摘? 要：遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，對(duì)教材中“基本不等式”的問(wèn)題情境、典型素材、研究方法等進(jìn)行開(kāi)發(fā)與重構(gòu)，旨在幫助學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展.

關(guān)鍵詞：基本不等式;認(rèn)知發(fā)展;教材開(kāi)發(fā);教材重構(gòu)

無(wú)論哪個(gè)版本的教材都有其教學(xué)對(duì)象的適應(yīng)性，教師在研析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）和教材的同時(shí)，應(yīng)深入了解學(xué)生的實(shí)際需要、能力水平和思維習(xí)慣等，創(chuàng)造性使用教材，促進(jìn)學(xué)生全面、主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)體系. 具體而言，教師應(yīng)基于《標(biāo)準(zhǔn)》，充分以學(xué)生的現(xiàn)有水平和實(shí)際需求為出發(fā)點(diǎn)，選取適合他們的學(xué)習(xí)材料，對(duì)這些材料進(jìn)行加工、處理、整合，使教學(xué)內(nèi)容成為適合學(xué)生學(xué)情的素材. 其目的是將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)形態(tài)，將教材的編寫(xiě)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)的最優(yōu)化.

“基本不等式”是高中數(shù)學(xué)不等式部分的核心內(nèi)容，《標(biāo)準(zhǔn)》將其編于“預(yù)備知識(shí)”這一主題中. 本文以此內(nèi)容為研究對(duì)象，以蘇教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》的內(nèi)容為素材，談?wù)劵趯W(xué)生認(rèn)知發(fā)展的學(xué)材重構(gòu)的淺薄思考，敬請(qǐng)指正.

一、情境設(shè)置：應(yīng)基于學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)進(jìn)行考量

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 合理的問(wèn)題情境使學(xué)生置身于簡(jiǎn)潔明了、指向清楚的認(rèn)知任務(wù)中，能有效激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)心向. 反之，遠(yuǎn)離學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的問(wèn)題情境則不能揭示知識(shí)本質(zhì)，而且會(huì)加重學(xué)生的表征負(fù)擔(dān)和認(rèn)知障礙. 例如，用不等臂天平稱(chēng)物的情境引入幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，旨在從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 但是在實(shí)際教學(xué)中，部分學(xué)生不能充分調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知進(jìn)行建?；顒?dòng)，也想不到運(yùn)用杠桿原理處理問(wèn)題，這樣就拉長(zhǎng)了數(shù)學(xué)對(duì)象出現(xiàn)的時(shí)間，沖淡了情境的教學(xué)功能.

情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)具有能揭示知識(shí)本質(zhì)的導(dǎo)向功能，能引發(fā)學(xué)生有效建構(gòu)知識(shí)并提供具體而準(zhǔn)確的現(xiàn)實(shí)原型，實(shí)現(xiàn)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入知識(shí)內(nèi)部的邏輯形式和意義領(lǐng)域. 為此，在創(chuàng)新使用教材的理念下，我們可以淡化兩個(gè)平均數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，以公理化的視角從數(shù)學(xué)內(nèi)部引入新知. 從實(shí)數(shù)的非負(fù)性或重要不等式[a2+b2≥2ab]引入基本不等式. 這樣引入的邏輯起點(diǎn)符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，學(xué)習(xí)對(duì)象指向精確，減少了因理解情境和表征對(duì)象導(dǎo)致的認(rèn)知負(fù)荷，將學(xué)習(xí)的重心落在如何理性認(rèn)識(shí)并深度認(rèn)識(shí)基本不等式這一核心目標(biāo)上. 因此，可以設(shè)置如下情境.

這樣設(shè)計(jì)的意圖是基于知識(shí)之源，突出知識(shí)的生長(zhǎng)性. 首先，“基本事實(shí)”是基本不等式的根，從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“本源”出發(fā)進(jìn)行上位組織，新知識(shí)在“基本事實(shí)”引領(lǐng)下的生成具有生長(zhǎng)性，這種生長(zhǎng)性體現(xiàn)在還可以將“基本事實(shí)”中的[x]賦成其他對(duì)象得到新的恒成立不等式. 其次，對(duì)衍生出的恒成立不等式也有多元的操作方式，如還可以用[m=1a，n=][1b]進(jìn)行代換得到[21a+1b≤ab]. 也可以在其兩邊同時(shí)加上一些項(xiàng)，如同時(shí)加上[m2+n2]，得[2m2+n2≥m+n2].這恰好是最簡(jiǎn)單的二維柯西不等式形式. 由此可見(jiàn)，這樣的情境設(shè)置體現(xiàn)了“基本不等式”中“基本”的內(nèi)核所在，即根本的、本源的屬性.

