楚彭子，虞 翊，董丹陽(yáng)，趙華華，林 輝

（1.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué)磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海 201804）

憑借噪聲小、能耗低、爬坡能力強(qiáng)、選線靈活等優(yōu)點(diǎn)，磁浮交通受到越來(lái)越多的關(guān)注。磁浮交通速度范圍廣泛，涉及中低速域、中速域、高速域、超高速域和宇航域［1］。按照懸浮方式，磁浮交通可劃分為4類，即電磁懸浮、電動(dòng)懸浮、高溫超導(dǎo)懸浮與電磁-永磁混合懸浮。由于制式差異，磁浮交通的安全防護(hù)與輪軌交通存在差異。作為電磁懸浮型磁浮交通典型代表之一，常導(dǎo)高速磁浮列車(chē)在運(yùn)行時(shí)不僅考慮區(qū)間限速，還考慮二維速度防護(hù)曲線，并采用“停車(chē)點(diǎn)步進(jìn)”運(yùn)行模式［2-5］，以此來(lái)最大限度地保證列車(chē)隨時(shí)能停在設(shè)置有供電軌與疏散通道的輔助停車(chē)區(qū)（auxiliary stopping area，ASA）。作為保障常導(dǎo)高速磁浮列車(chē)運(yùn)行安全的必要組成，輔助停車(chē)區(qū)（簡(jiǎn)稱為停車(chē)區(qū)）的布置值得商榷。

根據(jù)上海磁浮示范線建設(shè)經(jīng)驗(yàn)，可根據(jù)坡度和車(chē)長(zhǎng)確定常導(dǎo)高速磁浮停車(chē)區(qū)長(zhǎng)度，按照速度等級(jí)和坡度情況來(lái)劃定停車(chē)區(qū)參考間距［2，6］。類似地，卞建光［6］以列車(chē)懸浮距離為基礎(chǔ)，給出了不同速度段下的停車(chē)區(qū)參考間距。針對(duì)中高速磁浮停車(chē)區(qū)，Lai等［7］將停車(chē)區(qū)的最小長(zhǎng)度與停車(chē)區(qū)的總長(zhǎng)設(shè)置為約束條件，從安全速度域面積、安全制動(dòng)曲線和安全懸浮曲線的交點(diǎn)與區(qū)間限速曲線拐點(diǎn)之間的歐式距離兩方面來(lái)優(yōu)化停車(chē)區(qū)。以數(shù)量最小化為目標(biāo)，虞翊等［2］將列車(chē)運(yùn)行的連續(xù)步進(jìn)作為約束條件，提出一種從終點(diǎn)站向起點(diǎn)站依次遞推的基于防護(hù)速度的高速磁浮停車(chē)區(qū)布置方法。

磁浮交通系統(tǒng)的諸多要素相互耦合，一旦停車(chē)區(qū)布置完成，可供列車(chē)運(yùn)行曲線調(diào)整的安全速度域就被限定，區(qū)間追蹤間隔時(shí)間也將受影響［2，8-10］。針對(duì)中低速磁浮列車(chē)運(yùn)行曲線，柴曉鳳等［8］將停車(chē)區(qū)視為約束條件，采用先分析列車(chē)運(yùn)行工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)再開(kāi)展多區(qū)間優(yōu)化的方式來(lái)獲取節(jié)能速度曲線。賴晴鷹等［9］以列車(chē)能耗最低為目標(biāo)，采用變間距動(dòng)態(tài)規(guī)劃方式來(lái)優(yōu)化中高速磁浮列車(chē)運(yùn)行曲線。Lai等［4］進(jìn)一步基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃與混合線性整數(shù)規(guī)劃研究了中速磁浮列車(chē)節(jié)能速度曲線。考慮到車(chē)載電池狀態(tài)，Yang等［10］分析了應(yīng)急情形下保證磁浮列車(chē)能夠停在停車(chē)區(qū)的運(yùn)行控制策略。

隨著磁浮交通運(yùn)營(yíng)速度、車(chē)輛技術(shù)、運(yùn)控技術(shù)以及線路條件的多樣化，基于參考間距的布置方式通用性有限，難以獲取可靠又經(jīng)濟(jì)的停車(chē)區(qū)布置方案。例如，我國(guó)時(shí)速600公里級(jí)常導(dǎo)高速磁浮系統(tǒng)已經(jīng)在調(diào)試之中，其速度已超過(guò)當(dāng)前參考范圍［2，6］。同時(shí)，Lai等［7］所述方法未充分考慮停車(chē)區(qū)布置原則［6］。虞翊等［2］考慮了列車(chē)運(yùn)行曲線、防護(hù)速度曲線以及列車(chē)運(yùn)行的連續(xù)步進(jìn)需求，但未能兼顧停車(chē)區(qū)布置的其他原則。作為一項(xiàng)系統(tǒng)工程，停車(chē)區(qū)的布置應(yīng)該考慮所需的目標(biāo)速度曲線和安全速度域。本文針對(duì)以往停車(chē)區(qū)布置方法的不足，結(jié)合常導(dǎo)高速磁浮列車(chē)運(yùn)行特點(diǎn)與停車(chē)區(qū)布置原則，綜合考慮停車(chē)區(qū)布置中可能遇到的陡坡、道岔、橋梁等復(fù)雜場(chǎng)景，建立面向多目標(biāo)速度曲線且兼顧運(yùn)行效率的停車(chē)區(qū)布置多目標(biāo)優(yōu)化模型，并針對(duì)停車(chē)區(qū)“低速度區(qū)域密集，高速度區(qū)域稀疏”的一般特征，設(shè)計(jì)與改進(jìn)求解該模型的算法。

