黃潤(rùn)華

摘? 要：本節(jié)課是統(tǒng)計(jì)思想方法在實(shí)際生活中的典型應(yīng)用案例. 結(jié)合兩個(gè)變量之間線性相關(guān)的具體實(shí)例，經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，理解最小二乘原理，利用計(jì)算器和Excel軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，建立一元線性回歸模型，從而進(jìn)行實(shí)際預(yù)測(cè)，解決實(shí)際問(wèn)題. 了解利用回歸直線刻畫(huà)兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的代表性，理解回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)的中心，并能對(duì)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)結(jié)果進(jìn)行反思.

關(guān)鍵詞：線性回歸;統(tǒng)計(jì)應(yīng)用;數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)處理

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.

2. 內(nèi)容解析

“一元線性回歸模型”是北師大版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)3（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“統(tǒng)計(jì)”第8節(jié)的內(nèi)容，是統(tǒng)計(jì)思想方法在實(shí)際生活中的典型應(yīng)用案例. 在此之前學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，在實(shí)際中經(jīng)常要研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，以最基本的一元線性回歸為載體，通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)特征，用樣本的情況去估計(jì)總體的情況，啟發(fā)學(xué)生理解擬合思想，嘗試構(gòu)造函數(shù)模型去近似刻畫(huà)變量之間的相關(guān)關(guān)系，有利于進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用意識(shí)和能力，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)奠定基礎(chǔ). 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為經(jīng)歷一次完整的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用活動(dòng)，會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖直觀表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，理解直線擬合的思想，理解最小二乘原理，會(huì)利用計(jì)算器和Excel軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，會(huì)根據(jù)最小二乘法建立一元線性回歸模型解決實(shí)際問(wèn)題.

教材從身高與右手一拃長(zhǎng)的相關(guān)關(guān)系研究出發(fā)，通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，觀察發(fā)現(xiàn)所有點(diǎn)都在一條直線附近波動(dòng)，進(jìn)而判斷兩個(gè)變量之間線性相關(guān)，從而可以用一條直線近似刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系. 引入直線擬合的概念，然后思考如何確定這條直線能更合理地近似刻畫(huà)這種關(guān)系. 采取小組討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生從定性到定量，建立一種數(shù)學(xué)上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點(diǎn)到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法，建立一元線性回歸模型. 會(huì)利用信息技術(shù)求出兩個(gè)變量之間的線性回歸方程，從而對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行預(yù)判和決策.

為了創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)習(xí)的實(shí)際問(wèn)題情境，本節(jié)課選取中央電視臺(tái)社會(huì)與法頻道《見(jiàn)證》欄目《神眼追蹤》中足跡鑒定專家神奇破案的真實(shí)案例片斷導(dǎo)入課題，通過(guò)思考怎樣根據(jù)足跡推斷犯罪嫌疑人的身高引出身高與鞋碼有相關(guān)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過(guò)程，探究身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系. 通過(guò)從學(xué)生中現(xiàn)場(chǎng)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，利用散點(diǎn)圖描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)（直線擬合，探索回歸直線方程的求法），運(yùn)用最小二乘法刻畫(huà)數(shù)據(jù)特征求得回歸直線方程，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析與反思等環(huán)節(jié)，理解統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的思路與過(guò)程. 在由散點(diǎn)圖得到兩個(gè)變量之間線性相關(guān)的基礎(chǔ)上，著力探討如何確定一條直線來(lái)更好地近似刻畫(huà)這種關(guān)系，進(jìn)行直線擬合. 通過(guò)小組討論與交流，引導(dǎo)學(xué)生從定性分析到定量計(jì)算，建立一種數(shù)學(xué)上的“理想”的擬合方式，即考慮如何使得所有樣本點(diǎn)到一條直線的“整體距離”最小，從而引入最小二乘法建立一元線性回歸模型. 引導(dǎo)學(xué)生理解任一樣本點(diǎn)[xi，yi]與直線上橫坐標(biāo)為[xi]的點(diǎn)之間的距離是刻畫(huà)點(diǎn)到直線的遠(yuǎn)近的一種新的形式，其平方同樣可以近似刻畫(huà)點(diǎn)到直線的遠(yuǎn)近，從便于運(yùn)算的角度我們選擇平方，最小二乘法的基本思想即使所有樣本點(diǎn)到直線的“距離”的平方和最小. 從而，如果能判斷兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，就能利用最小二乘法求出兩個(gè)變量之間的線性回歸方程，從而進(jìn)行預(yù)判決策.

