化指標(biāo) rad

3.3 停車樓動力響應(yīng)

考慮隨機汽車荷載(模型1)的各層最大層間位移角與考慮滿載(模型2)的各層最大層間位移角如圖3所示，從圖中可以知道考慮隨機停車汽車荷載后，結(jié)構(gòu)的最大層間位移角出現(xiàn)在第2層,為8.5×10-3，且比考慮滿載時的第3層層間位移角減小了4.49%，2種模型的最大層間位移角均小于規(guī)范給定的結(jié)構(gòu)倒塌時的極限值0.02。2種模型的層間扭轉(zhuǎn)角如圖4所示，考慮隨機汽車荷載后停車樓結(jié)構(gòu)的最大層間扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在第1層,為9.421×10-4rad,考慮滿載的停車樓的最大層間扭轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在第9層,為8.943×10-4rad，前者比后者增大了5.34%，前者比后者更加逼近該結(jié)構(gòu)倒塌的層間扭轉(zhuǎn)角極限值1.04×10-3rad。最大層間扭轉(zhuǎn)角變大是由于停車荷載的隨機分布，導(dǎo)致停車樓結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量分布不均勻。因此停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇大震時發(fā)生層間扭轉(zhuǎn)破壞的可能性顯著提高。由于層高的突變導(dǎo)致2種模型的層間扭轉(zhuǎn)角在第9層形成了局部極大值。在以層間位移角為判別指標(biāo)時，結(jié)構(gòu)進入塑性狀態(tài)，但離倒塌尚遠；以層間扭轉(zhuǎn)角為判別指標(biāo)時，考慮車輛隨機停放后，該結(jié)構(gòu)面臨倒塌的風(fēng)險，結(jié)構(gòu)的薄弱層由考慮滿載時的第9層轉(zhuǎn)移到第1層。

停車樓結(jié)構(gòu)考慮隨機汽車荷載和考慮滿載的典型層的第1層層間扭轉(zhuǎn)角、第3層層間位移角的概率密度曲面如圖5所示，典型時刻的概率密度曲線如圖6所示。因概率密度演化理論能夠直接給出層間扭轉(zhuǎn)角的瞬時概率密度函數(shù)以及層間扭轉(zhuǎn)角的演化過程，通過對比圖6可以發(fā)現(xiàn)，考慮隨機汽車荷載相對于考慮滿載層間扭轉(zhuǎn)角的概率密度曲線在7.70或7.90 s時要更“胖”，而2種模型層間位移角的概率密度曲線在7.65或7.90 s時變化不大。說明了停車樓在遭遇罕遇地震時考慮隨機停車荷載后，層間扭轉(zhuǎn)角相比于層間位移角受到的影響更大。

圖5 2種模型動力響應(yīng)概率密度曲面

圖6 2種模型典型時刻的概率密度曲線

3.4 停車樓結(jié)構(gòu)的整體可靠度

3.5 破壞概率矩陣

由表3可以預(yù)測結(jié)構(gòu)在遭遇大震作用時，即PGA(地震峰值加速度)為4 m/s2時，結(jié)構(gòu)可能發(fā)生不同破壞狀態(tài)的破壞概率如表4所示，從表中可以知道2種模型在遭遇罕遇地震作用時基本完好的概率分別為5.22%和2.27%；稍加修理就可使用的概率為3.74%和7.38%；需要一般修理，采取安全措施方可使用的概率為5.96%和34.76%；應(yīng)排險大修，并局部拆除的概率為75.9%和55.59%；倒塌的可能性為9.18%和0。停車樓模型在考慮隨機汽車荷載后遭遇大震時可能受到基本完好、嚴重破壞、倒塌的概率提高，受到輕微破壞、中等破壞的可能性降低。由《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010)可知結(jié)構(gòu)在發(fā)生嚴重破壞或倒塌時對生命造成威脅，考慮隨機汽車荷載和考慮滿布汽車荷載的停車樓結(jié)構(gòu)受到嚴重破壞和倒塌的概率分別為0.8508和0.5559。因此未考慮隨機汽車荷載時停車樓結(jié)構(gòu)在發(fā)生大震時實際上低估了地震對生命造成的威脅。

表3 2種模型下結(jié)構(gòu)的可靠度

表4 2種模型的破壞概率矩陣

4 結(jié)論

本文基于概率密度演化理論同時考慮到地震的隨機性與車輛隨機停放的復(fù)合隨機過程，對某一實際立體停車樓進行時程分析，評估隨機地震激勵、隨機汽車停放對鋼混結(jié)構(gòu)停車樓抗震性能產(chǎn)生的影響，并得出以下結(jié)論：

1) 考慮隨機汽車荷載后，停車樓結(jié)構(gòu)的薄弱層存在轉(zhuǎn)移的可能性。因此車輛隨機停放對結(jié)構(gòu)薄弱層的分布產(chǎn)生一定的影響。

2) 考慮車輛隨機停放后，結(jié)構(gòu)各層的層間扭轉(zhuǎn)角的瞬時概率密度曲線明顯變“胖”，表明停車樓結(jié)構(gòu)在遭遇大震作用時的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)顯著變大；而層間位移角的概率密度曲線變化不大，說明考慮車輛隨機停放后，層間扭轉(zhuǎn)角起主要控制作用。

3) 停車樓結(jié)構(gòu)考慮滿載并以層間位移角為可靠度指標(biāo)時停車樓結(jié)構(gòu)不會倒塌，考慮車輛隨機停放并以扭轉(zhuǎn)角為指標(biāo)時，結(jié)構(gòu)有9.18%的概率倒塌。因此在停車樓的設(shè)計中要考慮車輛的隨機停放，并通過層間扭轉(zhuǎn)角進行結(jié)構(gòu)可靠度計算。