1 模型準(zhǔn)備

1.1 列車(chē)運(yùn)行與輔助停車(chē)區(qū)

根據(jù)磁浮系統(tǒng)供電特性［2，10］，為了避免列車(chē)停在停車(chē)區(qū)以外區(qū)域，造成無(wú)法懸浮與疏散困難，對(duì)其運(yùn)行設(shè)置了二維速度防護(hù)曲線和停車(chē)點(diǎn)步進(jìn)運(yùn)行模式［2-5］。二維速度防護(hù)曲線涉及最大速度曲線和最小速度曲線，而停車(chē)點(diǎn)是指車(chē)站與停車(chē)區(qū)。最大速度曲線要求列車(chē)能夠通過(guò)制動(dòng)停在目標(biāo)停車(chē)點(diǎn)，最小速度曲線要求列車(chē)能夠惰行至目標(biāo)停車(chē)點(diǎn)。兩曲線能夠最大限度防止列車(chē)速度進(jìn)入危險(xiǎn)速度域［2，4］。借助于二維速度防護(hù)曲線，列車(chē)采用停車(chē)點(diǎn)步進(jìn)控制方式運(yùn)行。具體地，列車(chē)以當(dāng)前停車(chē)點(diǎn)為目標(biāo)運(yùn)行時(shí)，以最大速度曲線、最小速度曲線以及區(qū)間限速曲線為安全防護(hù)要求。僅當(dāng)列車(chē)速度越過(guò)下一個(gè)停車(chē)點(diǎn)的最小速度曲線，且未超過(guò)當(dāng)前停車(chē)點(diǎn)最大速度曲線時(shí)，執(zhí)行步進(jìn)，進(jìn)而以下一個(gè)停車(chē)點(diǎn)為目標(biāo)運(yùn)行。依此類推，通過(guò)連續(xù)地步進(jìn)，最終到達(dá)實(shí)際終點(diǎn)［2］。同時(shí)，磁浮列車(chē)的牽引動(dòng)力源自軌道，涉及一系列牽引分區(qū)（簡(jiǎn)稱為分區(qū)），每個(gè)分區(qū)內(nèi)僅能引導(dǎo)一輛列車(chē)正常運(yùn)行［11］?；诖耍愃朴谳嗆壗煌ㄩ]塞區(qū)間的運(yùn)行區(qū)間也依據(jù)分區(qū)劃分［12］。由于磁浮列車(chē)依據(jù)停車(chē)點(diǎn)步進(jìn)模式運(yùn)行，且每個(gè)分區(qū)內(nèi)只能引導(dǎo)一輛列車(chē)，因而列車(chē)區(qū)間追蹤間隔受到分區(qū)長(zhǎng)度和停車(chē)區(qū)位置的影響。

