王莉杰 姜恩華

【摘? ?要】? ?該文借助壓縮感知理論完成MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)，分別采用壓縮采樣匹配追蹤（CoSaMP）算法和廣義正交匹配追蹤（GOMP）算法重構(gòu)信道參數(shù)，與最小二乘（LS）算法比較，通過(guò)歸一化均方誤差（NMSE）展現(xiàn)了壓縮感知類(lèi)算法能夠有效地提高信道參數(shù)重構(gòu)的精度。該文設(shè)計(jì)了一個(gè)MIMO-OFDM通信系統(tǒng)，測(cè)試了壓縮感知算法對(duì)數(shù)據(jù)傳輸?shù)恼`碼率（BER）的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于壓縮感知的算法能夠有效降低系統(tǒng)的誤碼率（BER）。

【關(guān)鍵詞】? ?GOMP;CoSaMP;壓縮感知;信道估計(jì);MIMO-OFDM系統(tǒng)

Application of Compressed Sensing Theory in the Channel Estimation of the MIMO-OFDM System

WANG Li-jie，JIANG En-hua*

（Huaibei Normal University ，Huaibei 235000 ，China）

【Abstract】? In the MIMO-OFDM system，the channel estimation provides channel information for the receiver. Because the time-domain sparsity of wireless channel， the compressed sensing theory is used to complete the channel estimation of the MIMO-OFDM system in this paper，the compressed sampling matching pursuit （CoSaMP） algorithm and the generalized orthogonal matching pursuit （GOMP） algorithm are used to reconstruct the channel parameter，and compared with the least squares （LS） algorithm， the normalized mean square error （NMSE） shows that compressed sensing algorithms can effectively improve the accuracy of reconstruting channel parameter. The MIMO-OFDM communication system is designed and the effect of compressed sensing algorithms is tested by the bit error rate （BER） of data transmission in this paper，the experiment results show that the algorithms based on the compressed sensing can effectively reduce bit error rate （BER） of the system.

【Keywords】? GOMP;CoSaMP;Compressed sensing theory;Channel estimation;MIMO-OFDM system

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕? TN911 ? ? ? ? ? ? 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕? A ? ? ? ? ? ? ?〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2021）01- 0000 - 00

0? ? ?引言

OFDM技術(shù)有效地降低了頻率選擇性衰落信道中多徑效應(yīng)帶來(lái)的干擾，該技術(shù)可以與MIMO收發(fā)器組合構(gòu)成MIMO-OFDM技術(shù)，MIMO收發(fā)器通過(guò)使用分集技術(shù)和空分復(fù)用技術(shù)有效地提高了通信鏈路的數(shù)據(jù)傳輸效率和信道總?cè)萘縖1]。在無(wú)線通信中，由于復(fù)雜的環(huán)境和噪聲使得無(wú)線信道具有時(shí)變性，所以在接收端精確的估計(jì)無(wú)線信道參數(shù)顯得尤為重要。隨著對(duì)無(wú)線移動(dòng)通信的深入研究，越來(lái)越多的實(shí)驗(yàn)表明無(wú)線信道時(shí)域具有稀疏性[2]。由于壓縮感知理論能夠準(zhǔn)確的重構(gòu)出稀疏信號(hào)，因此本文采用壓縮感知理論估計(jì)無(wú)線信道的參數(shù) [3-5]。

本文以[2×2Alamouti]編碼器模型為基礎(chǔ)，把OFDM技術(shù)加入到該模型中搭建了一個(gè)[2×2]MIMO-OFDM通信系統(tǒng)。采用壓縮感知重構(gòu)算法CoSaMP算法和GOMP算法完成該通信系統(tǒng)的無(wú)線信道參數(shù)估計(jì)，與LS算法比較，結(jié)果表明壓縮感知重構(gòu)算法能夠有效的提高重構(gòu)的精度。

1? ? ?壓縮感知理論概述

在MIMO-OFDM通信系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)在傳輸過(guò)程中受噪聲的影響，因此在信道估計(jì)中壓縮感知模型選擇的是有噪聲的壓縮感知模型。

