馬偉超，楊桀彬，趙志高，楊威嘉，楊建東

（武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072）

0 引 言

隨著農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的發(fā)展，通過(guò)修建引調(diào)水工程解決農(nóng)業(yè)和生態(tài)環(huán)境用水問題是一種必然的發(fā)展趨勢(shì)[1]。以重力流輸水的長(zhǎng)距離引調(diào)水工程首末段水頭差往往較大，常建設(shè)消能水電站，以合理運(yùn)用其剩余水頭[2]，在滿足引調(diào)水工程安全的前提下，充分發(fā)揮其灌溉、發(fā)電等水資源綜合利用效益。水電站及水電機(jī)組的安全、穩(wěn)定、高效運(yùn)行也因此越來(lái)越受到水利部門的重視，對(duì)水電機(jī)組建模仿真精度提出了更高的要求[3-5]。水輪機(jī)綜合特性曲線是進(jìn)行水電站運(yùn)行仿真與調(diào)節(jié)保證分析的基本數(shù)據(jù)來(lái)源，特性曲線的完整程度、疏密程度及準(zhǔn)確性直接影響仿真結(jié)果的可靠性。然而，水輪機(jī)廠家所提供的混流式水輪機(jī)綜合特性曲線試驗(yàn)結(jié)果范圍相對(duì)較小，較難滿足水輪機(jī)各種工況過(guò)渡過(guò)程仿真需求[6]。因此，在計(jì)算前需要對(duì)水輪機(jī)特性數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展和補(bǔ)充，外延內(nèi)插水輪機(jī)特性曲線[7-8]，目前主要處理方法有外特性法和內(nèi)特性法。

外特性法充分利用水輪機(jī)綜合特性曲線和飛逸特性曲線的模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)純數(shù)學(xué)方法合理預(yù)估、推測(cè)各物理量的變化規(guī)律。阮文山[9]假定力矩特性曲線將交于一點(diǎn)，并采用二次曲線模型擴(kuò)展，此方法計(jì)算簡(jiǎn)單有效，但在低轉(zhuǎn)速區(qū)域時(shí)誤差較大；張培等[7,10]和王珊等[11-13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)搭建了水輪機(jī)數(shù)學(xué)模型，有效減小了數(shù)值仿真誤差，但曲線外延精度仍存在較大的提升空間，劉冬等[14]在水輪機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中引入評(píng)價(jià)和修正函數(shù)，有效提高特性曲線的預(yù)測(cè)精度；張蓉生等[15]通過(guò)Delaunay三角剖分及分片線性插值的方式擴(kuò)展了水輪機(jī)效率曲線；鄭源等[16-17]將水輪機(jī)特性曲線進(jìn)行簡(jiǎn)單分區(qū)處理，其區(qū)域特征描述更精確，但該方法計(jì)算量大，各分區(qū)邊界點(diǎn)存在不連續(xù)現(xiàn)象。上述外特性方法由于缺乏水輪機(jī)水力特性理論的支撐，所得結(jié)果與機(jī)組運(yùn)行的真實(shí)情況存在一定差異。

內(nèi)特性法通過(guò)理論推導(dǎo)研究了水輪機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分反映了水輪機(jī)內(nèi)部特征與水流流動(dòng)規(guī)律，可以有效減小外特性法對(duì)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的依賴。常近時(shí)[18-19]推導(dǎo)了水輪機(jī)廣義基本方程與全特性曲線的解析表達(dá)式，方程充分反映了水輪機(jī)內(nèi)部特征，但未利用外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算精度較低；趙林明等[20]基于水輪機(jī)流量調(diào)節(jié)方程，提出了水輪機(jī)線性模型；楊建東等[21-22]推導(dǎo)了水輪機(jī)零轉(zhuǎn)速和交點(diǎn)邊界及可逆式水泵水輪機(jī)的特征交點(diǎn)公式；門闖社等[23-24]改進(jìn)了水輪機(jī)內(nèi)特性模型，并結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)內(nèi)特性參數(shù)，但方程求解易陷入病態(tài)，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可能與其物理意義不符，且轉(zhuǎn)速較高時(shí)，內(nèi)特性方程可能無(wú)解。