具體到停車(chē)區(qū)，它是設(shè)置在磁浮線路安全區(qū)域上，配備有供電軌與疏散通道的軌道區(qū)段。停車(chē)區(qū)兩端在運(yùn)控系統(tǒng)中被定義為可達(dá)點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)?？蛇_(dá)點(diǎn)是在關(guān)閉牽引系統(tǒng)后，列車(chē)依靠當(dāng)前慣性至少能到達(dá)的位置點(diǎn)，是停車(chē)區(qū)的首端。危險(xiǎn)點(diǎn)是列車(chē)停車(chē)時(shí)不能超出的位置點(diǎn)，是停車(chē)區(qū)的末端。類似地，對(duì)車(chē)站的兩端也可定義可達(dá)點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)。若將列車(chē)視為質(zhì)點(diǎn)，可達(dá)點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)的位置可分別作為安全懸浮曲線與安全制動(dòng)曲線的落腳點(diǎn)。若考慮車(chē)長(zhǎng)，可將安全懸浮曲線與安全制動(dòng)曲線的落腳點(diǎn)向中間偏移半個(gè)車(chē)長(zhǎng)。根據(jù)停車(chē)區(qū)性質(zhì)、列車(chē)運(yùn)行安全影響因素及上海磁浮示范線建設(shè)經(jīng)驗(yàn)，停車(chē)區(qū)的布置應(yīng)考慮復(fù)雜場(chǎng)景，涉及的原則有［6］：①停車(chē)區(qū)應(yīng)布置在適合疏散和安全停留的區(qū)域。道岔、陡坡、橋梁、坡度變化點(diǎn)、分區(qū)邊界以及惡劣地段等為不宜布置停車(chē)區(qū)的區(qū)段（即需求限制區(qū)段），在大坡道的坡底與坡頂附近需考慮停車(chē)區(qū)；②停車(chē)區(qū)的布置應(yīng)保證列車(chē)正常運(yùn)行的速度曲線與牽引系統(tǒng)的設(shè)計(jì)運(yùn)行曲線一致；③停車(chē)區(qū)的布置應(yīng)滿足運(yùn)輸組織對(duì)列車(chē)作業(yè)和追蹤運(yùn)行的要求；④站間區(qū)間內(nèi)每個(gè)分區(qū)均應(yīng)布置停車(chē)區(qū)，但不能橫跨分區(qū)；⑤在滿足列車(chē)運(yùn)行安全與運(yùn)營(yíng)需求的前提下，考慮布置方案的經(jīng)濟(jì)性。

1.2 速度防護(hù)曲線的計(jì)算

最大速度曲線為列車(chē)觸及安全制動(dòng)曲線提供防護(hù)，最小速度曲線與安全懸浮曲線之間同樣存在安全裕量。安全制動(dòng)曲線可根據(jù)列車(chē)運(yùn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算［2，13］，涉及空氣阻力、導(dǎo)向軌引發(fā)的磁化渦流阻力、渦流制動(dòng)力、滑撬與軌道的摩擦力、直線電機(jī)引起的懸浮阻力和坡道附加阻力。安全制動(dòng)曲線的計(jì)算需要考慮不利條件下的受力特性，包括列車(chē)滿載、遭遇順風(fēng)作用、渦流制動(dòng)系統(tǒng)部分故障、軌道面與列車(chē)滑撬摩擦系數(shù)變?。?，13］。根據(jù)安全制動(dòng)曲線，進(jìn)一步考慮牽引切斷命令發(fā)出至渦流制動(dòng)啟動(dòng)的系統(tǒng)延時(shí)、測(cè)速誤差與定位誤差以及系統(tǒng)延時(shí)內(nèi)列車(chē)加速度可獲取最大速度曲線［13］。安全懸浮曲線的計(jì)算也需要考慮不利條件，包括列車(chē)空載、遭遇逆風(fēng)、軌道面與列車(chē)滑撬摩擦系數(shù)變大［2，6］。類似地，進(jìn)一步考慮牽引切斷命令發(fā)出至牽引切斷完成的系統(tǒng)延時(shí)、測(cè)速誤差、定位誤差和系統(tǒng)延時(shí)內(nèi)列車(chē)減速度可獲取最小速度曲線［13］。本文計(jì)算空氣阻力Fair、導(dǎo)向軌引發(fā)的磁化渦流阻力Fmag、渦流制動(dòng)力Fedd、滑撬與軌道的摩擦力Fski、直線電機(jī)引起的懸浮阻力Fmot和坡道附加阻力Fgra時(shí)，參考的公式為［2-3，11，13］：

式中：v為列車(chē)速度，m·s-1；vair為風(fēng)速，m·s-1；Ntra為列車(chē)編組數(shù)；ρ空氣密度，通常取1.225 kg·m-3；A為車(chē)輛橫斷面面積，m2；Mtra為列車(chē)質(zhì)量，kg；θ(v)為取0或1的分段函數(shù)，當(dāng)速度大于10 km·h-1時(shí)，取0，否則取1；is為軌道坡度，%；g為重力加速度，常取9.8 m·s-2；μ為摩擦系數(shù)。

1.3 輔助停車(chē)區(qū)多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.3.1 問(wèn)題描述與假設(shè)

