郝瑞亞

【摘 要】圖像表征能夠在數(shù)學課堂上化抽象為形象、直觀，展現(xiàn)學生的思維過程。教師在教學中，要積極發(fā)現(xiàn)學生的圖像學習斷層，依據(jù)學生年齡特點，發(fā)展不同畫圖、識圖技能，利用圖像表征幫助學生明晰算理，整合知識，拔節(jié)思維，最終實現(xiàn)學生學習力的提升。

【關鍵詞】圖像表征 學習力 第二學段

圖像表征起源于科學研究領域，意指運用簡單的圖示或圖像來表達信息、解決問題，是理解數(shù)學的有效渠道。近年來，越來越多的學者意識到圖像表征在學生數(shù)學學習中的積極意義，并在教學中不斷進行嘗試。在數(shù)學學習中，圖像表征能夠幫助學生更輕松理解數(shù)學概念，明晰算理，尤其在第二學段，解題流程圖的引入能夠降低學生思維難度，清晰解題流程，在復習階段利用思維導圖能夠將零散的知識結構化，強化學生對于知識的理解和掌握。

一、圖像表征教學的學段特征

數(shù)學新課標將小學階段分為第一學段（1～3年級）與第二學段（4～6年級），并且對不同學段學生的圖像表征能力的要求各不相同，第一學段要求學生“掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能”，第二學段要求學生“探索圖形的形狀、大小和位置關系，掌握測量、識圖、畫圖的基本方法”。這主要與不同學段學生的年齡特點以及認知發(fā)展規(guī)律有關。第二學段，學生具備了一定的抽象思維能力，教師的教學重點轉為引導學生由實物圖向條形圖、線段圖、立體圖、解題流程圖等過渡，通過圖像體現(xiàn)條件、問題以及基本的數(shù)量關系，建立一定的解決問題、分析問題的能力。在這一階段，學生的思維跨度明顯增大，圖像的優(yōu)越性也就越發(fā)明顯，教師一方面要加強線段圖、條形圖、立體圖形的繪制教學;另一方面也要基于圖像表征引導學生在題組模塊中進行建模，促進學生的深度學習。下面筆者主要以第二學段學生圖像表征的教學實踐為例進行闡述。

二、善用圖像表征提升學生學習力的教學策略

在第二學段的學習中，數(shù)學知識的思維性逐漸增強，加之題目的條件增多，思維難度越來越大，尤其在六年級學習立體圖形之后，學生的認知要由二維向三維轉化，圖像表征教學的作用更加明顯。以下是筆者在第二學段的教學中所進行的教學實踐。

1.聚焦學習需求，填補圖像教學空白

1～5年級，學生逐步學習了各種平面圖形，如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形以及圓的特征與畫法，在六年級的學習中，學生第一次接觸立體圖形長方體、正方體以及圓柱與圓錐。一方面，由二維到三維的思維跨度極大，增加了學生理解的難度;另一方面，這部分內(nèi)容中的習題復雜多變，對學生的抽象思維能力要求較高。借助圖形能夠化抽象為形象，降低學生的理解難度。但是立體圖形的畫法在書上并沒有專門介紹，因此，教師需要關注到這部分圖像教學的空白，及時添加專門的畫圖訓練課，來填補畫圖斷層。

筆者進行了這樣的嘗試：在六年級上冊學習長方體與正方體的特征之后，專門增加了一節(jié)畫圖課，主要教學長方體、正方體的畫法，結合習題分析，增加長方體或正方體兩兩合并之后的圖形教學。在教學長方體與正方體的畫法時，引導學生遵循“斜二側畫法”，先畫正面的長方形，再將上面與右面畫成平行四邊形，最后利用虛線將看不到的部分補全（見圖1）。在學生熟練掌握長方體、正方體的畫法后，進一步教學將兩個長方體拼在一起的三種不同圖形（見圖2）。學生畫圖的過程，同時也是對長方體特征內(nèi)化鞏固的過程，另外兩個圖形結合在一起，學生能夠直觀地感受到少了兩個重合的面，在做相應題目時思維會更加清晰。

2.圖像對比教學，算理越辯越明

圖像表征能夠清晰地將學生的思路呈現(xiàn)出來，教師能夠及時發(fā)現(xiàn)學生的思維誤區(qū)，從而有針對性地進行教學。另外，在計算教學中，適當借助數(shù)形結合，可以讓算理更加清晰，結果的得出更具說服力。