1.1? ?有噪聲的壓縮感知模型

若長(zhǎng)度為N的一維信號(hào)[x]中只有K（K<<N）個(gè)非零的元素，稱(chēng)[x]是[K]-稀疏的。用觀測(cè)矩陣[Φ∈RM×N]將稀疏信號(hào)[x]映射為觀測(cè)信號(hào)[y]，若在觀測(cè)過(guò)程中出現(xiàn)噪聲[z∈RM]，則觀測(cè)信號(hào)[y]可以表示為：

[y=Φx+z]? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

由于[K<M<N]，求解式（1）不能得出唯一解?？梢园亚蠼庀∈栊盘?hào)[x]采用[l0]-范數(shù)的優(yōu)化求解，求解[l0]-范數(shù)問(wèn)題屬于非凸的最優(yōu)化求解方法，可轉(zhuǎn)化為[l1]-范數(shù)問(wèn)題求解，要求觀測(cè)矩陣[Φ]滿足受限等距性。若存在[δK∈（0，1）]使式（2）成立：

[（1-δK）x22≤Φx22≤（1+δK）x22]? ? ? ?（2）

則稱(chēng)觀測(cè)矩陣[Φ]滿足[K]階受限等距性[6]。式（2）中[δK]為RIP常數(shù)，[||x||22=i=1N|x|2]。

利用貪婪算法或凸優(yōu)化算法重構(gòu)稀疏信號(hào)如式（3）所示：

[minxx1? ? s.t.? y-Φx<ε]? ? ? ?（3）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?式（3）中ε表示與噪聲信號(hào)相關(guān)的容限錯(cuò)誤參數(shù)[7]。

1.2? ?壓縮感知重構(gòu)算法

在壓縮感知重構(gòu)算法中，貪婪迭代類(lèi)算法收斂速度更快且計(jì)算復(fù)雜度更低[8]。本文采用壓縮感知重構(gòu)算法中的兩種貪婪迭代算法—CoSaMP算法和GOMP算法完成MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)。

2? ? ?MIMO-OFDM系統(tǒng)

MIMO-OFDM技術(shù)是用MIMO多天線技術(shù)配置實(shí)現(xiàn)OFDM多載波的一種數(shù)據(jù)傳輸方案，該技術(shù)兼容了MIMO技術(shù)和OFDM技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

2.1? ?MIMO-OFDM通信系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸原理

設(shè)發(fā)送端和接收端分別使用[NT和NR]根天線利用空間域?qū)崿F(xiàn)分集技術(shù)，MIMO-OFDM系統(tǒng)框圖如圖1所示。

在發(fā)送端首先將串行信號(hào)轉(zhuǎn)變成并行信號(hào)，然后用子載波對(duì)其調(diào)制并進(jìn)行快速傅里葉逆變換（IFFT），IFFT變換不僅實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的頻/時(shí)轉(zhuǎn)換而且保證了相鄰子載波之間的正交性[9]。并行信號(hào)通過(guò)[NT]個(gè)天線發(fā)送，通過(guò)含有噪聲的多徑信道到達(dá)接收端。在接收端，[NR]組并行信號(hào)通過(guò)快速傅里葉變換（FFT）實(shí)現(xiàn)時(shí)/頻轉(zhuǎn)換。

設(shè)H為信道頻域沖激響應(yīng)矩陣，其表達(dá)式如式（4）所示：

[H=H11H12…H1NTH21H22…H2NT????HNR1HNR2…HNRNT]?; ? ? ? （4）

式（4）中[HNRNT]表示第[NR]根接收天線和第[NT]根發(fā)送天線之間信道的頻域沖激響應(yīng)[10]。

在MIMO-OFDM通信系統(tǒng)中，輸出信號(hào)[Y=[Y1，Y2，...，YNR]T]和輸入信[X=[X1，X2，...，XNT]T]的線性關(guān)系如式（5）所示：