已知擬采用的多條目標(biāo)速度曲線與線路條件，依據(jù)停車(chē)區(qū)的布置原則開(kāi)展停車(chē)區(qū)的優(yōu)化布置，實(shí)現(xiàn)資源的有效利用。同時(shí)，鑒于停車(chē)區(qū)對(duì)列車(chē)區(qū)間追蹤間隔的影響，若能在節(jié)省資源的同時(shí)考慮區(qū)間追蹤間隔，則可以實(shí)現(xiàn)資源節(jié)省與效率保障的兼顧。基于此，可將問(wèn)題描述為：已知目標(biāo)速度曲線與線路條件，在列車(chē)安全運(yùn)行前提下，如何布置停車(chē)區(qū)，實(shí)現(xiàn)停車(chē)區(qū)總數(shù)量盡可能少，區(qū)間追蹤間隔也盡可能小。作為優(yōu)化的前提，需要考慮停車(chē)區(qū)布置場(chǎng)景、列車(chē)連續(xù)步進(jìn)需求以及資源的有限性，涉及的假設(shè)條件有：①目標(biāo)速度曲線是已知的，且列車(chē)運(yùn)行時(shí)對(duì)目標(biāo)速度曲線的追溯性良好；②停車(chē)區(qū)的長(zhǎng)度分為兩種。結(jié)合上海磁浮示范線布置經(jīng)驗(yàn)，長(zhǎng)度分為坡度為0時(shí)的長(zhǎng)度和坡度大于0但不多于0.5%時(shí)的長(zhǎng)度；③線路上有足夠多的候選停車(chē)區(qū)供優(yōu)化決策；④線路規(guī)劃適當(dāng)，不存在即使在需求限制區(qū)段的兩端布置停車(chē)區(qū)也不足以支持列車(chē)正常步進(jìn)的情況；⑤列車(chē)蓄電池的電量能保證列車(chē)運(yùn)行至當(dāng)前停車(chē)點(diǎn)。

1.3.2 符號(hào)定義

集合方面，S：車(chē)站集合，包括起點(diǎn)站ss和終點(diǎn)站st；I：候選停車(chē)區(qū)集合，下標(biāo)為i。每個(gè)候選停車(chē)區(qū)包括6個(gè)屬性：可達(dá)點(diǎn)位置RPi、危險(xiǎn)點(diǎn)位置HPi、長(zhǎng)度ALi、最大坡度SAi、是否位于變坡點(diǎn)、橋梁或道岔SCAi（位于相應(yīng)位置時(shí)取1，否則取0）、跨越分區(qū)情況SSAi（橫跨分區(qū)時(shí)取1，否則取0）；K：分區(qū)集合，下標(biāo)為k。每個(gè)分區(qū)包括3個(gè)屬性：分區(qū)k的范圍DSk，長(zhǎng)度DLk，以及是否有停車(chē)區(qū)位于該分區(qū)DSAk（有取1，否則取0），且第一個(gè)和最后一個(gè)分區(qū)均為車(chē)站；L：優(yōu)先考慮布置停車(chē)區(qū)的軌道區(qū)段集合，即需求優(yōu)先區(qū)段集合，下標(biāo)為l。每個(gè)需求優(yōu)先區(qū)段包括2個(gè)屬性：區(qū)段的范圍RSl，以及是否有停車(chē)區(qū)位于該區(qū)段RSAl（有取1，否則取0）；P：目標(biāo)速度曲線集合，下標(biāo)為p。

參數(shù)方面，Lmax：停車(chē)區(qū)總長(zhǎng)度的最大值；Ndec：分區(qū)的數(shù)量；Nreq：需求優(yōu)先區(qū)段的數(shù)量；STp，j，j+：目標(biāo)速度曲線p與停車(chē)點(diǎn)j+最小速度曲線的交點(diǎn)和該速度曲線與停車(chē)點(diǎn)j最大速度曲線的交點(diǎn)之間的時(shí)間間隔，列車(chē)需要在該時(shí)間間隔內(nèi)完成步進(jìn)；STmin：步進(jìn)冗余時(shí)間，是為列車(chē)停車(chē)點(diǎn)步進(jìn)過(guò)程設(shè)置的考慮了冗余量的間隔時(shí)間［2］；VL：列車(chē)的長(zhǎng)度；RLp，k：當(dāng)列車(chē)駛向分區(qū)k時(shí)，由區(qū)間追蹤間隔附加時(shí)間tr和目標(biāo)速度曲線p所產(chǎn)生的附加距離；BLp，k：列車(chē)依據(jù)目標(biāo)速度曲線p駛向分區(qū)k時(shí)考慮的安全制動(dòng)距離；PD：前方分區(qū)有列車(chē)時(shí)，當(dāng)前目標(biāo)停車(chē)區(qū)應(yīng)距離前方分區(qū)邊界的作為防護(hù)要求的最小距離。

變量方面，ILp，k：列車(chē)依據(jù)目標(biāo)速度曲線p駛向分區(qū)k時(shí)的追蹤間隔距離；Vˉp，k：列車(chē)依據(jù)目標(biāo)速度曲線p運(yùn)行時(shí)，在追蹤間隔距離ILp，k中的平均速度；ITTp，k：列車(chē)依據(jù)目標(biāo)速度曲線p駛向分區(qū)k時(shí)的追蹤間隔時(shí)間；SLk：滿足防護(hù)要求且距離分區(qū)k最近的停車(chē)區(qū)末端與分區(qū)k邊界之間的距離；xi：0-1決策變量，選擇候選停車(chē)區(qū)i作為正式停車(chē)區(qū)時(shí)取1，否則取0。