本節(jié)課旨在建立一種統(tǒng)計(jì)模型來(lái)近似刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，在問(wèn)題解決的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，理解數(shù)據(jù)分析的新思路和新方法，理解方法中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，理解方法的目的和本質(zhì)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)模型的必要性和合理性. 引導(dǎo)學(xué)生陷入機(jī)械、煩瑣的公式計(jì)算中，從數(shù)據(jù)處理的角度思考如何避免繁雜的運(yùn)算，認(rèn)識(shí)到根據(jù)最小二乘法的思想和公式研發(fā)程序是源于生產(chǎn)生活實(shí)際需要，有其必然性，把握數(shù)據(jù)處理的思路，注重與信息技術(shù)的融合，對(duì)于提高學(xué)生的信息素養(yǎng)、進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)都起著非常重要的作用.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

以發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念為核心，踐行“四基”、發(fā)展“四能”，在問(wèn)題解決中著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中“一元線性回歸模型”的內(nèi)容及要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題.

（2）會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān)，理解數(shù)據(jù)分析的思路和方法.

（3）掌握用最小二乘法建立一元線性回歸模型刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的方法.

（4）會(huì)用計(jì)算器和Excel軟件求線性回歸方程，并能根據(jù)一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

（5）理解一元線性回歸模型參數(shù)的含義和統(tǒng)計(jì)結(jié)果的意義，會(huì)進(jìn)行反思.

2. 目標(biāo)解析

目標(biāo)（1）解析：本節(jié)課是統(tǒng)計(jì)應(yīng)用案例，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的研究，經(jīng)歷對(duì)兩個(gè)變量間呈現(xiàn)一個(gè)大致的整體集中趨勢(shì)的近似刻畫(huà)的過(guò)程，開(kāi)拓統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的新天地，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用意識(shí).

目標(biāo)（2）解析：通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖，類比函數(shù)圖象可以看出兩個(gè)變量之間的大致關(guān)系，并判斷它們之間是否線性相關(guān)，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理的新思路和新方法.

目標(biāo)（3）解析：通過(guò)分組討論和思考交流，了解直線擬合的思想，理解最小二乘法是一種方便可行、直觀美妙的方法，從而建立一元線性回歸模型.

目標(biāo)（4）解析：理解運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的必要性，并學(xué)會(huì)利用計(jì)算器和Excel軟件求線性回歸方程，理解程序背后的數(shù)學(xué)思想與方法. 能根據(jù)一元線性回歸模型完成計(jì)算預(yù)測(cè)，從而解決實(shí)際問(wèn)題.

目標(biāo)（5）解析：數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活. 結(jié)合實(shí)際理解一元線性回歸模型的含義和統(tǒng)計(jì)結(jié)果的意義. 通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)各環(huán)節(jié)的反思，逐漸理解問(wèn)卷的設(shè)計(jì)、樣本的選取、分析方法的運(yùn)用都會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響，引導(dǎo)學(xué)生理解對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果保持批判性態(tài)度的必要性和重要性.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷

在義務(wù)教育階段，學(xué)生初步建立了統(tǒng)計(jì)觀念，了解了統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程，學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析的基本方法. 在高中階段，學(xué)生通過(guò)統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步發(fā)展了統(tǒng)計(jì)觀念，能較好地把握數(shù)據(jù)分析的基本思路，對(duì)統(tǒng)計(jì)的基本思想與應(yīng)用有了更加深刻的體會(huì).

