重慶市忠縣中學(xué)校 (404300) 張 侶

題目(2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷第19題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析：第(1)問(wèn)利用正弦定理很容易獲證.針對(duì)第二問(wèn)，題目中尚未給出各邊長(zhǎng)的具體數(shù)據(jù)，只根據(jù)長(zhǎng)度比值來(lái)求角的余弦值.由于學(xué)生習(xí)慣了問(wèn)題給出具體數(shù)據(jù)求值，這不免會(huì)給學(xué)生帶來(lái)一定計(jì)算困難，存在思維上的障礙.在此，本文對(duì)第二問(wèn)從不同角度出發(fā)，獲得了a與c的其中一個(gè)關(guān)系，進(jìn)而得到了幾種不同的解法.

圖1

圖2

根據(jù)以上解法過(guò)程可知，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從多角度、多途徑去尋找解決問(wèn)題的不同方法，可以開拓解題思維，也充分挖掘了該題的價(jià)值所在，同時(shí)也融合眾多相關(guān)的知識(shí)與能力，真正達(dá)到思維的發(fā)散性和創(chuàng)新型，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).