1.3.3 多目標(biāo)優(yōu)化模型

第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)是最小化停車(chē)區(qū)數(shù)量，可由決策變量累加得到，即：

第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)是最小化區(qū)間追蹤間隔時(shí)間。如圖1所示，只有當(dāng)列車(chē)A出清分區(qū)k時(shí)，列車(chē)B才能以分區(qū)k中的停車(chē)區(qū)為目標(biāo)停車(chē)點(diǎn)進(jìn)行步進(jìn)。否則，列車(chē)B只能以分區(qū)k之前的停車(chē)區(qū)為目標(biāo)停車(chē)點(diǎn)，且該停車(chē)區(qū)末端距離分區(qū)邊界的距離應(yīng)大于防護(hù)距離［12］。

圖1 列車(chē)區(qū)間追蹤示意Fig.1 Form of train section tracking

根據(jù)目標(biāo)速度曲線、安全制動(dòng)曲線、分區(qū)長(zhǎng)度、停車(chē)區(qū)危險(xiǎn)點(diǎn)與分區(qū)邊界的距離以及附加距離，列車(chē)區(qū)間追蹤間隔距離可表示為

相應(yīng)的列車(chē)區(qū)間追蹤間隔時(shí)間表示為

此時(shí)，若僅考慮一條目標(biāo)速度曲線，則區(qū)間追蹤間隔時(shí)間最小可表示為min(max(ITT2，ITT3，…，ITTNdec-2))。當(dāng)考慮多條目標(biāo)速度曲線時(shí)，可通過(guò)引入權(quán)重系數(shù)（w p，?p∈P）將區(qū)間追蹤間隔時(shí)間加權(quán)平均。此時(shí)，有目標(biāo)函數(shù)：

結(jié)合停車(chē)區(qū)布置原則與布置場(chǎng)景，設(shè)置了以下約束：

其中：約束（11）表示停車(chē)區(qū)不能橫跨分區(qū)；約束（12）要求停車(chē)區(qū)不能位于變坡點(diǎn)、橋梁或道岔；約束（13）表示站間區(qū)間中每個(gè)分區(qū)均有停車(chē)區(qū)；約束（14）要求需求優(yōu)先區(qū)段上有停車(chē)區(qū)；約束（15）代表停車(chē)區(qū)的坡度不能超過(guò)一定范圍；約束（16）限制了停車(chē)區(qū)總長(zhǎng)度；約束（17）要求停車(chē)區(qū)布置方案為列車(chē)連續(xù)步進(jìn)提供的時(shí)間間隔均不小于步進(jìn)冗余時(shí)間；約束（18）要求決策變量為0-1變量。此外，對(duì)于停車(chē)區(qū)長(zhǎng)度，可參考上海磁浮示范線的經(jīng)驗(yàn)公式（式（19））計(jì)算，該公式考慮了軌面結(jié)霜的情形。

2 模型求解

針對(duì)上述非線性優(yōu)化模型，本文借助了幾乎能求解任何多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法（fast and elitist non-dominated sorting generic algorithm，NSGA-II）［14］，并提出了一種符合停車(chē)區(qū)布置特征的種群初始化策略，討論了算法求解過(guò)程與算法性能指標(biāo)。

2.1 求解步驟

與傳統(tǒng)遺傳算法類似，NSGA-II同樣基于群體進(jìn)化思想對(duì)解逐步優(yōu)化。群體中的每一個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)著一個(gè)解，個(gè)體的優(yōu)劣程度根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值、約束違反（constraint violation，CV）值（存在約束條件時(shí)）、非支配排序（rank）和擁擠距離（crowding distance，CD）共同確定［14］，所得的最優(yōu)解為Pareto（帕累托）最優(yōu)解集。圖2顯示了基于NSGA-II的模型求解過(guò)程。該過(guò)程涉及兩個(gè)模塊，即仿真模塊和求解模塊。仿真模塊用于模擬列車(chē)的運(yùn)行，判斷停車(chē)區(qū)布置方案的可行性。結(jié)合仿真模塊輸出信息，求解模塊可更新與優(yōu)化停車(chē)區(qū)布置方案。實(shí)施步驟可簡(jiǎn)單概述如下：

圖2 停車(chē)區(qū)優(yōu)化過(guò)程Fig.2 Optimization process of ASAs

步驟1：仿真模塊初始化。初始化仿真模塊中的信息，涉及線路數(shù)據(jù)、車(chē)輛數(shù)據(jù)、環(huán)境數(shù)據(jù)、運(yùn)控參數(shù)與目標(biāo)速度曲線等。

步驟2：求解模塊初始化。初始化求解模塊中的參數(shù)，包括交叉概率、變異概率、迭代次數(shù)（Iter）、種群數(shù)量（Pop）等參數(shù)，并初始化種群。

