鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

對(duì)于某些以物理圖像為背景的問題，或者利用圖像法進(jìn)行解題時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)題或錯(cuò)解，包括給出的圖像、利用圖像解題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤等。筆者通過對(duì)物理圖像的分析與研究，助力于讀者對(duì)圖像及圖像問題的正確理解。

1 忽視圖像端點(diǎn)處的斜率導(dǎo)致錯(cuò)誤

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)圖像，其端點(diǎn)反映運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)情況。一般來說，如兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，利用速度圖像的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻、速度和加速度的關(guān)系，可以比較各量的大小，但有時(shí)需用切線斜率的絕對(duì)值表示加速度的大小，用速率圖像下的“面積”表示路程。

例1：甲、乙兩物體從地面同時(shí)豎直向上拋出，甲只受重力，乙除了受重力，還受到大小跟速率成正比的空氣阻力作用；它們同時(shí)到達(dá)同一最大高度，則在此過程中，兩物體的速度大小關(guān)系是( )。

A. 甲始終比乙大

B. 乙始終比甲大

C. 開始甲較大，后來乙較大

D. 開始乙較大，后來甲較大

圖1

原解：用v-t圖像來比較速度變化情況。已知“兩物體從地面同時(shí)豎直上拋”和“同時(shí)到達(dá)同一最大高度”，則它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同、位移相同，故兩者的v-t圖像末端交于t軸的同一點(diǎn)；兩者的v-t圖像與時(shí)間軸圍成圖形的“面積”相同。甲物體豎直上拋，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則其v-t圖像為向下傾斜的直線；乙物體上拋，除受重力外，還受到向下的阻力f=kv，做減速運(yùn)動(dòng)，但阻力逐漸減小，則合力逐漸減小，加速度逐漸減小，其v-t圖像切線的傾斜程度逐漸減小，可知v-t圖像隨時(shí)間的增大而逐漸向上彎曲，是向下凹的一段曲線。由于兩個(gè)v-t圖像下的“面積”相等，而且終點(diǎn)相同，則兩者的v-t圖像的起點(diǎn)(即初速度)不可能相同，甲的初速度必小于乙的初速度，在到達(dá)最高點(diǎn)之前曲線與直線相交，畫出兩者的v-t圖像如圖1所示。由圖1可知，兩個(gè)物體瞬時(shí)速度的大小關(guān)系是開始乙較大，然后甲較大，選項(xiàng)D正確。

探討：當(dāng)乙物體上升到最高點(diǎn)時(shí)，速度為零，所受空氣的阻力為零，因此此時(shí)的加速度等于重力加速度，甲、乙兩物體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的加速度相同，在v-t圖像中，曲線與橫軸交點(diǎn)處切線斜率的絕對(duì)值表示加速度，如圖2所示，在橫軸交點(diǎn)處曲線的切線應(yīng)該平行于傾斜的直線。由此可見，兩者的v-t圖像與橫軸的交點(diǎn)不可能相同，兩個(gè)物體不可能同時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，受到空氣阻力的乙先到達(dá)最高點(diǎn)，那么圖1中的v-t圖像是錯(cuò)誤的。由圖2可知，兩個(gè)物體瞬時(shí)速度的大小關(guān)系是開始乙較大，然后甲較大，選項(xiàng)D正確。

圖2

修改：對(duì)于這道題，雖然由圖1和圖2得到了相同的答案，但原題和原解都存在錯(cuò)誤。對(duì)原題有兩種修改方案，其一是把“乙除了受重力，還受到跟速率成正比的空氣阻力”改為“乙做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)”，則速度圖像如圖1。其二是把“它們同時(shí)到達(dá)同一最大高度”改為“它們能夠到達(dá)同一最大高度”，則v-t圖像如圖2，2014年重慶高考物理卷第5題考查的即是此圖。

2 忽視圖像的彎曲方向?qū)е洛e(cuò)誤

若圖像切線的斜率保持不變，則圖像為直線；若圖像切線的斜率發(fā)生變化，則圖像為曲線。若斜率逐漸增大，則圖像隨自變量的增大逐漸向上彎曲；若斜率逐漸減小，則圖像隨自變量的增大而逐漸向下彎曲。對(duì)于圖像的曲直以及凹凸，可根據(jù)切線的斜率是否變化以及如何變化來判斷。

圖3

例2：如圖3所示，一根上細(xì)下粗、粗端與細(xì)端都均勻的玻璃管豎直放置，上端開口，下端封閉，上端足夠長，下端(粗端)中間有一段水銀柱封閉了一定質(zhì)量的理想氣體，現(xiàn)對(duì)氣體緩慢加熱，氣體溫度不斷升高，水銀柱上升，則封閉氣體的體積與熱力學(xué)溫度的關(guān)系最接近圖4中的( )。

圖4

原解：當(dāng)水銀柱在粗管中上升時(shí)，封閉的理想氣體發(fā)生等壓變化；當(dāng)水銀柱有一部分在細(xì)管中上升時(shí)，封閉氣體的壓強(qiáng)逐漸增大；當(dāng)水銀柱全部上升到細(xì)管時(shí)，再次發(fā)生等壓變化，但先后兩次等壓變化的壓強(qiáng)不同，第一次壓強(qiáng)較小，第二次壓強(qiáng)較大。由于等壓變化的V-T圖像是過坐標(biāo)原點(diǎn)的傾斜直線，壓強(qiáng)越大，斜率越小，因此后來直線的斜率應(yīng)較小，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤。由于水銀柱在剛進(jìn)入細(xì)管和剛離開粗管時(shí)壓強(qiáng)發(fā)生突變，因此V-T圖像會(huì)發(fā)生兩次轉(zhuǎn)折，選項(xiàng)D正確。

