閻肖鵬，張志偉，王紅萍

(中國人民解放軍 91550部隊 43分隊，遼寧大連 116023)

0 引 言

目前常用的水聲定位方法大多采用多基站交會定位、匹配場處理技術(shù)等[1-3]。利用多個基站進行交會測量，一般的方法是采用純方位交會定位、到達時間定位或到達時間差定位等[4]。但是隨著海上測量范圍的增加，方位交會體制會隨距離增大，誤差也較快增大而變得不適用；到達時間定位體制則需聲源與陣元之間有嚴格的時間同步，不能應用于非合作目標的定位；而到達時間差(Time Difference of Arrival, TDOA)定位體制主要是通過測量待測聲源到各陣元之間的傳播時間差來實現(xiàn)定位，僅需要各陣元之間的時間同步，特別適用于聲信號的實時處理且定位精度較高[5]。因此，基于TDOA體制的多站時差定位方法更加適用于水下被動定位。由于TDOA方程是觀測值和基站位置信息組成的非線性方程組，因此基于TDOA體制的被動定位解算是一個典型的非線性最優(yōu)化問題。

目前求解TDOA方程組的方法一般可分為迭代方法和解析方法[6-11]，迭代方法如泰勒(Taylor)級數(shù)法，如果初值偏差較大，會導致迭代次數(shù)過多，增加算法的計算量，易出現(xiàn)不收斂的情況。解析方法不存在初始值選擇問題且計算簡單，一直是研究的重點。Chan算法是一種具有解析表達式的非遞歸方程組解法，算法僅需兩次迭代、計算量小且計算直觀。目前該算法被應用于水下測控設(shè)備組網(wǎng)集中式數(shù)據(jù)融合定位、室內(nèi)三維定位、無源雷達定位等方面，具有可靠的精度[12-15]。海上聲源測量區(qū)域范圍大，影響因素復雜，主要存在以下問題：如果測量區(qū)域是深海海域，聲信號傳播條件和聲信道會發(fā)生顯著變化；聲傳播距離的增加就使多途效應更加明顯，不同的到達路徑帶來更豐富的信息，同時載體技術(shù)以及聲基陣構(gòu)型設(shè)計問題會變得更加復雜；陌生深海海域水聲環(huán)境的復雜性和不確定性將增大測量誤差，對可靠性探測有顯著影響等。如何獲取高精度的海上聲源位置信息，是定位測量研究的難點問題，除了考慮測量設(shè)備本身、聲基陣構(gòu)型及復雜海洋環(huán)境等影響，選擇合適TDOA定位方程求解算法也是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。為此，基于Chan算法本身的特性，結(jié)合海上聲源定位測量，本文重點研究了Chan算法在海上聲源測量中的應用。

1 TDOA被動定位原理

設(shè)海上聲源位置為X=(x,y)，基站坐標為Xi=(xi,yi)，其中i=1 ,2,3,…N。如圖1所示，在測量區(qū)域布設(shè)多個接收水聽器或水聽器陣列以獲取水聲信號，圖中三角形符號表示測量區(qū)域布設(shè)的基站，十字表示聲源位置。假設(shè)聲源與接收基站處于同一深度，選定一個參考基站X1=(x1,y1)，如圖中的基站1，分別測量聲源到其他基站與到參考基站X1的時延差Δti，可得到N-1個方程組成的非線性方程組，最后通過常見的TDOA方程解算方法求解該方程組，可得聲源位置坐標。

圖1 TDOA定位原理圖Fig.1 Schematic diagram of TDOA localization

從圖1可以看出，基于TDOA體制的多站時差定位方法本質(zhì)上是利用一組雙曲線交匯的方法確定聲源位置[16]，即利用每一組時延差測量值確定一條雙曲線，最后由多組雙曲線相交確定待測聲源位置。TDOA解算基本流程如圖2所示。

圖2 TDOA定位解算流程Fig.2 Solution procedure of TDOA localization

2 Chan算法

在基于TDOA體制的被動定位模型解算過程中，求解非線性方程組是關(guān)鍵步驟之一。針對式(1)所列非線性方程組，可嘗試采用Chan算法進行求解。Chan算法也稱兩步加權(quán)最小二乘法，是對最大似然估計的近似。其核心思想是首先將TDOA觀測值和基站位置信息建立的非線性方程組轉(zhuǎn)換為未知量和中間變量組成的線性方程組，利用最小二乘法求出聲源位置的一個初步值，然后根據(jù)中間變量和未知變量之間的關(guān)系，最后利用最小二乘法求出聲源位置的改善值。具體求解步驟如下：

其中：ri為聲源到各基站的距離；r1為聲源到參考基站距離。

將式(2)、(3)合并，整理后可得

其中：，Za=(xyr1)T。

3 算法仿真分析

3.1 工況設(shè)計

以選取的參考基站為坐標原點建立二維剖面坐標系，其中y軸正半軸指向正北，x軸正半軸指向正東。測量海域范圍設(shè)為20 km×20 km，在該海域內(nèi)按圖3所示布設(shè)聲學測量基站，在測量設(shè)備上搭載接收水聽器構(gòu)成測量基陣，假設(shè)聲源位于圖3所示區(qū)域內(nèi)，聲源與接收基陣處于同一深度。根據(jù)聲源發(fā)出的水聲傳播信號，采用互相關(guān)技術(shù)，將各基站接收到的水聲信號進行相關(guān)處理來得到TDOA觀測值。