步驟3：方案評(píng)估。對(duì)當(dāng)前種群中的個(gè)體信息進(jìn)行解碼，輸入到仿真模塊中，進(jìn)而可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值與約束違反情況獲取個(gè)體的優(yōu)劣信息，得到個(gè)體的非支配排序與擁擠距離。

步驟4：方案更新?；趥€(gè)體的非支配排序與擁擠距離，執(zhí)行選擇、交叉、變異、替換等遺傳操作。

步驟5：終止判斷。若達(dá)到預(yù)設(shè)的終止條件（如迭代次數(shù)），輸出當(dāng)前種群中的Pareto最優(yōu)解集，并作進(jìn)一步篩選。否則，返回步驟3。

2.2 算法設(shè)計(jì)

2.2.1 染色體與種群初始化策略

NSGA-II算法中，個(gè)體以向量形式進(jìn)行儲(chǔ)存，每個(gè)個(gè)體代表一個(gè)解。由于優(yōu)化模型中決策變量為0-1變量，本文采用二進(jìn)制對(duì)個(gè)體進(jìn)行編碼（圖3），該方式也簡(jiǎn)化了解碼步驟。同時(shí)，將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值、約束違反（CV）值、非支配排序（rank）與擁擠距離（CD）存放于染色體尾部用于遺傳操作。

圖3 染色體編碼Fig.3 Coding form of chromosome

按照一定的分布函數(shù)隨機(jī)生成種群是遺傳算法常用方式，如均勻分布。停車(chē)區(qū)具有“低速區(qū)密集、高速區(qū)稀疏”的一般特征。對(duì)此，提出了一種基于該特征的種群初始化策略（即本文策略）。該方法結(jié)合列車(chē)運(yùn)行方向，借助由多條目標(biāo)速度曲線組合而成的基準(zhǔn)速度曲線［2］來(lái)確定不同分區(qū)中候選停車(chē)區(qū)被選擇的概率，如式（20）和（21）所示。

其中：CPk為初始概率；vˉk-1，k為候選停車(chē)區(qū)所在分區(qū)前半部分與前一個(gè)分區(qū)后半部分基準(zhǔn)速度曲線的速度平均值（如果前一個(gè)分區(qū)是車(chē)站，僅考慮當(dāng)前分區(qū)前半部分平均速度）；RVmax為基準(zhǔn)速度曲線的最大速度；η為折減系數(shù)；ZPk為將CPk歸一化后的最終概率；設(shè)置折減系數(shù)的目的在于增加基準(zhǔn)速度曲線的波動(dòng)性。歸一化的目的是使每個(gè)候選停車(chē)區(qū)被選擇的概率均不高于均勻分布下的概率，即0.5。

2.2.2 支配關(guān)系與擁擠距離

尋找一組非支配解集或Pareto最優(yōu)解集是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解目標(biāo)。考慮約束條件和不考慮約束條件的支配關(guān)系存在差異。以本文優(yōu)化模型為例，對(duì)于解集C中的兩個(gè)解c1與c2，若不考慮約束條件，如果c1的目標(biāo)函數(shù)值均小于c2，那么c1支配c2，c1為非支配解。如果c1對(duì)應(yīng)的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值小于c2，另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值相同，那么c1弱支配c2，c1仍為非支配解。若考慮約束條件，除了目標(biāo)函數(shù)值，還需要判斷解的可行性，即CV值的大小。此時(shí)，c1支配c2的情況分為三種：第一種是c1是可行解，而c2不是可行解；第二種是c1和c2都不是可行解，但CV(c1)小于CV(c2)；最后一種是c1和c2都是可行解，但c1能夠在目標(biāo)函數(shù)值上支配c2。對(duì)于任意解c，本文采用式（22）計(jì)算CV值：

其中：Mequ和Nine分別為優(yōu)化模型中等式約束和不等式約束的數(shù)量；ym(c)為等式約束m左側(cè)項(xiàng)的取值；當(dāng)ym(c)小于0時(shí)，ym(c)取0，否則取ym(c)的絕對(duì)值；yˉm(c)是ym(c)歸一化后的值；hn(c)為不等式約束n左側(cè)項(xiàng)的取值，|hˉn(c)|是|hn(c)|歸一化后的值；本文采用對(duì)ym(c)和|hn(c)|除以種群中相應(yīng)約束項(xiàng)最大值的方式進(jìn)行歸一化。

支配關(guān)系通過(guò)非支配排序（rank）表示Pareto等級(jí)，用于判斷解的質(zhì)量。解的集合中非支配解的等級(jí)為1，剩余解中的非支配解等級(jí)為2，依次類推［14-15］。擁擠距離的引入則是為了保持解的多樣性，是評(píng)判個(gè)體與相鄰個(gè)體間遠(yuǎn)近程度的指標(biāo)。同Pareto等級(jí)的解中，擁擠距離較大的解更容易被選出執(zhí)行遺傳操作。