在蘇教版數(shù)學六年級上冊學習“分數(shù)除法”的內(nèi)容時，有這樣一道例題（見圖3）：

在教學時，學生主要有兩種答案：一種是認為只能剪2段，一種認為可以剪6段。教師要求學生將自己的思路畫出來之后初見端倪。原來學生的思維誤區(qū)出現(xiàn)在對“米”的認知不夠清楚，一部分學生錯誤理解為米是總長4米的，導致畫圖出現(xiàn)錯誤。明白了學生的錯誤原因之后，筆者繼續(xù)“以圖辯理”，引導學生討論發(fā)現(xiàn)錯誤思路中的米比1米還長，最終發(fā)現(xiàn)應該先畫1米，再找到1米的。通過這樣的圖形辨析，學生不僅牢牢掌握了分數(shù)除法的計算方法，更明晰了與米的區(qū)別。

3.巧搭復習框架，提升知識整合

學生對于知識的學習是碎片化且以線性的方式進行的，一單元學習之后，教師需要有意識地引導學生整合所學知識，將點狀化的知識連成面、結成網(wǎng)，加深學生對知識的理解，提升融會貫通能力。

復習課中最常見的圖像框架莫過于思維導圖，學生通過知識導圖的建構，將一個單元的知識點連接成知識串，知識之間的聯(lián)系一目了然。如在五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”這一單元教學結束后，筆者引導學生回顧本單元的知識，并將之繪制成知識框架圖。

除了以上提到的單元知識橫向構建外，教師還應該有意識地引導學生對于不同年級的關聯(lián)內(nèi)容縱向整理，站在學科的角度來看待在小學階段學習的某一類知識，從而能夠更加系統(tǒng)、全面地理解知識的發(fā)展進程。如小學階段有關分數(shù)的知識一共出現(xiàn)在三冊教材當中，在三年級上冊學生初步認識了分數(shù)，是在一個物體中建立“幾分之一”的意義，在三年級下冊的學習中，分數(shù)的意義被拓寬在一個物體、一個計量單位以及多個物體組成的整體中，在五年級下冊再次學到分數(shù)時給出了單位“1”的定義，概念更具抽象性。除此之外，分數(shù)與以前學習的整數(shù)的除法關系緊密，被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母，而在六年級上冊學習“比和比例”時，再次將除法算式、分數(shù)以及比的概念聯(lián)系起來。因此，在學習“比”的知識之后，教師可以引導學生對三個概念的發(fā)展及聯(lián)系進行縱向整理，形成知識發(fā)展框架圖。

4.外顯解題流程，見證思維拔節(jié)

學生在面對一些難度較高的題目時，常常會覺得無從下手而放棄思考，形成思維惰性，教師可以在平時的教學中有意識地引導學生繪制解題流程圖，搭建解題腳手架，化繁為簡、層層突破，降低思維難度，緩解學生的畏難情緒。

在六年級下冊學習圓柱與圓錐的知識時，學生感覺圓柱與圓錐的體積關系理解起來較為抽象，尤其是碰到變形題時，更加無從下手，且課本上學習的原始體積對比圖在變形題中難以起到真正的思維支撐作用。于是筆者帶領學生對原始圖形進行了一定的改進（見圖4）。改進之后，學生能夠直觀看到在體積相等、底面積相等時高的情況。蘇教版數(shù)學六年級下冊有這樣一道題：一個圓錐和一個圓柱底面積相等，體積的比是1∶6，如果圓錐的高是4.2厘米，圓柱的高是多少厘米？學生利用改進之后的圖為腳手架，解題思路較為清晰，學生將等底等體積的圓柱一次次疊加之后，可以直觀地看出最終圓柱的高是圓錐高的2倍。

圖像表征能夠將抽象的數(shù)學知識更加形象、直觀化，教師在教學中要善于發(fā)現(xiàn)學生圖像學習的斷層，積極研發(fā)圖像繪制課填補空白，引導學生利用圖像來表達對條件以及問題的理解，多方位培養(yǎng)學生讀圖、畫圖以及利用圖像解決問題的能力。通過圖像表征在抽象的數(shù)學中搭建直觀與理解的橋梁，使學生的學習力真正得到了提升。

注：本文為南京市教育科學“十三五”規(guī)劃課題“圖像表征支持兒童數(shù)學學習的實踐研究”（項目編號：L/2018/246）的研究成果之一。