縣 勇，吳 亮，杜文舉

(蘭州交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院，蘭州 730070)

截止2020年底，我國高速鐵路營業(yè)里程達到39 000 km，“四縱四橫”運輸通道已基本建成通車.根據(jù)2016年，國家發(fā)展改革委、交通運輸部、中國國家鐵路集團有限公司聯(lián)合發(fā)布的《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》，高速鐵路 “八縱八橫”的網(wǎng)絡(luò)也在快速穩(wěn)步地建設(shè)當(dāng)中.隨著高速鐵路營業(yè)里程地日益增加，這個龐大網(wǎng)絡(luò)的拓撲特征和重要節(jié)點等問題引起了眾多學(xué)者地關(guān)注.從數(shù)學(xué)家歐拉研究哥尼斯堡環(huán)游問題(又稱七橋問題)開始[1]，大多數(shù)學(xué)者發(fā)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)往往可以抽象成網(wǎng)絡(luò)，如果能夠認清網(wǎng)絡(luò)的特性，就可以認清復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì).研究中國高速鐵路運輸網(wǎng)絡(luò)，分析其拓撲結(jié)構(gòu)，認識其復(fù)雜特性，可以為高速鐵路系統(tǒng)的運營者在運輸組織，網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和維護方面提供理論依據(jù).

國內(nèi)外已有很多學(xué)者應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論來研究運輸網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，總結(jié)下來主要分為兩個方面.一方面是研究交通網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)，例如Wang等[2]采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法研究了中國航空運輸網(wǎng)絡(luò)中各個城市的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和節(jié)點中心性，計算比較網(wǎng)絡(luò)的度分布、平均路徑長度和聚類系數(shù)的數(shù)據(jù)，指出中國航空網(wǎng)絡(luò)具有小世界網(wǎng)絡(luò)特性.文獻[3-4]提出了兩種不同的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方式，分別為以鐵路站點作為節(jié)點，以軌道為邊，生成鐵路地理網(wǎng)和以站點為節(jié)點，任意兩個站點間只要有同一列車在這兩個站點停靠，就作為兩個站點間的邊，生成鐵路車流網(wǎng).計算得出鐵路地理網(wǎng)為樹狀網(wǎng)絡(luò)，鐵路車流網(wǎng)為具有無標(biāo)度性質(zhì)的小世界網(wǎng)絡(luò).譚江峽等[5]用鐵路車流網(wǎng)的構(gòu)建思路，在網(wǎng)絡(luò)上近一步引入方向和邊權(quán)，分析了中國客運網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)與地理環(huán)境的相關(guān)性.王偉等[6]在鐵路地理網(wǎng)、車流網(wǎng)的基礎(chǔ)上，又以列車經(jīng)過的所有站點為節(jié)點，同一趟列車路徑上的站點之間存在的連線為邊，構(gòu)建出換乘網(wǎng)絡(luò)，運用統(tǒng)計指標(biāo)分析了它們的拓撲特性并給出了重要節(jié)點的標(biāo)定方法，運用此方法標(biāo)定了中國鐵路網(wǎng)的重要節(jié)點.張?zhí)m霞等[7]同樣在鐵路地理網(wǎng)和車流網(wǎng)的基礎(chǔ)上，對車流網(wǎng)中在車站間經(jīng)停的列車數(shù)目定義為邊的權(quán)重構(gòu)建出鐵路服務(wù)網(wǎng)，指出鐵路服務(wù)網(wǎng)同樣具有無標(biāo)度和小世界特性，同時為近一步研究高速鐵路網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性提供了基礎(chǔ)；另一方面是進行交通網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)分析，例如對網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性分析[8-11]，研究鐵路網(wǎng)的抗毀性評估方法，并近一步提供網(wǎng)絡(luò)修復(fù)方法，為鐵路在突發(fā)事件下的應(yīng)急預(yù)案編制提供理論支撐.葉玉玲等[12]基于高速鐵路網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性，研究了其網(wǎng)絡(luò)的傳播動力學(xué)特點，找到了其傳播規(guī)律以優(yōu)化新線建設(shè)和運行圖地調(diào)整.