學(xué)生不知道應(yīng)該怎樣刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系. 盡管經(jīng)過(guò)初中的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了比較豐富的函數(shù)知識(shí)，知道了函數(shù)可以刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的一種確定性關(guān)系，但是對(duì)不滿足函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量要怎么處理會(huì)感到困難. 要引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)是一個(gè)變量可能受到其他多個(gè)變量的影響，故它的值會(huì)呈現(xiàn)一定的隨機(jī)性或者波動(dòng)性，這種波動(dòng)在大量數(shù)據(jù)中往往會(huì)呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，這就是回歸分析要解決的問(wèn)題. 對(duì)兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的刻畫(huà)，本質(zhì)上是利用函數(shù)模型進(jìn)行近似刻畫(huà)，蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化與化歸思想. 在畫(huà)出散點(diǎn)圖后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、刻畫(huà)兩個(gè)變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)特征.

在給出線性相關(guān)的基礎(chǔ)上，到底用哪條直線近似刻畫(huà)更好，學(xué)生感到很茫然. 故而采取分組討論的方式，先讓學(xué)生自主嘗試，彼此交流想法，體會(huì)回歸的含義，畫(huà)出直線，然后通過(guò)小組間的交流再去歸納共性，建立一定的“理想”標(biāo)準(zhǔn)——所有樣本點(diǎn)和直線整體上最接近.

怎么刻畫(huà)所有樣本點(diǎn)和直線整體上最接近呢？這是一個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生理解在橫坐標(biāo)一定的情況下，樣本點(diǎn)可以理解為在平均水平上下波動(dòng)，從而建立一種新的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)到直線的遠(yuǎn)近，即用任意一點(diǎn)[xi，yi]與這條直線上橫坐標(biāo)為[xi]的點(diǎn)之間的距離來(lái)刻畫(huà)，而不是用數(shù)學(xué)上的距離來(lái)刻畫(huà). 不僅如此，絕對(duì)值還面臨一個(gè)計(jì)算上的困難，而統(tǒng)計(jì)上在方差里已經(jīng)用了平方和表示，這里的本質(zhì)其實(shí)是一樣的. 教學(xué)中采用對(duì)話教學(xué)法，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移.

學(xué)生對(duì)系數(shù)計(jì)算公式的理解存在較大的困難. 根據(jù)最小二乘法推導(dǎo)出來(lái)的系數(shù)計(jì)算公式比較復(fù)雜，還包括兩種不同形式的表達(dá)，直接運(yùn)用公式計(jì)算需要分若干步，比較麻煩. 教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)公式，分析公式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地了解公式，并逐步滲透研發(fā)程序計(jì)算的必要性，建立自然合理的教學(xué)邏輯，了解程序背后的思想方法.

利用計(jì)算器和Excel軟件求線性回歸方程屬于新的技能，需要教師以適當(dāng)?shù)姆绞絺魇? 雖然學(xué)生具備了一定的計(jì)算機(jī)操作與計(jì)算器使用技能，但涉及利用最小二乘原理求系數(shù)的值，這需要學(xué)會(huì)使用計(jì)算器有關(guān)的統(tǒng)計(jì)功能. 為了使計(jì)算器操作程序直觀化、效果有引領(lǐng)性，教師在課前錄制“利用計(jì)算器求線性回歸方程”的微課，課上播放微課傳授新技能. 而對(duì)于利用Excel軟件求線性回歸方程，則根據(jù)其操作簡(jiǎn)單易學(xué)的特點(diǎn)，采取教師隨堂操作演示的方式傳授技能，并錄制微視頻供學(xué)生課后上機(jī)操作時(shí)使用，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，輔助學(xué)生學(xué)習(xí).

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是理解直線擬合的必要性與合理性，掌握建立一元線性回歸模型的一般原理. 為突破難點(diǎn)，設(shè)計(jì)了求線性回歸方程的小組討論活動(dòng)和幫助小賣(mài)部決策等問(wèn)題，在探究和交流中領(lǐng)會(huì)思想，提升統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的能力.

四、教學(xué)媒體設(shè)計(jì)

本節(jié)課思想性、整體性、應(yīng)用性強(qiáng)，決定采用情境—啟發(fā)式探究教學(xué)模式，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的環(huán)境，通過(guò)小組討論與實(shí)踐應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生理解擬合思想，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力與合作交流能力，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí). 為創(chuàng)設(shè)情境，更好地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，本節(jié)課主要進(jìn)行了如下設(shè)計(jì).