2.2.3 遺傳操作算子

遺傳操作算子主要包括選擇、交叉、變異與替換。二元錦標(biāo)賽選擇法是常用的選擇算法，也是本文采用的方法。該方法隨機(jī)挑選兩個(gè)個(gè)體，優(yōu)先選擇非支配排序小的個(gè)體進(jìn)入交配池。若個(gè)體排序一致，則選擇擁擠距離大的個(gè)體。若等級(jí)與距離相等，則隨機(jī)選擇其中的一個(gè)。同時(shí)，替換操作也遵循該原則。交叉與變異的目的是為了生成新個(gè)體。由于候選停車(chē)區(qū)數(shù)量多，染色體編碼長(zhǎng)，本文采用一種局部的交叉與變異方式。該算子針對(duì)染色體隨機(jī)選取交叉與變異的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并在選定編碼區(qū)間內(nèi)開(kāi)展兩個(gè)染色體相同位置編碼的隨機(jī)交換（交叉）與單個(gè)染色體編碼的隨機(jī)突變（變異）。

2.3 性能評(píng)價(jià)

從計(jì)算效率和解的質(zhì)量?jī)煞矫嬖u(píng)價(jià)算法性能。計(jì)算效率可根據(jù)算法運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行度量。對(duì)于解的質(zhì)量，平均理想距離（mean ideal distance，MID）是針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化算法的可靠度量指標(biāo)。該指標(biāo)表征了一組滿足約束條件的Pareto最優(yōu)解集Cpar與理想點(diǎn)（即原點(diǎn)（0，0））的接近程度，如式（23）所示［15］。

其中：Npar為Pareto解集大??；f1，q和f2，q分別表示第q個(gè)解的第1和第2個(gè)目標(biāo)函數(shù)值。

3 算例分析

3.1 算例描述

仿真線路全長(zhǎng)98 900 m，包括7個(gè)分區(qū)，線路坡度與分區(qū)劃分情況如圖4所示。其中，起點(diǎn)站加速區(qū)末端位置為1 500 m，終點(diǎn)站的始端位置為97 400 m。針對(duì)疏散需求，設(shè)置有7個(gè)需求優(yōu)先區(qū)段，分別為［9 855，11 371］、［14 403，19 038］、［28 571，30 734］、［52 581，55 992］、［68 755，71 536］、［83 751，86 841］與［96 275，96 893］。參考上海磁浮示范線情況，設(shè)置采樣時(shí)間為0.1 s，取列車(chē)為5節(jié)編組，車(chē)長(zhǎng)為128.5 m，列車(chē)最大、最小重量分別為342 500和256 700 kg，橫截面尺寸為3.7 m×4.16 m。

圖4 線路坡度與分區(qū)劃分Fig.4 Line gradient and decentralization division

列車(chē)運(yùn)行方面，考慮了兩條目標(biāo)速度曲線，最大速度分別為450和300 km·h-1，區(qū)間追蹤間隔的權(quán)重分別設(shè)置為0.7和0.3，并取分區(qū)防護(hù)距離為500 m，區(qū)間追蹤間隔的附加時(shí)間為2 s。同時(shí)，取步進(jìn)冗余時(shí)間為3 s，牽引切斷命令發(fā)出至牽引切斷完成的延時(shí)為1 s，牽引切斷完成至渦流制動(dòng)啟動(dòng)的延時(shí)為0.7 s。對(duì)于不利條件，取定位測(cè)速系統(tǒng)的定位誤差為1 m，測(cè)速誤差為0.2 m·s-1，渦流制動(dòng)損失系數(shù)為0.9，遭遇的不利順風(fēng)、逆風(fēng)風(fēng)速均為16 m·s-1，摩擦系數(shù)最大、最小值分別為0.25和0.1，最大、最小速度曲線計(jì)算時(shí)的速度變化率分別為0.8和0.5 m·s-2。

為盡可能地得到最優(yōu)布置方案，根據(jù)坡度是否為0，將取整后的停車(chē)區(qū)長(zhǎng)度（309和379 m）從起點(diǎn)站依次不重疊排列，進(jìn)而把95 900 m的站間區(qū)間劃分為279個(gè)候選停車(chē)區(qū)，并令正式停車(chē)區(qū)總長(zhǎng)度不多于10 000 m。對(duì)于本文種群初始化策略，取折減系數(shù)為0.75，得到分區(qū)2～6中候選停車(chē)區(qū)的選擇概率分別為0.500、0.367、0.194、0.194和0.195。若采用均勻分布，這些概率均為0.5。算法參數(shù)方面，取交叉概率與變異概率分別為0.8和0.2。算例仿真過(guò)程借助于MATLAB軟件，并依托具有16G內(nèi)存、i7處理器、64位Windows10系統(tǒng)的筆記本電腦運(yùn)行。為降低仿真模塊時(shí)間消耗，預(yù)先存儲(chǔ)了每個(gè)候選停車(chē)區(qū)最大、最小速度曲線與目標(biāo)速度曲線的交點(diǎn)。此外，作為對(duì)比，以相同的數(shù)據(jù)分析了文獻(xiàn)［2］中的布置方法。