針對(duì)上述局限性，本研究綜合考慮水輪機(jī)內(nèi)外特性，結(jié)合多重邊界條件、外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)與內(nèi)特性模型，提出了一種混流式水輪機(jī)特性曲線分區(qū)處理方法；對(duì)某水輪機(jī)進(jìn)行實(shí)例分析，辨識(shí)其內(nèi)特性參數(shù)，外延內(nèi)插其特性曲線，并與典型的外特性法與內(nèi)特性法對(duì)比；最后將完整的特性曲線應(yīng)用于過(guò)渡過(guò)程試驗(yàn)反演及對(duì)比，以期獲得較高的仿真精度，更好地應(yīng)用于工程實(shí)際。

1 混流式水輪機(jī)特性曲線的邊界條件

水輪機(jī)特性曲線通常采用單位流量、單位力矩與導(dǎo)葉開度、單位轉(zhuǎn)速間的關(guān)系式表達(dá)。基于流量調(diào)節(jié)方程和能量平衡方程，可建立水輪機(jī)內(nèi)特性模型[24]，如式（1）所示。

式中M11為單位力矩，N·m；Q11為單位流量，m3/s；n11為單位轉(zhuǎn)速，r/min；a1~a7為結(jié)構(gòu)參數(shù)，kg/m3，具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[24]，其中，a1i、a3i、a4i與開度α有關(guān)，下標(biāo)i表示第i條開度線對(duì)應(yīng)的參數(shù)，其他參數(shù)與開度無(wú)關(guān)。

將邊界條件作為特性曲線分區(qū)的特征點(diǎn)，約束各分區(qū)內(nèi)特性曲線的延拓范圍。邊界條件由特性曲線外延內(nèi)插的范圍確定，主要包括以下5類：開度線與n11=0軸、Q11=0軸、M11=0軸的交點(diǎn)、零開度線和單位力矩的交點(diǎn)，分別簡(jiǎn)稱為零轉(zhuǎn)速條件、零流量條件、飛逸條件、零開度線和交點(diǎn)條件。

1.1 邊界條件表達(dá)式

1.1.1 零轉(zhuǎn)速條件

包括零轉(zhuǎn)速時(shí)的單位流量和單位力矩。單位流量可根據(jù)單位出力、效率和單位轉(zhuǎn)速間的關(guān)系，通過(guò)洛必達(dá)法則計(jì)算[21]，如式（2）所示。由式（1）流量調(diào)節(jié)方程推導(dǎo)可得單位力矩，如式（3）所示。

式中f1(n11)與f2(n11)分別為某條開度線上單位轉(zhuǎn)速關(guān)于單位出力P11(W)和水輪機(jī)效率η的函數(shù)。

1.1.2 零流量條件

零流量條件為水輪機(jī)絕對(duì)流量=0時(shí)對(duì)應(yīng)的單位轉(zhuǎn)速和單位力矩。由于零流量時(shí)速度三角形的特殊性，很難直接計(jì)算對(duì)應(yīng)的單位轉(zhuǎn)速，因此先推導(dǎo)轉(zhuǎn)輪進(jìn)口處相對(duì)流速W1在進(jìn)口切線方向（圖1中虛線方向）的速度分量Wb1=0時(shí)的單位轉(zhuǎn)速，并對(duì)流量系數(shù)進(jìn)行修正，近似得到絕對(duì)流量=0對(duì)應(yīng)的單位轉(zhuǎn)速。分析轉(zhuǎn)輪進(jìn)口處的速度，可列方程組如式（4）所示。

式中下標(biāo)0表示導(dǎo)葉出口，下標(biāo)1表示轉(zhuǎn)輪進(jìn)口；U為圓周速度，m/s；D為斷面直徑，m；n為水輪機(jī)轉(zhuǎn)速，r/min；V為絕對(duì)速度，m/s；W為相對(duì)速度，m/s；μ為孔口出流的流量系數(shù)，此時(shí)情況與大孔口出流近似，流量系數(shù)μ可取0.85～0.9，考慮到葉片為流線型，可取為0.9[25]；H為工況水頭，m。

