梁軍麗,胡元發(fā),劉小洋,嚴浩遠

(江蘇師范大學 計算機科學與技術學院,江蘇 徐州 221116)

人工神經網絡是在對生物神經網絡充分理解的基礎之上模仿其結構與功能的一種計算模型。由于神經網絡同時具有容錯性、聯(lián)想記憶和高效尋找最優(yōu)解等功能,可以用來解決一些復雜的非線性問題,實現(xiàn)高效的快速運算[1]。近幾十年來,神經網絡已經在控制系統(tǒng)、信號分析與處理、交通安全和模式識別等眾多領域取得了突破性的進展[2]。

隨著研究的不斷深入,耦合神經網絡的同步問題引起了人們的研究興趣。越來越多的網絡同步概念被相繼提出,如擬同步、完全同步、廣義同步、指數(shù)同步、有限時間同步、固定時間同步以及簇同步等[3-6]。這些研究工作都在一定程度上推動了耦合神經網絡在多個實際領域中的廣泛應用。大多數(shù)耦合網絡同步問題的研究往往基于網絡結構保持不變的假設。事實上,在實際生活中,大多數(shù)網絡結構都是實時變化的。各類網絡不可避免地要在不同拓撲之間進行切換。近年來,研究人員將切換信號引入了耦合網絡中,將不同信號下的神經網絡看作切換系統(tǒng)的1個子系統(tǒng)。切換信號一般可為分段常值函數(shù),不同的函數(shù)值分別代表1個子系統(tǒng),該函數(shù)值將決定系統(tǒng)在某一時刻切換到哪個子系統(tǒng)。與耦合神經網絡相比,切換耦合神經網絡通過切換信號實現(xiàn)了對時變耦合網絡的描述,具有更一般的實際意義[7,8],其應用領域包括通信控制、汽車行業(yè)、交通安全、電力系統(tǒng)等[9]。

在已有的研究中,許多研究成果均基于網絡節(jié)點之間是合作關系這一假設進行討論。事實上在實際應用中,節(jié)點之間不僅存在合作關系,還有可能存在競爭關系,如社會關系網、經濟網絡等[10]。此時,網絡的同步問題轉化為二分同步問題。與同步目標僅為單一值的完全同步相比,二分同步所考慮的問題為網絡節(jié)點之間同時存在正向交互和負向交互,且網絡同步目標變?yōu)榻^對值相同但符號不同的1對數(shù)值[11]。另一方面,由于具有非連續(xù)激活函數(shù)的神經網絡在工程應用中的廣泛應用,2003年Forti等[12]提出了Filippov意義下非連續(xù)神經網絡的全局收斂性,掀起了人們對具有非連續(xù)激活函數(shù)神經網絡同步問題的研究熱潮[13]。除此之外,眾多研究耦合神經網絡同步的結果對同步速度的刻畫往往是漸進的,即只有當時間趨于無窮的時候,網絡才能實現(xiàn)同步。但是在實際工程應用中,對于耦合網絡究竟能夠在多長時間內可以實現(xiàn)同步的問題的研究更加具有現(xiàn)實意義。隨著研究的不斷深入,人們逐步提出了有限時間同步、固定時間同步等概念[14,15]。這些概念有效地避免了漸進同步在收斂速度上的局限性,對實際應用具有一定的指導意義[16]。

本文主要對具有符號圖的切換耦合神經網絡的有限時間同步問題進行研究。針對網絡拓撲為結構平衡和結構非平衡的2種情形,分別討論具有非連續(xù)激活函數(shù)的耦合神經網絡的有限時間二分同步問題。

1 網絡模型與預備知識

1.1 圖論

定義G={V,E,A}為N階的無向圖,其中V={v1,v2…,vN}表示節(jié)點集,邊集E?V×V,圖G的鄰接矩陣表示為A=[aij],i,j∈N′={1,2,…,N}。本文主要考慮簡單圖,即對于任意i∈N′,均有aii=0,且aij=aji。若aij≠0,則表明節(jié)點i到節(jié)點j之間有邊相連,節(jié)點vi的所有鄰居節(jié)點由集合Ni={j:(vj,vi)∈E}表示。

