馬 晶， 亢 戰(zhàn)

(大連理工大學(xué) 工程裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

連續(xù)體拓撲優(yōu)化研究可追溯到Cheng等[1]關(guān)于實心彈性薄板剛度最大化設(shè)計這一近代布局優(yōu)化的先驅(qū)性工作。目前，拓撲優(yōu)化已發(fā)展成為眾多工程設(shè)計領(lǐng)域支撐結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)之一[2,3]。但是，不同制造工藝的約束建模，仍是拓撲優(yōu)化方法研究關(guān)注的一個重要方向。鑄造工藝廣泛應(yīng)用在汽車機械、航天航空和土木工程等領(lǐng)域的金屬結(jié)構(gòu)及零件制備中。不同類型的鑄造(金屬鑄造、砂型鑄造和熔模鑄造等)對鑄件拓撲和形狀設(shè)計提出了不同的限制。本文僅考慮永久性鑄模的工藝約束，要求在凝固后鑄模應(yīng)可拆卸,而不會損壞鑄件或模具[4]。在不使用型芯的情況下，鑄件滿足一定的幾何特征才能避免脫模時鑄件卡住模具。鑄件的這種可成型條件稱為鑄造約束。

鑄造約束要求鑄件具有兩個特征(圖1)，一為單連通性，即無內(nèi)部孔洞(internal cavity)；二為可脫模，即無側(cè)凹(undercut)。

圖1 鑄件脫模

為了將拓撲優(yōu)化應(yīng)用在鑄件設(shè)計中，學(xué)者們針對不同的優(yōu)化方法提出了多種處理方式，主要分為基于單元密度的方法、基于方向矢量點積的方法和基于標(biāo)量場的方法三類。

基于單元密度的方法是最早提出的鑄件拓撲優(yōu)化方法，其直接對設(shè)計結(jié)構(gòu)的單元密度進行約束。Zhou等[5]最早提出，通過約束單元密度在脫模方向上單調(diào)減小可以抑制內(nèi)部孔洞和側(cè)凹。Harzheim等[6]將該思路應(yīng)用于基于模擬生物生長規(guī)則的密度法，通過限制單元由外向內(nèi)生長以及僅允許在生長方向上增減單元等，得到了可鑄造的優(yōu)化解。這種單元密度約束方法還擴展到了多個任意生長方向[7]，并且運用到動力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化中[8]。Gersborg等[9]將每排單元的密度轉(zhuǎn)化為控制實體和空隙界面位置的單個設(shè)計變量。類似地，映射方法(Projection schemes)利用給定的映射函數(shù)控制設(shè)計的幾何特性。Guest等[10]將鑄造視作銑削的逆過程，給出了一種類似銑削頭形狀的映射函數(shù)，同時實現(xiàn)尺寸控制和鑄件優(yōu)化。Vatanabe等[11]利用映射方法實現(xiàn)了鑄造、鍛造和冷軋等多種工藝約束下的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。

水平集模型能更清晰描述結(jié)構(gòu)邊界，可用來定義鑄造約束。Xia等[12]最早提出，從可行解出發(fā)，約束水平集演進速度方向為分型方向，可以得到可鑄造的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，隨后又將分型方向作為設(shè)計變量[13]。Allaire等[14]認為該約束是過度約束，并提出了一種新的點約束形式，限制從邊界點出發(fā)沿著分型方向的線與結(jié)構(gòu)相交。Wang等[15]提出了一種積分形式的約束，即要求脫模方向與水平集梯度方向單位矢量的點積在水平集與其偏置形成的窄帶上的積分小于0。Qian[16]采用類似思路，在密度優(yōu)化法框架下通過約束密度場梯度和指定方向矢量的點積的積分實現(xiàn)了懸垂角和側(cè)凹的控制。

第三類方法通過引入虛擬物理場對鑄造約束進行描述。Liu等[17]提出了虛擬溫度場法(VTM)，將孔洞設(shè)為自發(fā)熱高導(dǎo)熱材料，通過設(shè)計域的溫度識別增材制造結(jié)構(gòu)的封閉孔，并在后續(xù)工作中通過約束人為設(shè)定的最高溫度實現(xiàn)脫模約束[4]。受此啟發(fā)，Wang等[18]提出了基于靜電場的鑄造約束方法，同時實現(xiàn)了分型面的控制。在這兩種基于標(biāo)量場的方法中，無論是溫度場還是靜電場分析都需要求解與位移場分析不同的偏微分方程。