國內(nèi)外學(xué)者的研究成果已經(jīng)證明了分析網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性可以反映站點間的關(guān)系、列車間的關(guān)系和網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)水平.而隨著我國高速鐵路運營公里數(shù)逐漸增加，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)愈加密集和復(fù)雜，對其拓撲特性分析的方法論也應(yīng)同步鼎新.本文將構(gòu)建中國高速鐵路的地理網(wǎng)絡(luò)和車流網(wǎng)絡(luò)，統(tǒng)計分析網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度分布、平均最短距離和聚集系數(shù)，再利用網(wǎng)絡(luò)的特征譜[13]分析高速鐵路網(wǎng)絡(luò)拓撲特性，為研究網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)奠定基礎(chǔ)，同時也為列車運行圖調(diào)整提供理論參考.

1 高速鐵路網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

1.1 假設(shè)條件

本文研究選取的數(shù)據(jù)包括高速動車組、動車組和城際高速列車?？康恼军c，是在2016版《中長期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》基礎(chǔ)上，結(jié)合2020年高速鐵路運行線路圖、截止2020年第二階段調(diào)圖后全路開通的1 140個高鐵車站和站點間列車開行情況為數(shù)據(jù)來源.先對節(jié)點選取做出如下假設(shè).

1) 節(jié)點選取以站點所在城市為準(zhǔn)，只考慮到市區(qū)，若同一城市有多個站點的情況，視為一個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點出現(xiàn).

2) 先不考慮跨線列車開行的影響，站點間的線路均為雙線線路，可以雙向行車，站點間的列車開行情況按照列車運行圖中的實際停站方案構(gòu)建.

1.2 高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)

以站點作為節(jié)點，每個站點間實際連通的鐵路線作為邊，構(gòu)建高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò).地理網(wǎng)絡(luò)是高速鐵路運營和滿足運輸需求的設(shè)施支撐和基礎(chǔ)條件.因為高速鐵路是雙線行車，成對開行，所以地理網(wǎng)絡(luò)為無向網(wǎng)絡(luò).設(shè)無向圖GD=(VD,ED)來表示高速鐵路地理網(wǎng)，其中VD={vD,1,vD,2,…,vD,n}，是高速鐵路站點的集合；ED={eD,1,eD,2,…,eD,n}，是相鄰站點間的線路集合；為了方便計算，建立地理網(wǎng)絡(luò)模型的鄰接矩陣AD=(aD,ij)n×n，其中aD,ij表示節(jié)點VD,i和VD,j之間存在的邊數(shù)，當(dāng)aD,ij=1,2,…,n時，表示相鄰車站i和j之間存在n條線路直接相連，當(dāng)aD,ij=0時，表示車站i和j之間不直接相鄰.

1.3 高速鐵路運輸網(wǎng)絡(luò)

將列車通過的所有站點作為節(jié)點，同一車次的列車在經(jīng)過的站點上依次?？?，則將?？康南噜徴军c連接作為邊，構(gòu)建高速鐵路運輸網(wǎng)絡(luò).由于列車成對開行并且上下行?？空军c相同，所以運輸網(wǎng)絡(luò)也為無向網(wǎng)絡(luò).設(shè)無向圖GY=(VY,EY)來表示高速鐵路運輸網(wǎng)，其中VY={vY,1,vY,2,…,vY,n}，是所有列車經(jīng)過高速鐵路站點集合；EY={eY,1,eY,2,…,eY,n}，是同一車次的列車?？寇囌鹃g的連線集合；同時也建立運輸網(wǎng)絡(luò)模型的鄰接矩陣AY=(aY,ij)n×n，其中aY,ij表示節(jié)點vY,i和vY,j之間存在邊，aY,ij取值0或者1，當(dāng)aY,ij=1時，表示車站i和j之間至少存在1列高鐵列車?？?，當(dāng)aY,ij=0時，表示沒有列車同時在車站i和j?？?