1. 導(dǎo)入使用真實(shí)案例

為了創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，選取了中央電視臺(tái)社會(huì)與法頻道《見(jiàn)證》欄目的真實(shí)神探破案視頻導(dǎo)入課題，圍繞神探怎樣由足跡推斷出犯罪嫌疑人的身高這一核心問(wèn)題，根據(jù)足跡提供的有關(guān)信息，導(dǎo)入身高與鞋碼這兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的研究.

2. 設(shè)計(jì)了畫(huà)散點(diǎn)圖的課堂活頁(yè)

為了讓學(xué)生親自體會(huì)描點(diǎn)畫(huà)圖描述身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系的過(guò)程，專門(mén)設(shè)計(jì)了一份課堂活頁(yè)，內(nèi)容為平面直角坐標(biāo)系，橫軸表示鞋碼，縱軸表示身高，標(biāo)示了相應(yīng)的數(shù)值，便于學(xué)生描點(diǎn). 展示學(xué)生作圖成果，并在后面的小組討論中繼續(xù)使用，在黑板上張貼畫(huà)回歸直線的成果，表述作法，有效揭示了學(xué)生的思維過(guò)程.

3. Excel表格一表多用，無(wú)縫銜接

在現(xiàn)場(chǎng)收集數(shù)據(jù)時(shí)，由學(xué)生負(fù)責(zé)將樣本數(shù)據(jù)逐一輸入Excel表格中，運(yùn)用信息技術(shù)將表格數(shù)據(jù)同步到描述數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)和學(xué)生利用計(jì)算器根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算線性回歸方程、教師操作演示利用Excel軟件求線性回歸方程等環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的同步無(wú)縫應(yīng)用，體現(xiàn)了信息技術(shù)的實(shí)用性.

4. 自主錄制微課，傳授技能

經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用計(jì)算器求線性回歸方程，采取了自主錄制微課的形式;為了輔助學(xué)生課后上機(jī)利用Excel軟件求線性回歸方程，也錄制了一個(gè)微課，供學(xué)生自主學(xué)習(xí)使用，課堂上不播放.

5. 課件簡(jiǎn)潔優(yōu)美

整節(jié)課共六個(gè)環(huán)節(jié)，僅使用10張幻燈片，節(jié)奏明快，界面簡(jiǎn)潔優(yōu)美，既呈現(xiàn)了主要思路和內(nèi)容，又做到了不同環(huán)節(jié)之間必要的無(wú)縫對(duì)接，信息技術(shù)融合應(yīng)用恰當(dāng).

6. 板書(shū)簡(jiǎn)潔有條理

板書(shū)呈現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的主要過(guò)程和一元線性回歸模型的基本原理，通過(guò)學(xué)生活動(dòng)和小組活動(dòng)成果的展示，能夠引導(dǎo)學(xué)生更好地理解直線擬合的背景和一元線性回歸模型的含義，便于學(xué)生從整體上把握整節(jié)課的學(xué)習(xí).

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

（1）俗話說(shuō)，三百六十行，行行出狀元. 各行各業(yè)都有許多楷模. 他們是公安楷模，是人民的守護(hù)神. 下面我們來(lái)看一段公安神探破案的視頻.

播放《見(jiàn)證》欄目《神眼追蹤》中神探足跡鑒定專家神奇破案的真實(shí)案例片斷.

（2）思考：神探根據(jù)足跡推斷出了犯罪嫌疑人的身高，足跡能給我們提供什么信息呢？

（3）提出問(wèn)題：它們之間的相關(guān)關(guān)系具體是怎樣的？神探又是怎樣推斷的呢？

（4）導(dǎo)入課題：一元線性回歸模型.

【設(shè)計(jì)意圖】以真實(shí)案件視頻片斷導(dǎo)入課題，關(guān)注社會(huì)、設(shè)置懸念，從研究身高與鞋碼之間的相關(guān)關(guān)系入手，也為后面反思身高與足跡之間的相關(guān)關(guān)系埋下伏筆.