在符號圖G中,若節(jié)點集V可以劃分為2個互不相交的子集V1和V2,滿足aij≥0,?vi,vj∈Vk(k∈{1,2}),且aij≤0,?vi∈Vk,vj∈Vl(k≠l,k,l∈{1,2}),則稱符號圖G為結構平衡圖,否則稱符號圖G為結構非平衡圖。

1.2 集值李導數(shù)

函數(shù)U(x)關于g在x處的集值李導數(shù)定義為:LgU(x)={l∈R|?φ∈F(g(x)),φTφ=l,?φ∈?U(x)}。

1.3 網絡模型

考慮一類具有切換信號的耦合神經網絡模型,其第i個節(jié)點(i∈N′)的動力學方程表示如下

(1)

式中:xi(t)=[xi1(t)xi2(t) …xin(t)]T∈Rn,表示t時刻第i個節(jié)點的狀態(tài)向量;Dπ為n階正定對角矩陣,Bπ表示n×n維常數(shù)矩陣;π∈M′={1,2,…,M}表示耦合網絡狀態(tài)的切換信號;φ代表耦合強度;f(x(t))=[f1(x1(t))f2(x2(t)) …fn(xn(t))]T∈Rn是激活函數(shù);ui(t)表示控制器;J(t)=[J1(t)J2(t) …Jn(t)]T∈Rn表示外部輸入向量;A=(aij)∈RN×N表示耦合網絡的鄰接矩陣,本文所考慮的網絡為無向網絡,即aij=aji。

(2)

耦合神經網絡式(2)的同步目標如下

(3)

式中:y(t)=[y1(t)y2(t) …yn(t)]T∈Rn為目標軌道。

引理1[17]若符號圖G是結構平衡的,則存在對角矩陣R=diag{r1,r2,…,rn},ri∈{1,-1},?i∈N′,使得RAR為非負矩陣。

假設1對于耦合神經網絡式(1),激活函數(shù)f(x)滿足以下條件:

(1)f(-x)=-f(x)

(2)‖F(xiàn)[f(x)]-F[f(y)]‖≤h1‖x-y‖+h2

式中:h1,h2>0。

2 有限時間二分同步

2.1 結構平衡圖下有限時間二分同步

本節(jié)考慮結構平衡圖下切換耦合神經網絡的同步問題。

由引理1可知,存在對角矩陣R=diag{r1,r2,…,rn},ri∈{1,-1},?i∈N′,使得riaijrj≥0且sign(ri)=ri,rirj=sign(aij)。

由于A為無向網絡,則

(4)

定義1對于切換耦合神經網絡式(2),如果存在t*>0,使得

且‖xi(t)-riy(t)‖≡0,t>t*,i∈N′,則稱耦合神經網絡式(2)有限時間同步到目標軌道式(3)。

記ei(t)=rixi(t)-y(t),則ei(t)=0等價于riei(t)=0。由式(2)、(3)可知

(5)

式中:ξi(t)=f(rixi)-f(y),i∈N′。

設計同步控制器ui(t)如下

ui(t)=-ρsign(ei(t))ρ>0

(6)

定理1在假設1及控制器式(6)之下,若對于任意q∈M′,均滿足

(7)

(8)

則結構平衡圖下的耦合神經網絡式(2)有限時間同步到目標軌道式(3),其中

證明將式(6)代入式(5),可得誤差系統(tǒng)

(9)

由于系統(tǒng)式(9)是非連續(xù)的,需引入微分包含理論[20]。記式(9)的右端為δi(t),并記δ(t)=[δ1(t)δ2(t) …δN(t)]T,由Filippov集值映射,可知

(10)

式中:集值函數(shù)SIGN定義為

SIGN(ej-ei)-ρ‖ei‖}

(11)

式中:αi(t)∈F[ξi](t)為可測選擇。

對于無向網絡,有

(12)

由假設1可得

(13)

將式(12)、(13)代入式(11),可得

(14)

利用引理3,可得

(15)

由此可得

(16)