圖3 基站布局示意圖Fig.3 Layout of base stations

假定測量區(qū)域內(nèi)聲速c為常量，c=1 500 m·s-1，僅考慮TDOA測量誤差，TDOA測量噪聲為相互獨立且服從零均值的高斯分布。為研究方便，可將時延差誤差轉(zhuǎn)化為距離差誤差，用σΔr表示，σΔr= cσΔt。?定程度上標志著方程組解的敏感程度，反映了病態(tài)方程組的性態(tài)。因此，在上述最小二乘問題中，可通過計算矩陣的條件數(shù)來判斷Chan算法定位的穩(wěn)健性。表1為不同基站數(shù)目條件下，聲源位于不同位置時，Chan算法中G矩陣條件數(shù)的統(tǒng)計情況。

表1 Chan算法中G矩陣條件數(shù)統(tǒng)計Table 1 G matrix condition numbers of Chan algorithm

3.3 結(jié)果分析

(1) 如圖4(a)所示，若聲源(x,y)處于測量區(qū)域中心附近、直線x=10 km附近或直線y=10 km附近時，利用Chan算法求解方程無法得到可靠的定位結(jié)果，這是因為在利用最小二乘求解聲源位置初步值時，矩陣G的條件數(shù)較大，量級達到104，見表1。而式(6)中GTQ-1G的條件數(shù)為矩陣G條件數(shù)的兩倍，其很小的擾動會引起解向量Za很大的擾動，矩陣病態(tài)性嚴重。因此，聲源(x,y)處于測量區(qū)域中心、直線x=10 km附近或直線y=10 km附近時，Chan算法的定位誤差較大，定位結(jié)果不可靠；當聲源處于其他區(qū)域時，Chan算法的定位精度與Taylor級數(shù)展開法的定位精度相當，如圖4(b)、4(c)所示；當聲源位于(18 km, 18 km)(圖4(f))時，此時矩陣G條件數(shù)較小，約為11.4左右，Chan算法的定位性能穩(wěn)定可靠，定位精度較高；

圖4 四基站布局時定位誤差分布及隨σΔr變化情況Fig.4 Localization error distribution and its variation with σΔr of the four base stations layout

(2) 如圖5(a)、5(b)所示，當采用五基站布局方式時，Chan算法與Taylor級數(shù)展開法的定位精度分布規(guī)律相一致；同時聲源定位精度隨TDOA測量誤差σΔr的變化量級也相當，如圖5(c)～5(e)?？梢钥闯觯敠姚＜200m時，若聲源靠近坐標原點即參考基站附近(圖5(c))，利用Chan算法的定位精度隨TDOA測量誤差的增大而增大，且遜于Taylor級數(shù)展開法的定位精度，而在其他區(qū)域時，如圖5(d)、5(e)所示，定位精度則與Taylor級數(shù)展開法相當，說明Chan算法解算的定位方程組結(jié)果可靠。采用六基站布局時，精度分布規(guī)律及定位精度隨TDOA測量誤差σΔr變化的情況與五基站分布時規(guī)律一致，見圖6。

圖5 五基站布局時定位誤差分布及隨σΔr變化情況Fig.5 Localization error distribution and its variation with σΔr of the five base stations layout

圖6 六基站布局時定位誤差分布及隨σΔr變化情況Fig.6 Localization error distribution and its variation with σΔr of the six base stations layout

(3) 通過分析可知，隨著參加定位的固定基站數(shù)目的增加，Chan算法的定位精度得到提高，當基站數(shù)由四個增加到五個以上時，參與計算的系數(shù)矩陣病態(tài)性能得到了明顯改善，定位結(jié)果更加可靠。因此，在條件允許的情況下，可通過設(shè)置更多的固定基站數(shù)量來獲取更多的TDOA測量值，提高算法的穩(wěn)健性，改善定位精度。通過綜合分析，在本文選擇的工況條件下，四基站布局在位置解算方程組時易出現(xiàn)病態(tài)，定位方程求解困難，當增加基站后，明顯消除了病態(tài)性，算法更加穩(wěn)健，故在實際應用中，為了避免因基站布局產(chǎn)生方程解算的病態(tài)性，建議選擇基站數(shù)目選擇五個以上。

4 結(jié) 論

針對海上聲源位置高精度測量問題，本文研究了Chan算法在海上聲源定位測量中的應用。通過與初值選擇真值的Taylor級數(shù)展開法進行比較，對Chan算法的定位性能進行了評估。結(jié)果表明，利用Chan算法可求得TDOA非線性方程組的顯式解，在求解過程中無需迭代且計算簡單；在本文設(shè)計的工況條件下，當基站數(shù)為四個時，若聲源處于測量區(qū)域中心附近、直線x=10 km附近或直線y=10 km附近時，利用Chan算法無法得到可靠的定位結(jié)果，方程解算出現(xiàn)病態(tài)；當基站數(shù)選擇五個以上時，Chan算法具有較高的定位精度，在方程解算中也避免了病態(tài)性的出現(xiàn)。論文的研究結(jié)果可為海上聲源定位系統(tǒng)的設(shè)計及基站合理布設(shè)提供參考依據(jù)。