2. 統(tǒng)計(jì)分析，探究交流

要研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，我們首先應(yīng)該做什么呢？

收集數(shù)據(jù)：現(xiàn)場(chǎng)收集[8]對(duì)鞋碼與身高的數(shù)據(jù)，用Excel軟件同步導(dǎo)入如表1所示的電子表格中.

通過(guò)觀察表中數(shù)據(jù)，大體上可以發(fā)現(xiàn)，隨著鞋碼的增加，身高也在增加.

【設(shè)計(jì)意圖】從在座學(xué)生中現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)收集鞋碼與身高的數(shù)據(jù)，使樣本數(shù)據(jù)源自學(xué)生，讓學(xué)生體驗(yàn)樣本的隨機(jī)性，理解樣本的代表性.

描述數(shù)據(jù)：觀察表中數(shù)據(jù)，大體上看，隨著鞋碼的增加，身高也在增加. 你會(huì)怎樣來(lái)直觀表示身高與鞋碼之間的這種關(guān)系呢？

類比函數(shù)圖象，描點(diǎn)畫(huà)圖. 不妨設(shè)鞋碼為[x]，身高為[y]，得到[8]個(gè)數(shù)對(duì)[x1，y1， x2，y2，…， x8，y8]，將它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái)，所得到的圖稱為散點(diǎn)圖.

學(xué)生在活頁(yè)上的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖. 教師展示學(xué)生作圖成果，張貼到黑板上，隨即分析圖形特點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù)去認(rèn)識(shí)身高與鞋碼兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，并親自畫(huà)散點(diǎn)圖直觀表示它們之間的相關(guān)關(guān)系，為數(shù)據(jù)分析作準(zhǔn)備，了解擬合的背景.

分析數(shù)據(jù)：觀察散點(diǎn)圖，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng).

線性相關(guān)：如果散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，稱變量間線性相關(guān). 此時(shí)，可以用一條直線來(lái)近似刻畫(huà)它們之間的關(guān)系，這樣近似的過(guò)程稱為直線擬合.

探究：怎樣確定這條直線呢？你是怎么想的？在小組內(nèi)交流，并畫(huà)出這條直線.

教師展示小組討論成果，匯報(bào)各自想法，分析不同想法的共同點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)確定回歸直線的小組討論活動(dòng)，自主探究、交流討論，加深對(duì)回歸含義的感知，并嘗試得出確定這條直線的方法.

3. 建立模型，理解原理

各小組做法雖然不同，但其實(shí)想法是一致的，都是希望所有點(diǎn)和這條直線盡可能接近，也就是整體距離最小，如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求和課程安排，著重把握方法背后的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生課后探討使[Q]最小的系數(shù)[b，a]公式的推導(dǎo)過(guò)程，課堂上對(duì)公式進(jìn)行詳實(shí)分析，充分認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美. 同時(shí)，還分析得到回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，了解回歸直線的代表性.

4. 運(yùn)行程序，計(jì)算預(yù)測(cè)

設(shè)置遞進(jìn)式問(wèn)題串：（1）有了公式，下面是否可以動(dòng)手計(jì)算系數(shù)[b，a]呢？（2）是否可以用計(jì)算器？（3）用計(jì)算器肯定可以輕松很多，但是如果有成千上萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)呢？

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，根據(jù)最小二乘法的思想和公式研發(fā)程序進(jìn)行數(shù)據(jù)處理成為必然.

【設(shè)計(jì)意圖】從公式的理解到引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)用公式計(jì)算系數(shù)[b，a]的困難，感受使用計(jì)算器的必要性，再考慮到統(tǒng)計(jì)往往面對(duì)的是大量的數(shù)據(jù)處理工作，用計(jì)算器替代公式計(jì)算也是非常繁雜且易出錯(cuò)的，從而認(rèn)識(shí)到研發(fā)程序的必要性，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算的思維.

利用計(jì)算器求回歸方程（播放微課），先開(kāi)啟計(jì)算器，然后分如下三個(gè)步驟.