2 高速鐵路網(wǎng)拓撲特性分析

2.1 度與度分布

網(wǎng)絡(luò)的一個基本特征是度與度分布，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中某個節(jié)點的度是指網(wǎng)絡(luò)中與該節(jié)點相連接的邊的數(shù)目，節(jié)點平均度是所有節(jié)點的度的平均值，節(jié)點的度越大說明節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的位置越關(guān)鍵.度分布則是對具有不同度的節(jié)點的相對頻率地描述，用P(k)來表示節(jié)點度的分布函數(shù)，表示網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點個數(shù)占總節(jié)點個數(shù)的比值.

如圖1～2所示，根據(jù)計算，高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)中，平均度為3.3，計算結(jié)果中按降序排列取值前十的站點如表1所列.度數(shù)最小為1，是線路的起訖車站；度數(shù)為3的站點最多，這些站點連接了3條線路，說明隨著高速鐵路運營里程和營業(yè)站點得增加，旅客換乘選擇和換乘方便程度也有所提高.度數(shù)最大為10，站點在南京，南京是京滬高鐵、滬漢蓉高鐵、寧杭高鐵、寧安高鐵和寧合高鐵線路上的重要節(jié)點城市，其中南京南站是國家鐵路樞紐站，也是華東地區(qū)最大的交通樞紐和亞洲第一大高鐵站，具有重要的經(jīng)濟和交通地位.其余站點，北京度數(shù)為8，上海、武漢、廣州等重要樞紐站點，度數(shù)為7.度數(shù)值較大說明站點在基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)中具有重要的地位，同時在突發(fā)事件時也更容易造成網(wǎng)絡(luò)不連通.同時，如圖3所示，地理網(wǎng)絡(luò)累計度分布形式，說明高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)具有無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點.

圖1 地理網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點度的大小分布圖Fig.1 Distribution of degree of each node in geographic network

圖2 地理網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的頻率分布圖Fig.2 Frequency distribution of node degree in geographic network

表1 地理網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度值取值前十的站點

圖3 地理網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的累計度分布Fig.3 Cumulative degree distribution of node degree in geographic network

如圖4～5所示，在高速鐵路運輸網(wǎng)絡(luò)中，平均度為51.8，計算結(jié)果中按降序排列取值最大的18個站點，如表2所列.說明平均每個站點城市乘高鐵不需換乘的情況下，可到達全國51個城市，可見中國高鐵已經(jīng)很高的可達性和服務(wù)水平，相對度數(shù)較大的站點主要還是集中在北京、上海、南京、沈陽、合肥、廣州等經(jīng)濟中心和重要交通樞紐，這些站點接發(fā)列車量大，所在線路繁忙，是調(diào)整開行方案和運行圖的重點關(guān)注對象.

2.2 聚集系數(shù)

圖4 運輸網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點度的大小分布圖Fig.4 Distribution of degree of each node in transportation network

圖5 運輸網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的頻率分布圖Fig.5 Frequency distribution of node degree in transportation network

比較高速鐵路兩種網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)取值情況，如圖6～7所示.其中地理網(wǎng)絡(luò)站點聚集系數(shù)大多為0，平均聚集系數(shù)為0.18，說明兩兩相鄰的車站較多，特別是南方網(wǎng)絡(luò)相對密集的地區(qū)，樞紐站點負荷較大，站點或區(qū)段發(fā)生中斷后對行車影響大.而運輸網(wǎng)絡(luò)站點平均聚集系數(shù)達到了0.88，表現(xiàn)出明顯的高聚集性，具有小世界網(wǎng)絡(luò)的特征，也說明高鐵列車開行數(shù)量大，車次相互間晚點傳播具有較大得影響.