將式（4）整理，零流量時(shí)的單位轉(zhuǎn)速可表達(dá)為

式中μ′為相對(duì)零流量與絕對(duì)零流量轉(zhuǎn)化的修正系數(shù)，可取 0～0.4，對(duì)于常規(guī)混流式水輪機(jī)，零流量時(shí)的單位轉(zhuǎn)速一般略大于飛逸單位轉(zhuǎn)速，以此為判斷依據(jù)，通過(guò)試算確定修正系數(shù)。

在零流量處，轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)速較大，高速的水流使得葉片進(jìn)口處存在低壓區(qū)，會(huì)誘導(dǎo)流體在低壓區(qū)形成渦流產(chǎn)生水力損失，故很難求出零流量處的單位力矩理論解[22]。

1.1.3 飛逸條件

由于水輪機(jī)廠家只提供某一范圍開度的飛逸工況散點(diǎn)數(shù)據(jù)，需要對(duì)飛逸特性曲線進(jìn)行擴(kuò)展。當(dāng)機(jī)組飛逸且導(dǎo)葉完全關(guān)閉時(shí)，單位轉(zhuǎn)速和單位流量均為0，以此作為小開度區(qū)域延拓的依據(jù)。飛逸曲線表達(dá)如式（6）所示[18]。

式中nc為飛逸狀態(tài)下機(jī)組的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速，r/min；Qc為飛逸狀態(tài)下機(jī)組的瞬時(shí)流量，m3/s；b0為導(dǎo)葉高度，m；r2為轉(zhuǎn)輪出口半徑，m；A2為轉(zhuǎn)輪出口斷面面積，m2；β2為水流出口角，(°)。

由于水輪機(jī)參數(shù)信息往往難以獲得，且當(dāng)水輪機(jī)發(fā)生飛逸時(shí)，機(jī)組振蕩劇烈，流量與水頭等參數(shù)出現(xiàn)大幅振蕩[26-28]，此時(shí)遠(yuǎn)離最優(yōu)工況，方程中內(nèi)特性參數(shù)與實(shí)際參數(shù)也存在偏差，故很難直接使用該式指導(dǎo)飛逸曲線的擴(kuò)展。

補(bǔ)充零開度的飛逸流量與飛逸轉(zhuǎn)速后，可通過(guò)式（7）擬合飛逸條件。飛逸轉(zhuǎn)速擬合系數(shù)可利用 MATLAB的nlinfit函數(shù)求解，求解時(shí)需保證至少已知5個(gè)飛逸試驗(yàn)點(diǎn)；飛逸流量擬合系數(shù)可通過(guò)最小二乘法求解。

式中α為導(dǎo)葉開度，(°)；C1Q,C2Q,B0n,B1n,B2n,B3n,B4n為擬合系數(shù)；n11c為飛逸狀態(tài)下機(jī)組的瞬時(shí)單位轉(zhuǎn)速，r/min；Q11c為飛逸狀態(tài)下機(jī)組的瞬時(shí)單位流量，m3/s。

1.1.4 零開度線

零開度時(shí)，流量為0；將Q11|α=0=0代入式（1）可知，此時(shí)力矩特性曲線為關(guān)于單位轉(zhuǎn)速的二次曲線，如式（8）所示。

1.1.5 交點(diǎn)條件

假定在中高轉(zhuǎn)速區(qū)域，單位力矩也為關(guān)于單位轉(zhuǎn)速的二次曲線[9]，結(jié)合零開度線的單位力矩表達(dá)式M11=a7n112，各條力矩特性曲線的交點(diǎn)可寫作（n11p，a7n11p2），通過(guò)最小二乘法可求出各條開度線的擬合系數(shù)和交點(diǎn)邊界，稱為力矩二次曲線模型，如式（9）所示。