3.2 結(jié)果與分析

針對(duì)兩種種群初始化策略，將群體數(shù)量設(shè)置為200，迭代次數(shù)設(shè)置為100，分別進(jìn)行了仿真優(yōu)化。根據(jù)輸出的Pareto最優(yōu)解集，隨機(jī)展示了兩組布置方案，如圖5和圖6所示。結(jié)合圖4和1.2節(jié)可知，坡度對(duì)最大速度曲線和最小速度曲線的加速度有較大影響。上坡坡道能增大速度變化率，進(jìn)而壓縮停車(chē)區(qū)之間的間隔。同理，下坡坡道則有助于增大停車(chē)區(qū)之間的間隔。

圖5 基于均勻分布的結(jié)果Fig.5 Result based on uniform distribution

圖6 基于本文策略的結(jié)果Fig.6 Result based on proposed strategy

圖5 和圖6中停車(chē)區(qū)數(shù)量分別為18和15，加權(quán)后的區(qū)間追蹤間隔分別為300.321 s和299.461 s，即圖6方案在停車(chē)區(qū)數(shù)量與區(qū)間追蹤間隔上更理想。同時(shí)，兩者所在的Pareto最優(yōu)解集CV值均為0，MID分別為300.860和299.836，運(yùn)行時(shí)間分別為214.242 s和由此可知，無(wú)論采用本文策略，還是基于均勻分布的種群初始化策略，使用局部交叉與變異算子都是可行的，且本文種群初始化策略似乎有助于提高算法性能。進(jìn)一步地，針對(duì)均勻分布和本文策略對(duì)NSGA-II算法求解性能的影響，使用相同的迭代次數(shù)（100次）與種群數(shù)量（200）分別運(yùn)行30次。結(jié)果顯示，基于均勻分布和本文策略所得平均理想距離平均值分別為304.272和300.529。相應(yīng)地，運(yùn)行時(shí)間平均值分別為228.365和136.666 s。由此可見(jiàn)，無(wú)論是最優(yōu)解集的平均理想距離還是運(yùn)行時(shí)間，基于本文策略的表現(xiàn)均優(yōu)于基于均勻分布的種群初始化策略。因而，引入停車(chē)區(qū)布置特征的種群初始化策略對(duì)于使用NSGAII算法求解本文模型是有益的。此外，本文基于文獻(xiàn)［2］中方法得到了含有11個(gè)停車(chē)區(qū)的方案，但對(duì)應(yīng)的加權(quán)求和后區(qū)間追蹤間隔為347.872 s，大于圖5和圖6中的結(jié)果。同時(shí)，由于該方案未考慮復(fù)雜場(chǎng)景，部分需求限制區(qū)段中存在停車(chē)區(qū)，也有部分需求優(yōu)先區(qū)段中未布置停車(chē)區(qū)。因此，本文方法較文獻(xiàn)［2］更能應(yīng)對(duì)停車(chē)區(qū)布置中的復(fù)雜場(chǎng)景。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有高速磁浮停車(chē)區(qū)布置方法難以應(yīng)對(duì)復(fù)雜場(chǎng)景，在考慮運(yùn)營(yíng)效率與多目標(biāo)速度曲線需求的同時(shí)，建立了停車(chē)區(qū)多目標(biāo)優(yōu)化模型?；谒O(shè)計(jì)的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法，討論了優(yōu)化模型求解過(guò)程。算例仿真結(jié)果表明，本文模型可用于布置方案的求解，提出的種群初始化策略有助于改善算法性能，對(duì)染色體執(zhí)行局部交叉與變異具有良好的適用性，實(shí)踐中可使用所述種群初始化策略和遺傳算子。本文模型與算法可為單向運(yùn)行常導(dǎo)高速磁浮停車(chē)區(qū)的布置提供參考，為相關(guān)輔助設(shè)計(jì)軟件的開(kāi)發(fā)奠定基礎(chǔ)。后續(xù)研究可進(jìn)一步著眼于考慮雙向運(yùn)行的磁浮線路停車(chē)區(qū)優(yōu)化布置。

作者貢獻(xiàn)說(shuō)明：

楚彭子：研究構(gòu)思、文章撰寫(xiě)、實(shí)施研究。

虞翊：研究構(gòu)思、研究指導(dǎo)、研究經(jīng)費(fèi)、文章審閱與修改。

董丹陽(yáng)：文章撰寫(xiě)、軟件仿真。

趙華華：研究指導(dǎo)。

林輝：研究指導(dǎo)。