① 選擇模式：按MODE鍵，進(jìn)入模式選擇，按[3]，選擇Reg回歸，再按[1]，選擇Lin線性.

② 輸入數(shù)據(jù)：按SHIFT鍵 + CLR + 1[=]，清空統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)器，再逐一輸入收集的數(shù)據(jù).

③ 計(jì)算統(tǒng)計(jì)變量，按SHIFT鍵，按數(shù)字鍵[2]，就切換到了S-VAR功能，按兩次方向鍵，選擇[1]，計(jì)算[a]，同樣操作，選擇[2]，計(jì)算[b].

具體參考操作步驟如下圖所示.

學(xué)生兩人一組，根據(jù)剛才的數(shù)據(jù)計(jì)算[a，b]的值.

學(xué)生報(bào)告操作結(jié)果.

【設(shè)計(jì)意圖】為了便于傳授利用計(jì)算器求值的技能，經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，確定由教師錄制微課;為了突出程序思維，將利用計(jì)算器求值的技能分為三個(gè)步驟，易懂易學(xué)、方便操作.

利用Excel軟件求回歸方程.

如果有很多數(shù)據(jù)，怎么導(dǎo)入呢？需要一個(gè)個(gè)輸入嗎？教師操作演示，順便驗(yàn)證大家剛才的操作結(jié)果. 具體步驟如下.

① 在Excel表格中選定表示鞋碼與身高關(guān)系的散點(diǎn)圖，在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢(shì)線”選項(xiàng)，彈出“添加趨勢(shì)線”對(duì)話框.

② 單擊“類型”標(biāo)簽，選定“趨勢(shì)預(yù)測(cè) / 回歸分析類型”中的“線性”選項(xiàng)，單擊“確定”按鈕，得到回歸直線.

③ 雙擊回歸直線，彈出“趨勢(shì)線格式”對(duì)話框. 單擊“選項(xiàng)”標(biāo)簽，選定“顯示公式”，最后單擊“確定”按鈕，得到回歸直線的方程.

計(jì)算結(jié)果為什么是一樣的呢？

用計(jì)算器和用Excel軟件求回歸方程本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別，都是根據(jù)最小二乘法的思想和公式計(jì)算. 不僅如此，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)軟件SAS和SPSS也是根據(jù)最小二乘法的思想和公式求線性回歸方程.

課后，教師讓學(xué)生參考視頻教程在計(jì)算機(jī)上操作實(shí)踐.

有了回歸方程，我們就知道了身高與鞋碼的具體相關(guān)關(guān)系，并且可以根據(jù)鞋碼預(yù)測(cè)身高. 例如，根據(jù)[42]碼的鞋印預(yù)測(cè)身高大概是多少？即當(dāng)[x=42]時(shí)，[y≈175.5].

【設(shè)計(jì)意圖】從計(jì)算器到Excel軟件，從微課傳授技能到當(dāng)堂操作演示，都是以教與學(xué)的需要為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算器和計(jì)算機(jī)軟件求線性回歸方程的區(qū)別與聯(lián)系，并介紹了標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)軟件. 加強(qiáng)信息技術(shù)與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的融合，啟發(fā)學(xué)生思考如何從機(jī)械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解脫出來(lái)，培養(yǎng)程序化思維，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念和信息素養(yǎng). 配套使用Excel軟件求回歸方程的微視頻教程，供學(xué)生上機(jī)操作時(shí)參考. 分析不同軟件求回歸方程的本質(zhì)，滲透程序思想.

5. 分析反思，實(shí)際預(yù)測(cè)

下面我們利用全國(guó)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)一下鞋碼為[42]碼的人對(duì)應(yīng)的身高.

比較兩個(gè)預(yù)測(cè)的樣本與結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

反思1：預(yù)測(cè)結(jié)果差異大嗎？哪個(gè)結(jié)果會(huì)相對(duì)可靠呢？為什么？

反思2：事實(shí)上，視頻中足跡專家的推斷與實(shí)際非常吻合，他怎么能推斷得這么準(zhǔn)呢？如果只根據(jù)鞋碼推斷可靠嗎？

鞋碼是一元的，足跡是多元的，專家一般都是研究多元變量的影響進(jìn)行推斷的.