式中BM1i，BM2i為第i條開度線的擬合系數(shù)。

1.2 簡(jiǎn)化內(nèi)特性模型與邊界條件計(jì)算

上述邊界條件中，零轉(zhuǎn)速時(shí)的流量和飛逸條件可通過(guò)外特性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)直接計(jì)算，而零轉(zhuǎn)速時(shí)的單位力矩、零流量時(shí)的單位轉(zhuǎn)速、零開度時(shí)的力矩特性曲線和交點(diǎn)邊界條件表達(dá)式中包含內(nèi)特性模型中的參數(shù)a1i、a7、βb1、Δα0，由于原內(nèi)特性模型方程求解易陷入病態(tài)，精確解難以求取[24]，不宜直接使用，故對(duì)內(nèi)特性模型進(jìn)行改進(jìn)，選取水輪機(jī)高效率區(qū)試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)時(shí)，葉片水流不發(fā)生脫流，可取葉片出口安放角與葉片出流角相同，即βb2≈β2，對(duì)式(1)簡(jiǎn)化，對(duì)參數(shù)a1～a7進(jìn)行合理消元、替換，統(tǒng)一方程量綱，如式（10）所示。

式中Y=M11/n11Q11，kg/m2；X=Q11/n11，m3·min/(r·s)；b1,b2為結(jié)構(gòu)參數(shù)，kg/m3，具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[24]；Δα0為導(dǎo)葉出流角α0與導(dǎo)葉開度角α的差角，(°)；ρ為水密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；容積效率η0近似取為0.995[29]。

于是需要辨識(shí)的參數(shù)有：b1，b2，Δα0，a2，a3i，βb1，a7。式（10）可通過(guò)最小二乘法求解，應(yīng)當(dāng)注意的是，針對(duì)每一條開度線i，其參數(shù)a1i和a3i需視作獨(dú)立的變量。

參數(shù)辨識(shí)精度直接影響邊界條件計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。本研究給出了參數(shù)βb1的驗(yàn)證方法：葉片入口安放角βb1可通過(guò)速度三角形近似計(jì)算驗(yàn)證：考慮到水輪機(jī)在偏離最優(yōu)工況較遠(yuǎn)的高轉(zhuǎn)速區(qū)域的水力性能，取葉片安放角βb1比水流進(jìn)口角β1略小3°～10°，而水流進(jìn)口角β1表達(dá)式可根據(jù)速度三角形關(guān)系和式（4）進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)果如式（11）所示，代入工況參數(shù)即可求解。

2 多重邊界條件下分區(qū)擬合特性曲線

2.1 分區(qū)處理策略

根據(jù)水輪機(jī)廠家提供的模型綜合特性曲線和飛逸特性曲線，對(duì)特性曲線進(jìn)行外延和內(nèi)插，其中外延是對(duì)已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的開度線沿單位轉(zhuǎn)速軸向兩端延拓；內(nèi)插是根據(jù)零開度條件和外延的開度線，插值沒有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的中間開度線。

特性曲線在小開度區(qū)域、低轉(zhuǎn)速區(qū)域和中高轉(zhuǎn)速區(qū)域的性質(zhì)差異顯著，為了精確描述區(qū)域特征，以模型綜合特性曲線外圍和 5個(gè)邊界條件為界，將水輪機(jī)特性曲線分作5個(gè)區(qū)域，如表1所示。

表1 水輪機(jī)特性曲線分區(qū)Table 1 Partitioning of turbine characteristic curves

由于流量調(diào)節(jié)方程不適用于高轉(zhuǎn)速區(qū)域，力矩二次曲線模型在低轉(zhuǎn)速區(qū)域誤差明顯，能量平衡方程僅在制動(dòng)工況前描述較為準(zhǔn)確，綜合考慮，引入不同擬合方法擬合各區(qū)的特性曲線，區(qū)與區(qū)之間，用三次B樣條曲線[30]將各區(qū)的曲線段重新擬合，平滑連接，以解決分區(qū)處理在分界點(diǎn)處出現(xiàn)的插值誤差。