本文提出一種基于附加重力場的鑄造約束方法，利用逆結(jié)構(gòu)的柔順性函數(shù)，將內(nèi)孔及側(cè)凹抑制表達為柔順性這一積分量的約束，從而實現(xiàn)鑄件的拓撲優(yōu)化。該方法的優(yōu)點是，只需基于位移場的解構(gòu)造單個鑄造約束，并且無需計算鑄件邊界法向方向，便于數(shù)值實現(xiàn)。

2 附加重力場方法

圖2 優(yōu)化結(jié)構(gòu)及其逆結(jié)構(gòu)

附加重力場方法是利用逆結(jié)構(gòu)的力學(xué)解對優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可鑄造性進行量化，逆結(jié)構(gòu)與待優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移場是獨立求解的。逆結(jié)構(gòu)的部分邊界固定，承受由其相對密度決定的附加重力載荷。逆結(jié)構(gòu)可以類比于模具，而附加重力場方法會使逆結(jié)構(gòu)中不可脫模的部分產(chǎn)生較大的變形。固定邊界和重力載荷方向由預(yù)定的分型方向決定，其中分型(脫模)方向即模具移除的方向；固定的邊界可以承受載荷，即模具可以沿著該邊界垂直向外移除。如 圖2 所示，以上下分型設(shè)計為例，對上下邊界進行固定，并施加豎直向下的重力載荷。同理，若希望鑄件左右分型，則固定左右邊界并施加橫向的重力載荷。

需要指出的是，本文沒有指定分型面，只給定了分型方向，且要求分型方向與設(shè)計域邊界垂直。以圖2(b)的逆結(jié)構(gòu)為例，左上角部分可以向上或者向左脫模，但是內(nèi)部孔洞和右下角的部分在上下和左右方向都不可脫模。當(dāng)設(shè)定單個脫模方向的時候，與其固定邊界相對的邊界就是分型面(可參見4.2節(jié))；當(dāng)設(shè)定多個脫模方向時，優(yōu)化結(jié)果的分型面不一定是平面。

2.1 無內(nèi)孔約束

圖3 含內(nèi)孔鑄件及其逆結(jié)構(gòu)

2.2 無側(cè)凹約束

如圖4所示，類比VTM[4]，本文引入?yún)?shù)α<1，令逆結(jié)構(gòu)的材料剪切模量G*=αG0，G0為各向同性材料的剪切模量。

圖4 有側(cè)凹的鑄件及其逆結(jié)構(gòu)

3 鑄件拓撲優(yōu)化

3.1 材料插值

(1)

式中Emin和E0分別為弱材料和結(jié)構(gòu)材料的楊氏模量,q為懲罰因子，本文取為3。

3.2 優(yōu)化列式

本文以最小化結(jié)構(gòu)柔順性為目標(biāo)，對鑄件進行拓撲優(yōu)化。考慮的拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下，

(2)

結(jié)構(gòu)的剛度陣、逆結(jié)構(gòu)的剛度陣和載荷向量分別為

(3)

為了避免棋盤格并減少灰度單元，得到清晰的拓撲結(jié)果，本文采用密度過濾以及保體積的 Hea-viside過濾[21]。密度過濾表達式為

(4)

其中權(quán)重w(xi)=R-‖xi-xe‖，R為過濾半徑，Ne={i|‖xi-xe‖≤R}為以單元e為中心的過濾半徑內(nèi)包含的單元。

物理密度表達為

3.3 靈敏度分析

采用伴隨法可得到柔順性對于設(shè)計變量的靈敏度

(5)

經(jīng)過類似的推導(dǎo)可以得到鑄造約束的靈敏度,

(6)

4 數(shù)值算例

4.1 二維結(jié)構(gòu)算例

4.1.1 平面梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

圖5給出了左角點受力的某平面梁結(jié)構(gòu)。

圖5 平面梁結(jié)構(gòu)

表1 不同約束下的平面梁優(yōu)化結(jié)構(gòu)

Tab.1 Optimal structures of planar beam

under different constraints

Case 1Case 2Case 3Case 4Topology designCompliance78.84130.77168.70108.21NotesWithout casting constraintα=1,f?yα=0.1,f?yα=1,f?x