表2 運輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度值取值最大的站點

圖6 地理網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點聚集系數(shù)取值Fig.6 Node aggregation coefficient value in geographic network

2.3 平均路徑長度

兩個站點間的路徑長度是它們之間最短路徑的長度或者邊數(shù)，如果兩個節(jié)點間沒有路徑，那么它們之間的距離就是無窮大.而平均最短路徑長度就是網(wǎng)絡(luò)中任意2個站點之間最短路徑長度的平均值.設(shè)在有N個站點的無向網(wǎng)絡(luò)中，站點i和j的最短路徑長度為dij，L是整個網(wǎng)絡(luò)平均最短路徑長度，則有計算公式：

(1)

在物理網(wǎng)絡(luò)中，平均路徑長度值為66.5，表示任選兩個站點，平均要經(jīng)過67個站到達，說明高速鐵路網(wǎng)絡(luò)覆蓋的站點越來越多，連通性較好.在運輸網(wǎng)絡(luò)中，平均路徑長度值為1.59，說明平均情況下，旅客需要乘坐1至2列車，即換乘1次可到達目的站點，說明運輸網(wǎng)絡(luò)具有很好的便捷性.

圖7 運輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點聚集系數(shù)取值Fig.7 Value of node aggregation coefficient in transportation network

3 高速鐵路網(wǎng)絡(luò)特征譜

除了度、聚集系數(shù)和平均路徑長度等統(tǒng)計量，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征值譜也包含了網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的豐富信息.網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣已經(jīng)全面描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的性質(zhì)和節(jié)點間的關(guān)系，進而再用網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的特征值譜用來全面地分析網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性，這有著廣泛的應(yīng)用和重要的意義[13-14].

網(wǎng)絡(luò)的特征值譜就是其鄰接矩陣的特征值的集合，若有N個節(jié)點的無向網(wǎng)絡(luò)G，由于其鄰接矩陣A是實對稱矩陣，則其有N個實特征值(相等的特征值按重數(shù)計)λj,j=1,2,…,N.不同網(wǎng)絡(luò)的特征值譜具有不同的特點，也可以根據(jù)特征譜初步判斷網(wǎng)絡(luò)的類型[15]，根據(jù)前面構(gòu)建的高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)和運輸網(wǎng)絡(luò)，分別計算它們的鄰接矩陣的特征值取值情況如圖8～9所示.

可以看出，高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣的特征值分布跨度大，大多數(shù)較小的特征值比較集中，這符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特征值分布的特點.而運輸網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的特征值分布跨度較小，且分布較均勻，這符合小世界網(wǎng)絡(luò)特征值分布的特點.這與前面通過度分布和聚集系數(shù)分析地理網(wǎng)絡(luò)和運輸網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性得到的結(jié)論一致.

圖8 地理網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣特征值Fig.8 Eigenvalues of adjacency matrix of geographic network

圖9 運輸網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣特征值Fig.9 Eigenvalues of adjacency matrix of transportation network

4 結(jié)論

1) 論文根據(jù)我國高速鐵路2020年線路和車站開通情況及動車組開行情況，分別構(gòu)建出高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)和高速鐵路運輸網(wǎng)絡(luò).并運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論進行了定量計算，根據(jù)分析度與度分布、聚集系數(shù)和平均路徑長度三個指標(biāo)，得出地理網(wǎng)絡(luò)符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性，網(wǎng)絡(luò)中存在度值很高的站點，這些站點所在城市正是國家重要的經(jīng)濟中心和交通樞紐，說明中國高速鐵路網(wǎng)絡(luò)核心骨架已經(jīng)搭建完成.而運輸網(wǎng)絡(luò)符合小世界網(wǎng)絡(luò)的特點，說明中國高速鐵路已經(jīng)具有較好的便捷性.在接下來的研究中要根據(jù)新站點的開通情況及時更新鄰接矩陣，為高速鐵路運輸組織的優(yōu)化和客運產(chǎn)品的設(shè)計提供理論建議.

2) 對高速鐵路地理網(wǎng)絡(luò)和運輸網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣的特征值進行了定量分析，近一步說明了地理網(wǎng)絡(luò)的無標(biāo)度性和運輸網(wǎng)絡(luò)的小世界性，豐富了研究高速鐵路網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的方法體系.這也是下一步研究高速鐵路網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)特點和抗毀性以及修復(fù)性的基礎(chǔ).