湖南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 (410082) 王少波 舒小保

極點(diǎn)極線的理論在《高等幾何》[1]中有詳細(xì)的介紹，高中很多圓錐曲線的相關(guān)結(jié)論(如定點(diǎn)、定值、斜率與角度等)在各類試題中多有體現(xiàn).師生掌握一些極點(diǎn)極線的相關(guān)知識(shí)，將對(duì)試題的命制和解答大有幫助，本文例析一組?？碱}，供同仁參考.

1.極點(diǎn)極線的背景知識(shí)

圖1

(1)幾何定義：如圖1，過圓錐曲線外的一點(diǎn)P作兩條直線交圓錐曲線于點(diǎn)A,B和C,D，連接BC和AD交于點(diǎn)O，AC和BD交于點(diǎn)F，連接FO交圓錐曲線于點(diǎn)N,M，則直線FO是點(diǎn)P的極線，點(diǎn)P是直線FO的極點(diǎn)，此時(shí)PM,PN恰好是圓錐曲線的兩條切線.事實(shí)上，F(xiàn)O是點(diǎn)P關(guān)于橢圓的切點(diǎn)弦，P,F,O構(gòu)成自極三點(diǎn)形，點(diǎn)F的極線是PO，點(diǎn)O的極線是PF.

圖2

2.模擬題求解及評(píng)析

例1 (2021浙江強(qiáng)基聯(lián)盟二模)已知F(0,1)且滿足|PF|=x+1的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為C．

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)T(-1,0)的斜率大于零的直線與曲線C交于D，M兩點(diǎn)，已知Q(1,-1)，直線DQ交曲線C于另外一點(diǎn)N，證明直線MN過定點(diǎn)．

圖3

評(píng)析：本題的命題思路來自于極點(diǎn)極線的幾何定義，特別是自極三點(diǎn)形的應(yīng)用.本題還可以如下改編：連接MQ交曲線C于點(diǎn)G，試證明DG與MN交于一定點(diǎn).

例2 (2021武漢模擬)已知拋物線C:x2=2y，設(shè)P為直線l:y=x-1上一點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.

(1)證明：動(dòng)直線AB恒過定點(diǎn)Q；

圖4

評(píng)析：本題涉及的極點(diǎn)極線背景知識(shí)有兩個(gè)，一個(gè)是配極原則，一個(gè)是極點(diǎn)極線的代數(shù)定義.由上述解題過程可以看出，用極點(diǎn)極線知識(shí)解題更簡潔，更容易高屋建瓴地看透問題的本質(zhì).

(2)設(shè)c=1，過定點(diǎn)(0,c)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得y軸始終平分∠MQN？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(2)如圖5，若c=1，則定點(diǎn)為P(0,1),點(diǎn)P的極線y=3交y軸(對(duì)稱軸)于點(diǎn)Q(0,3)，則有P、Q在y軸(對(duì)稱軸)上且關(guān)于橢圓調(diào)和共軛，由極點(diǎn)極線的性質(zhì)可知∠MQP=∠NQP,因此y軸始終平分∠MQN.

圖5 圖6 圖7

評(píng)析：本題應(yīng)用的是極點(diǎn)極線的如下性質(zhì)[2]：圓錐曲線對(duì)稱軸上的兩點(diǎn)P、Q關(guān)于圓錐曲線成調(diào)和共軛,如圖6、圖7，過點(diǎn)P(或點(diǎn)Q)的直線交圓錐曲線于點(diǎn)M、N，則直線QM、QN(或直線PM、PN)與對(duì)稱軸所成的夾角相等.此性質(zhì)的逆命題也成立.

(1)求橢圓的方程；

圖8 圖9

3.結(jié)語

以極點(diǎn)極線為背景的各類模擬題還有很多，在往年的高考題中也多有出現(xiàn)，以上評(píng)析了幾個(gè)常用的極點(diǎn)極線性質(zhì)的例題，以期能夠起到拋磚引玉的作用，幫助教師與學(xué)生拓寬思維，對(duì)圓錐曲線的解題有所幫助.