怎么進(jìn)行多元回歸分析呢？教師讓感興趣的學(xué)生課后思考.

【設(shè)計(jì)意圖】統(tǒng)計(jì)是根據(jù)樣本的情況估計(jì)總體情況，回歸分析是通過(guò)函數(shù)模型近似刻畫(huà)相關(guān)變量關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法. 設(shè)計(jì)分析反思活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的合理性進(jìn)行必要的批判與質(zhì)疑，從數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論再回歸到生活實(shí)際，呼應(yīng)本節(jié)課引入的真實(shí)問(wèn)題情境，身高與鞋碼之間是一元線性相關(guān)，而身高與足跡之間卻是多元回歸分析問(wèn)題，將相關(guān)關(guān)系的思考延伸到課外，重視培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維和應(yīng)用意識(shí).

實(shí)際預(yù)測(cè)：線性回歸能夠幫助我們進(jìn)行實(shí)際的預(yù)判決策.

學(xué)校旁邊有個(gè)小賣(mài)部賣(mài)奶茶，根據(jù)表2中收集的數(shù)據(jù)，你能幫小賣(mài)部進(jìn)行決策嗎？看看氣溫是[6]℃時(shí)大概要準(zhǔn)備多少杯奶茶.

解析：根據(jù)最小二乘原理，利用計(jì)算器求得回歸方程為[y=-2.450 5x+147.48].

當(dāng)[x=6]時(shí)，[y≈133].

所以氣溫是[6]℃時(shí)大概要準(zhǔn)備[133]杯奶茶.

思考：系數(shù)[-2.450 5]的含義是什么？常數(shù)[147.48]呢？

氣溫每增加[1]℃，要準(zhǔn)備的奶茶杯數(shù)大約減少[2.450 5]杯.

思考交流：通過(guò)剛才的預(yù)判決策過(guò)程，你有什么體會(huì)？

教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行預(yù)判決策的過(guò)程，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的意義和作用.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)為小賣(mài)部決策的活動(dòng)，將問(wèn)題情境生活化，讓學(xué)生真正經(jīng)歷正確建立一元線性回歸模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，把握一元線性回歸分析的知識(shí)邏輯，深刻理解最小二乘原理，即只有在兩個(gè)變量之間線性相關(guān)的基礎(chǔ)上根據(jù)最小二乘法的思想和公式求出的回歸方程才有具體的實(shí)際意義，才能進(jìn)行有效的預(yù)判決策，并從中體會(huì)統(tǒng)計(jì)的作用.

6. 課堂總結(jié)，布置作業(yè)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？

首先，由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，并交流學(xué)習(xí)體會(huì).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生總結(jié)的過(guò)程，把握統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過(guò)程，理解數(shù)據(jù)分析的新思路和新方法，抓住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，深化對(duì)一元線性回歸模型的理解和應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

這節(jié)課，我們主要通過(guò)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模，理解了直線擬合的基本思想和方法，會(huì)建立一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)判和決策.

然后，我們仿照民族英雄辛棄疾的《青玉案·元夕》填詞一首《青玉案·回歸》來(lái)總結(jié)這節(jié)課的主要內(nèi)容：預(yù)判決策找思路，最小二乘來(lái)相助. 眾里尋他千百度. 驀然回首，回歸線過(guò)，樣本中心處.

課后作業(yè)：小組統(tǒng)計(jì)活動(dòng). 課后以小組為單位，分工協(xié)作，自主選取生活中感興趣的兩個(gè)相關(guān)變量進(jìn)行研究.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師再總結(jié)，把握本節(jié)課的主要思路和學(xué)習(xí)目標(biāo)，并根據(jù)辛棄疾的詞填詞，以直觀有趣的形式概括這節(jié)課的主要內(nèi)容，挖掘數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.設(shè)置小組課題研究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，自主選擇課題研究，能進(jìn)一步加強(qiáng)合作交流，加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用意識(shí)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

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[2]王爽. 對(duì)“回歸分析”的再認(rèn)識(shí)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（7）：33-35.