在式(15)、(16)的基礎上結合條件式(7)和(8),可得

由引理2可知,耦合神經網絡式(2)有限時間同步到目標式(3),且同步時間t1滿足

證明完成。

2.2 結構非平衡圖下有限時間二分同步

ui(t)=-ρsign(xi)

(17)

式中:ρ>0。

定理2對于結構非平衡圖,在控制器式(17)以及定理1條件之下,切換耦合神經網絡式(2)實現(xiàn)有限時間二分同步。

證明在控制器式(17)之下,耦合神經網絡式(2)變?yōu)?/p>

ρsign(xi)}

(18)

選取Lyapunov泛函

并沿系統(tǒng)式(18)對V2(t)關于時間t求集值李導數(shù),可得

[sign(aij)xi-xj]-2ρxiSIGN(xi)}

(19)

式中:βi(t)∈F[f(xi(t))]為可測選擇。

對于任意q∈M′,對于結構非平衡的無向網絡,有

SIGN[xj-sign(aij)xi]=

(20)

類似于式(13),由假設1可得

(21)

將式(20)、(21)代入式(19),可得

(22)

利用引理3,可得

(23)

基于此,式(23)可整理為

(24)

利用條件式(7)和(8),式(22)轉化為

由引理2可知,耦合神經網絡式(2)在控制器式(17)下將在有限時間內達到同步,同步時間t2滿足

證明完成。

3 數(shù)值模擬與分析

分別考慮圖1結構平衡圖與圖2結構非平衡圖下的耦合神經網絡的二分同步。

圖1 結構平衡圖

圖2 結構非平衡圖

例1考慮由5個節(jié)點構成的耦合神經網絡式(2),即N=5,其網絡拓撲如圖1所示。將節(jié)點集劃分為2個子集V1={1,3,5},V2={2,4},其對應的R=diag{1,-1,1,-1,1}。目標節(jié)點的初值y(0)=[3 2 5]T,n=3。跟隨者節(jié)點的初值X(0)以及其他系統(tǒng)參數(shù)取值如下

X(0)=[x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)x5(0)]T=

取切換信號為隨機切換,M′=3,其中

J(t)=[0 0 0]T

f(X(t))=0.1X(t)+0.08sign(X(t))

取φ=1.2,ρ=0.9,以滿足定理1的條件。由定理1的結論可知,切換耦合神經網絡式(2)將在有限時間內二分同步到目標軌道式(3),結構平衡網絡節(jié)點各個分量的同步仿真結果如圖3所示。從圖3可以看出,耦合神經網絡式(2)中5個節(jié)點的各自狀態(tài)x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t)均能夠在有限時間內二分同步到目標軌道狀態(tài)y(t),從而驗證了定理1的有效性。

圖3 結構平衡網絡節(jié)點的同步結果圖

例2考慮結構非平衡圖下切換耦合神經網絡模型式(2)的同步問題,其網絡拓撲結構如圖2所示,耦合網絡中5個節(jié)點的初值為

X(0)=[x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)x5(0)]T=

其他參數(shù)均與例1相同,以滿足定理2的條件。由定理2結論可知,切換耦合神經網絡式(2)將在有限時間內達到二分同步,結構非平衡網絡節(jié)點各個分量的同步仿真結果如圖4所示。從圖4可以看出,耦合神經網絡式(2)中5個節(jié)點的各自狀態(tài)x1(t),x2(t),x3(t),x4(t),x5(t)均能夠在有限時間內二分同步到0,即有限時間穩(wěn)定。

圖4 結構非平衡網絡節(jié)點的同步結果圖

4 結束語

本文運用Lyapunov穩(wěn)定性理論,分別針對結構平衡和結構非平衡的網絡拓撲,研究了具有非連續(xù)激活函數(shù)的切換耦合神經網絡的二分同步問題。通過設計非連續(xù)控制協(xié)議,提出了相應的同步判別準則,保證了耦合網絡實現(xiàn)有限時間二分同步。本文將以往神經網絡中激活函數(shù)和控制器均要求連續(xù)的情形推廣到不連續(xù)的情形,同時將網絡的完全同步推廣到二分同步。最后通過數(shù)值實驗,驗證了理論研究結果的可行性和有效性。