當(dāng)然，情境重構(gòu)的前提應(yīng)是基于學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)需求，并且要以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展為目標(biāo). 脫離學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)和需求的重構(gòu)行為是毫無(wú)意義的.

二、幾何解釋?zhuān)阂裱瓕W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知方式

教學(xué)中，在提出問(wèn)題“兩個(gè)正數(shù)[a，b]的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系”后，直接引導(dǎo)學(xué)生以幾何的視角對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證猜想，并嘗試作出長(zhǎng)度為[ab]和[a+b2]的兩條線段. 實(shí)際上，如果沒(méi)有教師的引導(dǎo)，學(xué)生在同一個(gè)圖形（如圖1，其中AC = a，BC = b）中作出這樣的幾何對(duì)象是非常困難的.

從整個(gè)認(rèn)知的路線看，這里也略顯突兀：從情境中抽象出對(duì)象[ab]和[a+b2]，再通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證兩者的大小關(guān)系，至此的認(rèn)知活動(dòng)以“推理—演算”為主要方式，正當(dāng)學(xué)生初步形成建立兩者關(guān)系的“感覺(jué)”時(shí)讓學(xué)生切換認(rèn)知方式，從另一個(gè)認(rèn)知視角（即幾何）來(lái)驗(yàn)證正處于“模糊”狀態(tài)下的認(rèn)知對(duì)象. 一方面，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在認(rèn)知方式的轉(zhuǎn)頻上產(chǎn)生間歇性困難，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)思維上的斷層;另一方面，根據(jù)概念二重性理論，一個(gè)概念的形成要從過(guò)程開(kāi)始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)對(duì)象的認(rèn)知過(guò)程. 顯然，之前的代數(shù)值驗(yàn)證活動(dòng)是概念認(rèn)知的過(guò)程階段，此時(shí)的認(rèn)知更多是感性的，而之后的“作圖驗(yàn)證”屬于幾何表征，是在獲得結(jié)論（即[a+b2≥ab]）的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的概念認(rèn)知的對(duì)象階段，很明顯這個(gè)過(guò)程中出現(xiàn)了認(rèn)知方式上的混亂，不利于概念的理性建構(gòu).

筆者認(rèn)為，本節(jié)課的認(rèn)知路線應(yīng)該是“不等式的發(fā)現(xiàn)—不等式的證明—不等式的欣賞”，遵循從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)再到深度認(rèn)識(shí)的逐步認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象的原則. 基于此，建議將素材的順序調(diào)整為：發(fā)現(xiàn)[a+b2≥][ab]—代入數(shù)值進(jìn)一步驗(yàn)證—運(yùn)用不同的方法進(jìn)行證明—從其他角度（幾何、函數(shù)等）進(jìn)行欣賞，促使學(xué)生形成深度理解.

這樣的調(diào)整是將幾何表征作為概念建構(gòu)后進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞的一個(gè)視角，具有可操作性，并且這樣的設(shè)計(jì)也有可生長(zhǎng)性. 例如，在后面學(xué)習(xí)了初等函數(shù)后，可借助初等函數(shù)的性質(zhì)來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解基本不等式的本質(zhì)屬性. 實(shí)際上，在學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)后，教材中都設(shè)置了“比較[fx1+fx22]與[fx1+x22]的大小關(guān)系”的題目. 這樣的設(shè)計(jì)既是基于對(duì)知識(shí)整體認(rèn)知的考慮，也為再度理解基本不等式的本質(zhì)提供了新視角.

三、證法選擇：從單元學(xué)習(xí)的視角進(jìn)行整體認(rèn)知

布魯納說(shuō)過(guò)，無(wú)論我們選教什么學(xué)科，都務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu). 從整個(gè)學(xué)習(xí)單元來(lái)看，實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是解決等式、不等式問(wèn)題的邏輯基礎(chǔ). 通過(guò)類(lèi)比等式的性質(zhì)獲得不等式的性質(zhì)，并以此進(jìn)一步研究基本不等式等是本章的學(xué)習(xí)主線. 因此，研究基本不等式的認(rèn)知起點(diǎn)應(yīng)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系. 筆者認(rèn)為，作差法應(yīng)該是證明基本不等式的首選方法，這樣的選擇體現(xiàn)了單元教學(xué)的邏輯性，突出了知識(shí)的生成是之前認(rèn)知的延續(xù)與生長(zhǎng).

分析法的核心是從證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使其成立的充分條件. 在前一章中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了命題和充要條件，能夠認(rèn)識(shí)到進(jìn)行證明的邏輯依賴(lài)于命題的充要性，而實(shí)施分析法的充要性就是以本章上一節(jié)中的不等式的性質(zhì)為邏輯依據(jù)，分析法實(shí)際上是在不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的推理展示. 盡管這樣的逆向思維是學(xué)生之前認(rèn)知結(jié)構(gòu)中所沒(méi)有的，但是它是基于已有認(rèn)知的邏輯存在. 因此，分析法是符合學(xué)生認(rèn)知整體性和邏輯性的.