圖5

圖6

圖7

3 誤解圖像的“面積”的物理意義導(dǎo)致錯(cuò)誤

3.1 圖線與不同坐標(biāo)軸圍成“面積”的物理意義不同

對(duì)于圖像的“面積”，要注意是圖線與哪個(gè)坐標(biāo)軸圍成的“面積”，或者是封閉曲線內(nèi)部的“面積”還是兩個(gè)圖線之間的“面積”。雖然有時(shí)根據(jù)不同的“面積”可得到相同結(jié)果，但選擇的“面積”要有確切的物理意義。

例3：氣缸內(nèi)封有一定質(zhì)量的理想氣體，初態(tài)體積為V1，壓強(qiáng)為p1，當(dāng)劇烈受熱時(shí)，其體積膨脹為V2。設(shè)膨脹過程中氣體體積的平方與熱力學(xué)溫度成正比變化，求在上述過程中氣體對(duì)外界做了多少功？

圖8

3.2 “速率-時(shí)間”與“速度-時(shí)間”圖像不同

對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，速度-時(shí)間圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”表示位移，如果“面積”中有負(fù)值，那么總位移在數(shù)值上等于各部分“面積”的代數(shù)和。對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)，速率-時(shí)間圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”表示路程。

例4：如圖9所示，物體(可以看成質(zhì)點(diǎn))第一次由靜止開始沿著光滑斜面從頂端A點(diǎn)下滑到斜面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t1；第二次由靜止開始沿著光滑球面從頂端A點(diǎn)下滑到球面底端B點(diǎn)，所用時(shí)間為t2，若球面下端與水平面相切，則兩次運(yùn)動(dòng)時(shí)間的大小關(guān)系為( )。

圖9

A.t1>t2

B.t1=t2

C.t1

D. 不確定

原解：利用速度-時(shí)間圖像進(jìn)行分析，物體沿著斜面AB下滑的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，v-t圖像是傾斜直線；沿著曲面ACB下滑的運(yùn)動(dòng)是加速度不斷變化的加速運(yùn)動(dòng)，加速度開始時(shí)較大，然后逐漸減小，v-t圖像為上凸曲線。由于二者運(yùn)動(dòng)的末速度大小相等，因此圖像的上端在同一條水平線上；由于二者發(fā)生的位移相同，v-t圖線與橫軸圍成圖形的“面積”相等，可畫出v-t圖像如圖10所示，則有t1>t2，選項(xiàng)A正確。

圖10

圖11

探討：對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)，畫出的v-t圖像應(yīng)該是“速率-時(shí)間”圖像，而不是“速度-時(shí)間”圖像，那么圖像下的“面積”表示路程而不是位移的大小，故上述解法是錯(cuò)誤的。若圖9中的曲面長度與斜面長度相等，即路程相等(圖11)，那么路程-時(shí)間圖像如圖10所示，則有t1>t2，選項(xiàng)A正確。

另解：曲線運(yùn)動(dòng)的速率-時(shí)間圖線與橫軸圍成的“面積”表示路程，由于圖9中沿曲線運(yùn)動(dòng)的路程大于沿直線運(yùn)動(dòng)的路程，因此速率-時(shí)間圖像有三種情形，畫出v-t圖像如圖12所示。故選項(xiàng)D正確。

圖12

探討：由于題中確定了曲面軌道是球面，那么速度-時(shí)間圖像只能出現(xiàn)一種情況，因此圖12是錯(cuò)誤的。該題無法用圖像法解答，只能進(jìn)行定量推導(dǎo)來解答。

修改：綜上所述，該題在高中物理知識(shí)范圍內(nèi)是無法解答的?？捎卸喾N修改方案，其一，若在原題中補(bǔ)充一個(gè)條件“斜面的傾斜角小于5°”，則選項(xiàng)A正確；其二，若把原題圖9改為圖11，并且補(bǔ)充一個(gè)條件“曲面長度與斜面長度相等”，則選項(xiàng)A正確，但在畫圖時(shí)要注意圖像端點(diǎn)處的斜率為零，即在圖10中曲線的上端與水平線相切，因?yàn)榍嫦露伺c水平面相切，則質(zhì)點(diǎn)在末態(tài)時(shí)的加速度為零。

對(duì)于原題，若把“球面”改為“曲面”，不明確曲面軌道的具體形狀，那么速率圖像是否為圖12呢？這是一個(gè)值得探討的問題，因?yàn)樾枰撟C是否存在一種曲面，使質(zhì)點(diǎn)沿該曲面下滑的時(shí)間等于沿其兩端確定的斜面下滑的時(shí)間，或者大于沿其兩端確定的斜面下滑的時(shí)間，如果不存在，那么圖12就是錯(cuò)誤的。

4 結(jié)語

在教學(xué)過程中，既要謹(jǐn)防錯(cuò)題和錯(cuò)解的出現(xiàn)，又要善于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題和錯(cuò)解，充分利用“錯(cuò)誤”資源，變廢為寶，可起到精準(zhǔn)把脈、對(duì)癥下藥的功能。這種特殊的教學(xué)方式，可激發(fā)學(xué)生求知的興趣和動(dòng)力，促進(jìn)思考、活躍思維，有助于提高教學(xué)效率和效果，更好地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。