流量特性曲線外延內(nèi)插的次序?yàn)椋?/p>

1）結(jié)合零轉(zhuǎn)速條件，通過(guò)流量調(diào)節(jié)方程與能量平衡方程，將曲線外延至S2區(qū)域；

2）結(jié)合飛逸條件，通過(guò)能量平衡方程與力矩二次曲線模型，將曲線外延至S3區(qū)域；

3）結(jié)合飛逸和零開度條件，采用三次多項(xiàng)式分片擬合的方法，對(duì)飛逸工況前已外延的開度線進(jìn)行插值；

4）結(jié)合零流量條件，通過(guò)三次B樣條曲線，同時(shí)實(shí)現(xiàn)S5區(qū)域的外延和全區(qū)域的平滑連接。

力矩特性曲線外延內(nèi)插的次序?yàn)椋?/p>

1）結(jié)合零轉(zhuǎn)速條件，通過(guò)流量調(diào)節(jié)方程與能量平衡方程，將曲線外延至S2區(qū)域；

2）結(jié)合飛逸和交點(diǎn)條件，通過(guò)力矩二次曲線模型，將曲線外延至S3區(qū)域和S5區(qū)域；

3）結(jié)合零轉(zhuǎn)速、飛逸和交點(diǎn)條件，通過(guò)三次B樣條曲線，對(duì)全區(qū)域內(nèi)已外延的開度線平滑連接；

結(jié)合零開度條件，采用三次多項(xiàng)式分片擬合的方法對(duì)已外延的開度線進(jìn)行內(nèi)插。

2.2 分區(qū)處理

2.2.1 S2區(qū)域外延

在S2區(qū)域，水輪機(jī)效率較低，內(nèi)特性模型與水體實(shí)際流動(dòng)情況存在偏差，故在S2區(qū)域的外延中只使用內(nèi)特性方程的形式，忽略部分參數(shù)的物理意義，舍棄距離S2區(qū)域較遠(yuǎn)的飛逸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，僅使用高效率區(qū)試驗(yàn)數(shù)據(jù)及零轉(zhuǎn)速條件求解。經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)與方法比選，最終僅保留原內(nèi)特性方程組中容積效率項(xiàng)a5，將其余內(nèi)特性參數(shù)替換為擬合參數(shù)，此時(shí)擬合精度較高。將式（1）簡(jiǎn)化為式（12）：

式中A1i~A4i為第i條開度線的擬合系數(shù)；A6與A7為擬合系數(shù)；a5=30ρgη0/π，η0≈0.995。

式（12）可通過(guò)最小二乘法求解。方程求解后均可整理為M11=f(Q11,n11)的形式，聯(lián)立消去M11后，可看作是以n11為參數(shù)，Q11為變量的一元三次方程，利用盛金公式[31]進(jìn)行求解。

2.2.2 基于力矩二次曲線模型的外延

基于此模型，流量特性曲線可外延至S3區(qū)域，力矩特性曲線可外延至S3與S5區(qū)域。相較于S2區(qū)域，本部分外延的不同點(diǎn)在于流量調(diào)節(jié)方程已不再滿足，需將式（12）替換為式（9）的力矩二次曲線模型，求解方法與S2區(qū)域類似。

2.2.3 力矩特性曲線段的平滑連接

除小開度區(qū)域外，各區(qū)域內(nèi)的力矩特性曲線延拓完成后，需要連接各區(qū)域的曲線段，在全區(qū)域內(nèi)使用三次B樣條曲線將力矩特性曲線段重新擬合連接。

2.2.4 特性曲線的內(nèi)插

此時(shí)，需要對(duì)飛逸工況前的流量特性曲線和全區(qū)域內(nèi)的力矩特性曲線進(jìn)行內(nèi)插?？墒褂萌味囗?xiàng)式分片插值的方式實(shí)現(xiàn)：將單位轉(zhuǎn)速和開度歸一化處理，以單位流量和單位力矩為變量，補(bǔ)充零開度條件與插值開度的零流量條件，插值計(jì)算。