綜合法的證明過(guò)程實(shí)際上是前文所述的基于基本事實(shí)的演繹過(guò)程，即從[?x∈R]，[x2≥0]出發(fā)，取[x=][a-b]進(jìn)行的變形，通過(guò)分析，認(rèn)為將其視為發(fā)現(xiàn)對(duì)象的途徑比其作為證明方法的教學(xué)功能更豐富.

通過(guò)以上分析可知，方法的選擇要充分考慮方法在學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)中的整體性，并且還要考慮選擇的方法對(duì)學(xué)生解決相關(guān)問(wèn)題的思維方式形成方面的影響. 因此，三種方法的使用可以調(diào)整成如下的組織結(jié)構(gòu)：綜合法作為不等式發(fā)現(xiàn)的方法—從比較大小的角度選擇作差法證明—從運(yùn)用不等式性質(zhì)及邏輯的角度選擇分析法證明.

值得說(shuō)明的是，這三種方法是不是都要講？是不是一定要照此來(lái)講？教無(wú)定法，貴在得法. 筆者認(rèn)為，應(yīng)該以單元學(xué)習(xí)的整體視角來(lái)審視證明方法的選擇，有什么樣的目標(biāo)定位就選擇什么樣的證明方法（或方法的組合），靈活整合這些方法進(jìn)行講評(píng)，不能孤立地將其作為證明的某一種方法進(jìn)行傳授，而應(yīng)作為整體認(rèn)知中某一個(gè)邏輯點(diǎn)來(lái)考量.

四、弦圖處理：在已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行深度認(rèn)知

趙爽弦圖是經(jīng)典的教學(xué)素材，其結(jié)構(gòu)精妙、內(nèi)涵豐富，是數(shù)與形完美統(tǒng)一的典范. 各版新教材很重視對(duì)該素材的使用及教學(xué)功能的開(kāi)發(fā)：人教A版在正文中以“探究”的方式認(rèn)知趙爽弦圖中蘊(yùn)含的相等關(guān)系和不等關(guān)系;北師大版在閱讀材料介紹趙爽弦圖并揭示其中蘊(yùn)含的不等關(guān)系;蘇教版以“練習(xí)題”的方式要求學(xué)生指出趙爽弦圖的構(gòu)成，并直接說(shuō)明其中存在著的不等關(guān)系;湘教版在正文中以問(wèn)題的形式構(gòu)建出[a2+b2>][2ab]. 除此之外，我們還可以充分挖掘趙爽弦圖的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生在已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行深度的認(rèn)知活動(dòng).

學(xué)生在初中階段已經(jīng)借助趙爽弦圖研究了勾股定理，學(xué)習(xí)基本不等式時(shí)再次運(yùn)用趙爽弦圖進(jìn)行研究，學(xué)生已經(jīng)具備一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)——同樣的圖象背景和認(rèn)知方式（均是從幾何圖形中構(gòu)建代數(shù)關(guān)系），不同的問(wèn)題指向（從等量關(guān)系到不等關(guān)系），這些都是認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的延續(xù)與拓展. 實(shí)際上，在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生利用該學(xué)材進(jìn)行以下探究性活動(dòng).

顯而易見(jiàn)，上述探究活動(dòng)和之前通過(guò)弦圖發(fā)現(xiàn)（或幾何解釋?zhuān)┗静坏仁降恼J(rèn)知方式保持一致，是在已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)下進(jìn)行的探究，而且獲得的結(jié)論是經(jīng)典的不等式鏈，學(xué)生能夠再次感受到幾何圖形中蘊(yùn)含著的代數(shù)關(guān)系的統(tǒng)一美與和諧美，進(jìn)而帶著這樣的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和鑒賞體驗(yàn)去探求更豐富的數(shù)學(xué)結(jié)論，這無(wú)疑對(duì)學(xué)生進(jìn)行深度認(rèn)知是有促進(jìn)意義的.

總之，教材是教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展的行動(dòng)指南. 在使用教材的過(guò)程中，不僅要充分尊重教材，理解教材編寫(xiě)思路和編者意圖，充分認(rèn)識(shí)教材所承載的學(xué)科功能與教育價(jià)值，還要理性考量教材中的素材，創(chuàng)造性地使用教材，以學(xué)生的認(rèn)知和數(shù)學(xué)的邏輯來(lái)審視教學(xué)素材，結(jié)合教學(xué)的實(shí)際情況進(jìn)行重構(gòu)，真正發(fā)揮教材的教育教學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.

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