圖6給出了Case 2結(jié)構(gòu)優(yōu)化的迭代歷史，Heaviside過濾的斜率β增加時，目標(biāo)和約束值會出現(xiàn)突變，隨著結(jié)構(gòu)逐漸清晰，迭代趨于穩(wěn)定。考慮鑄造約束的三種結(jié)果都滿足約束，但結(jié)構(gòu)柔順性有明顯差異。引入了弱剪切條件之后，逆結(jié)構(gòu)中與左邊界相連的部分(圖6(b))明顯減小。這是由于逆結(jié)構(gòu)中該部分弱剪切材料受到向下的重力會產(chǎn)生較大的剪切變形，而與上下邊界相連的部分不會受此影響。

圖6 平面梁結(jié)構(gòu)Case 2的優(yōu)化迭代歷史

表2 三種構(gòu)型的逆結(jié)構(gòu)在不同的載荷和剪切模量下的柔順性

Tab.2 Compliance of the inverse structures with different loads and shear moduli

4.1.2 四角簡支板的優(yōu)化

圖7 四角簡支板結(jié)構(gòu)

分別給定上下左右四個方向和僅上下方向脫模的邊界條件，得到了圖8兩個優(yōu)化結(jié)果，都符合給定的脫模條件。

圖8 不同脫模條件的優(yōu)化結(jié)果

4.2 三維結(jié)構(gòu)算例

本文在Comsol 5.6實現(xiàn)了三維算例的優(yōu)化。圖9給出了某四點簡支三維結(jié)構(gòu)，上表面中心點受集中載荷F=1，結(jié)構(gòu)離散為500個邊長為0.4的正六面體常應(yīng)變單元。

圖9 三維結(jié)構(gòu)

在無鑄造約束時最小化結(jié)構(gòu)的柔順性，得到 圖10 的優(yōu)化結(jié)果，從沿x方向的截面圖10(c)以及側(cè)視圖10(b)可以看出，在結(jié)構(gòu)的中心部分存在不完全封閉的孔洞，不滿足可分型條件。

圖10 無鑄造約束的優(yōu)化結(jié)果

采用本文方法，分別設(shè)置只能向上脫模和上下方向皆可脫模的邊界條件，分別得到圖11和圖12的優(yōu)化解。這兩個優(yōu)化結(jié)構(gòu)沒有內(nèi)孔和脫模方向上的側(cè)凹，因此滿足可鑄造約束。

圖11 向上脫模的優(yōu)化鑄件結(jié)構(gòu)(顯示密度閾值為0.7)

圖12 上下方向皆可脫模的優(yōu)化鑄件結(jié)構(gòu)(顯示密度閾值為0.7)

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于逆結(jié)構(gòu)概念和附加重力場的鑄造約束方法。該方法對優(yōu)化解的逆結(jié)構(gòu)(可以看作是模具)施加重力，僅引入單個約束限制逆結(jié)構(gòu)的最大柔順性，即可實現(xiàn)對優(yōu)化解中內(nèi)孔和側(cè)凹特征的抑制。二維和三維算例驗證了方法的有效性。該約束作為一個獨立約束，還適用于多種目標(biāo)性能的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題。

與已有的虛擬標(biāo)量場鑄造約束方法相比，本文方法不是對設(shè)計域內(nèi)響應(yīng)的最大值進行約束，而是對積分型表達式(逆結(jié)構(gòu)的柔順性)進行約束。因此，該方法有利于優(yōu)化求解過程的穩(wěn)定收斂。

實際工程的鑄件優(yōu)化設(shè)計問題更為復(fù)雜。一方面，除了鑄件本身，模具、型芯和澆鑄凝固系統(tǒng)的設(shè)計也需要優(yōu)化；另一方面，鑄造工藝在持續(xù)發(fā)展，如結(jié)合3D打印技術(shù)的砂模鑄造(3DSP[24])降低了對鑄件的工藝約束要求，引入型芯也能提高鑄件的復(fù)雜度。這些都為拓撲優(yōu)化真正與鑄造這一傳統(tǒng)工藝緊密結(jié)合提出了新的問題。將本文方法拓展用于復(fù)雜鑄件分型面和分型方向的優(yōu)化，將是一個有意義的研究方向。

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