2.2.5 流量特性曲線在S5區(qū)域的外延與平滑連接

S5區(qū)域偏離高效率區(qū)較遠(yuǎn)，水力性能差，每條開度線僅包含飛逸條件和零流量條件2組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)過(guò)少，很難結(jié)合理論公式外延，故結(jié)合飛逸工況前的計(jì)算結(jié)果，采用三次B樣條曲線對(duì)全區(qū)域內(nèi)的流量特性曲線擬合外延。這樣將擬合范圍從 S5區(qū)域擴(kuò)展到全區(qū)域，既通過(guò)補(bǔ)充特性曲線數(shù)據(jù)，將流量特性曲線合理外延至S5區(qū)域，又實(shí)現(xiàn)了飛逸工況前各區(qū)流量特性曲線的平滑連接。

3 實(shí)例計(jì)算

3.1 實(shí)例模型及方法

水輪機(jī)HLD563-F13模型轉(zhuǎn)輪進(jìn)口直徑0.365 m，模型幾何比尺為19.44。其模型綜合特性曲線及飛逸特性曲線由水輪機(jī)廠家開展模型試驗(yàn)得到，如圖2所示。采用Delaunay三角剖分-分片三次多項(xiàng)式插值[15]加密等效率線，共提取效率線與開度線的交點(diǎn) 215個(gè)，飛逸特性曲線數(shù)據(jù)16個(gè)，即試驗(yàn)數(shù)據(jù)共231個(gè)。按本文方法、典型外特性法[9]和內(nèi)特性法[24]對(duì)該特性曲線進(jìn)行外延內(nèi)插，并對(duì)比擬合結(jié)果以及過(guò)渡過(guò)程實(shí)測(cè)反演結(jié)果。各方法的計(jì)算流程見圖3。

3.2 內(nèi)特性方程參數(shù)辨識(shí)與邊界條件

3.2.1 內(nèi)特性方程參數(shù)辨識(shí)

內(nèi)特性參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)比見表2和表3，其中典型內(nèi)特性法未直接計(jì)算出葉片入口安放角βb1和參數(shù)a3i，可通過(guò)最小二乘法進(jìn)一步計(jì)算得到。

參數(shù)b1和b2用于計(jì)算零轉(zhuǎn)速條件，βb1用于計(jì)算零流量條件，a7用于計(jì)算零開度線和交點(diǎn)條件，其余辨識(shí)的參數(shù)只包含在簡(jiǎn)化內(nèi)特性模型中，并未參與邊界條件計(jì)算。由表2和表3對(duì)比參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可知，參數(shù)b1、b2、a3i和βb1的偏差較大，其中b1結(jié)果相差112.07 kg/m3，b2結(jié)果相差82.78 kg/m3，βb1結(jié)果相差36.45°，a3i隨著開度增加，結(jié)果偏差逐漸變小，最大偏差為5.39×105kg/m3。上述偏差較大的參數(shù)中，βb1在邊界條件計(jì)算中最為重要，對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證：以額定工況為計(jì)算工況，將相關(guān)參數(shù)代入式（11）：額定開度αr=34.74°，額定轉(zhuǎn)速nr=100 r/min，額定水頭Hr=80 m，原型轉(zhuǎn)輪進(jìn)口直徑D1=7.1 m，假定水輪機(jī)導(dǎo)葉為標(biāo)準(zhǔn)化導(dǎo)葉，取D0/D1=1/1.1，可近似計(jì)算得β1=60.12°，即βb1的合理取值范圍為 50.12°～57.12°。由此可知本文方法的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果精確性更高。

表2 不同方法下部分水輪機(jī)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)比Table 2 Identification results and comparison of turbine characteristic parameters by different methods

表3 不同開度及方法的參數(shù)a3i辨識(shí)結(jié)果及對(duì)比Table 3 Identification results and comparison of a3i in different GVO by different methods(×105kg·m-3)

3.2.2 邊界條件

根據(jù)對(duì)應(yīng)公式和參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果，取流量系數(shù)為0.9，在滿足零流量時(shí)的單位轉(zhuǎn)速略大于飛逸時(shí)的單位轉(zhuǎn)速前提下，近似取修正系數(shù)為0.3，各開度的零轉(zhuǎn)速和零流量時(shí)單位參數(shù)計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 零轉(zhuǎn)速條件和零流量條件下單位參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 4 Results of unit parameters in zero discharge and zero speed conditions

對(duì)于飛逸條件：補(bǔ)充零開度的飛逸數(shù)據(jù)后，代入外特性試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)式（7）進(jìn)行擬合，沿開度方向擴(kuò)展的結(jié)果如圖4所示，兩曲線的擬合決定系數(shù)均為0.9997，擬合精度高，擴(kuò)展結(jié)果可靠。

對(duì)于零開度條件：代入?yún)?shù)辨識(shí)的結(jié)果a7=?0.04 kg/m3，可得零開度時(shí)的流量特性曲線為Q11|α=0=0,力矩特性曲線為M11|α=0=?0.04n112；對(duì)于交點(diǎn)條件，代入模型綜合特性曲線和飛逸特性曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)后，根據(jù)式（9），采用最小二乘法求解，可得交點(diǎn)條件(n11p，a7n11p2)結(jié)果為（175.31, ?1215.13）。

3.3 水輪機(jī)特性曲線外延內(nèi)插結(jié)果

水輪機(jī)廠家提供了從開度10°開始，每隔2°，直到最大開度40°，共16條開度線的外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖5a與圖5b為此16條開度線外延的結(jié)果；圖5c與圖5d為從0°起，每隔1°，直到最大開度40°的開度線內(nèi)插結(jié)果，其中開度線均從下至上依此增大。

特性曲線外延內(nèi)插結(jié)果中開度線間均無(wú)交叉，同一開度線在分區(qū)邊界位置未出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象；且在邊界條件與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的共同約束下，擬合精度較高，各區(qū)特性曲線演化規(guī)律能較好反映水輪機(jī)過(guò)流特性[32-33]：在低轉(zhuǎn)速區(qū)域，單位流量較為平穩(wěn)，單位轉(zhuǎn)速對(duì)單位流量的影響不大，單位流量主要由導(dǎo)葉開度決定，進(jìn)入中高轉(zhuǎn)速區(qū)域后，開度線開始有下降趨勢(shì)；在制動(dòng)工況區(qū)域，各條開度線上的單位流量隨著單位轉(zhuǎn)速的增加而逐漸靠近，然后急劇降低，通過(guò)零流量邊界后改變符號(hào)。

將3種方法對(duì)特性曲線的處理結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由于經(jīng)內(nèi)插處理的開度線排列過(guò)于緊密，不便對(duì)比，僅節(jié)選開度為 2°、6°、10°、16°、22°、28°、34°和 40°的特性曲線對(duì)比,其中10°～40°的開度線為外延結(jié)果，有試驗(yàn)數(shù)據(jù)；2°和6°的開度線為內(nèi)插結(jié)果，無(wú)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)見圖5a與5b。試驗(yàn)數(shù)據(jù)處的擬合決定系數(shù)為見表5。各方法在零轉(zhuǎn)速和飛逸條件處計(jì)算的單位流量與單位力矩的誤差對(duì)比如圖6所示，其中零轉(zhuǎn)速條件參考值由式（2）與（3）確定，飛逸條件參考值由式（7）確定，對(duì)比表明：

表5 單位流量與單位力矩試驗(yàn)數(shù)據(jù)處的決定系數(shù)Table 5 Determination coefficient of unit discharge and unit torque in experimental data

1）在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處，本文方法既考慮了內(nèi)特性模型，又有效提升了擬合精度：與典型內(nèi)特性法相比，在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處單位流量擬合決定系數(shù)提高了2.69%，單位力矩?cái)M合決定系數(shù)提高了11.02%。

2）本文方法考慮了零轉(zhuǎn)速條件，有效降低了零轉(zhuǎn)速處的誤差：相對(duì)于典型內(nèi)特性法和典型外特性法，本文方法在零轉(zhuǎn)速條件處單位流量的平均誤差分別降低0.12、0.09 m3/s，在零轉(zhuǎn)速條件處單位力矩的平均誤差分別降低192.44、215.94 N·m；

3）通過(guò)分析制動(dòng)工況區(qū)域的特點(diǎn)和外特性法計(jì)算方法可知，典型外特性法單位力矩的飛逸位置與交點(diǎn)位置單位轉(zhuǎn)速明顯偏高，而典型內(nèi)特性法未計(jì)算到飛逸位置與交點(diǎn)條件；與典型外特性法相比，本文方法在大開度飛逸條件處單位力矩的平均誤差降低89.68 N·m；

綜上分析，本文方法綜合考慮多重邊界條件、外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)、簡(jiǎn)化內(nèi)特性模型，采取分區(qū)處理方法實(shí)現(xiàn)，優(yōu)勢(shì)顯著。

3.4 過(guò)渡過(guò)程試驗(yàn)反演

針對(duì)某電站實(shí)際情況，采用本文方法與典型外特性法計(jì)算的特性曲線進(jìn)行過(guò)渡過(guò)程試驗(yàn)反演與對(duì)比，典型內(nèi)特性法延拓范圍不足，較難滿足過(guò)渡過(guò)程仿真計(jì)算要求，故未比較。電站為“單管單機(jī)”引水布置，引水發(fā)電系統(tǒng)管道總長(zhǎng) 1 087.7 m，水輪機(jī)組飛輪力矩為127 500 t·m2，工作水頭為77 m，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪進(jìn)口直徑為7.1 m，額定出力為367 MW，額定轉(zhuǎn)速100 r/min，甩50%負(fù)荷過(guò)渡過(guò)程，比較 2種特性曲線計(jì)算過(guò)渡過(guò)程的蝸殼壓力，其時(shí)域變化過(guò)程及 60～70 s內(nèi)的精度分析與對(duì)比如圖7所示。兩種方法計(jì)算的蝸殼壓力變化趨勢(shì)與實(shí)測(cè)值基本一致；實(shí)測(cè)結(jié)果最大蝸殼壓力為1.182 MPa，本文方法計(jì)算結(jié)果為1.202 MPa，與實(shí)測(cè)結(jié)果基本吻合；典型外特性法為 1.206 MPa；最大蝸殼壓力最大誤差從0.024 MPa降低至0.020 MPa，相對(duì)誤差從2.03%降低至1.69%；隨導(dǎo)葉關(guān)閉，水輪機(jī)進(jìn)入小開度工況區(qū)域，61.4 s時(shí)，導(dǎo)葉完全關(guān)死，產(chǎn)生較大水擊壓強(qiáng)，蝸殼壓力振蕩明顯。在此振蕩區(qū)域內(nèi)，本文方法計(jì)算結(jié)果振蕩幅值更接近實(shí)測(cè)結(jié)果，反演效果更佳：其絕對(duì)平均誤差為0.010 MPa，典型外特性法絕對(duì)平均誤差為 0.023 MPa，降低0.013 MPa，相對(duì)誤差從3.48%降低至1.47%。

綜上分析，本研究提出的特性曲線處理方法在過(guò)渡過(guò)程試驗(yàn)反演的最大蝸殼壓力及小開度區(qū)域動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)域響應(yīng)均更加貼近實(shí)測(cè)結(jié)果。

4 結(jié) 論

本研究綜合考慮多重邊界條件、外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)與內(nèi)特性模型，提出了一種特性曲線分區(qū)處理方法。該方法有效結(jié)合了內(nèi)外特性的優(yōu)點(diǎn)，既保證了外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)處的擬合效果，又能反映水輪機(jī)的水力特性。

特性曲線計(jì)算結(jié)果相比典型外特性法，本文結(jié)果在飛逸條件處的單位力矩平均誤差降低89.68 N·m，有效提升制動(dòng)工況區(qū)域擬合精度；相比典型內(nèi)特性法，在外特性試驗(yàn)數(shù)據(jù)處的單位流量擬合決定系數(shù)提高了2.69%，單位力矩?cái)M合決定系數(shù)提高了11.02%。，并可延拓特性曲線至制動(dòng)工況區(qū)域。工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，本文方法與典型外特性法相比，蝸殼壓力極值最大誤差從2.03%降低至1.69%，小開度區(qū)域蝸殼壓力反演相對(duì)誤差從3.48%降低至1.47%，動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)域響應(yīng)更接近實(shí)測(cè)結(jié)果。