[Y1Y2?YNR=H11H12…H1NTH21H22…H2NT????HNR1HNR2…HNRNTX1X2?XNT+Z1Z2?ZNR ] （5）

式（5）中[Z=[Z1，Z2，...ZNR]T]是[[z1，z2，...zNR]T]的頻域表示。

2.2? ?2[×]2 Alamouti編碼器模型

1998年Alamouti提出了一種新的編碼技術(shù)，該技術(shù)在獲得最大的分集增益的同時(shí)也簡(jiǎn)化了編碼的復(fù)雜度[11]。設(shè)輸入信號(hào)[x=[x1，x2]]，根據(jù)Alamouti編碼規(guī)則輸入信號(hào)應(yīng)該按照[XA]所示的空-時(shí)碼字矩陣編碼，矩陣[XA]如式（6）所示：

[XA=x1-x*2x2x*1]? ? ? ? ? ? ?（6）

[2×2 Alamouti]編碼器模型如圖2所示，從圖2可以看出矩陣[XA]的元素周期地從兩個(gè)發(fā)送天線發(fā)射：天線1和天線2在兩個(gè)周期內(nèi)發(fā)送的信號(hào)分別為[x1=[x1，-x*2]]和[x2=[x2，x*1]]，其中信號(hào)[x1和]信號(hào)[x2]正交且功率相等[12]。

圖2中[h11，h12，h21，h22]表示對(duì)應(yīng)天線間的信道沖激響應(yīng)，[z1，z3和z2，z4]分別表示兩個(gè)周期對(duì)應(yīng)時(shí)刻接收天線疊加的噪聲，接收端信號(hào)[r1，r2，r3，r4]可用方程組（7）表示：

[r1=x1h11+x2h12+z1，r2=-x*2h11+x*1h12+z2，r3=x1h21+x2h22+z3，r4=-x*2h21+x*1h22+z4，]? ? ? ? ?（7）

2.3? ?2[×]2 MIMO-OFDM系統(tǒng)

以[2×2 ]Alamouti編碼器模型為基礎(chǔ)，把[OFDM]技術(shù)加入到該模型中形成一個(gè)[2×2 ]MIMO-OFDM系統(tǒng)，[2×2 ]MIMO-OFDM系統(tǒng)如圖3所示。

對(duì)式（7）作FFT變換得到[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸方程如式（8）所示：

[R1=Wr1=Wx1h11+Wx2h12+Wz1R2=Wr2=-Wx*2h11+Wx*1h12+Wz2R3=Wr3=Wx1h21+Wx2h22+Wz3R4=Wr4=-Wx*2h21+Wx*1h22+Wz4] （8）

式（8）中W為傅里葉變換矩陣。

2.4? ?基于壓縮感知的信道估計(jì)

為了將MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)和壓縮感知理論求解稀疏信號(hào)[x]聯(lián)系在一起，需要將式（8）中的方程改寫(xiě)成形如式（1）的表達(dá)式，首先[R1和R3]可以表示為：

[R1=diag（x1）W，diag（x2）Wh11h12+Wz1，R3=diag（x1）W，diag（x2）Wh21h22+Wz3，]? ? （9）

記[Φ=diag（x1）W，diag（x2）W]，[Z=[Wz1，Wz2]T]，式（9）變換成式（10）：

[R=Φh+Z]? ? ? ? ? ? （10）

對(duì)比式（10）和式（1），[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)接收端信號(hào)R相當(dāng)于壓縮感知理論中的觀測(cè)信號(hào)y，那么式（10）中重構(gòu)信道參數(shù)[h]的過(guò)程相當(dāng)于壓縮感知理論中用優(yōu)化算法求解信號(hào)[x]的過(guò)程，類(lèi)比式（3），重構(gòu)信道參數(shù)[h]的過(guò)程可以表達(dá)為：

[h=argminhh1? ?s.t. R-Φh< ε]? ? ? ? ?（11）

3? ? ?壓縮感知算法實(shí)現(xiàn)信道估計(jì)流程

壓縮感知算法中的貪婪迭代類(lèi)算法都是采用逐步迭代的方法去逼近原始信號(hào)，CoSaMP算法和GOMP算法完成[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)的過(guò)程也是反復(fù)迭代的過(guò)程[13]。

3.1? ?CoSaMP算法重構(gòu)信道參數(shù)流程

3.2? ?GOMP算法重構(gòu)信道參數(shù)流程

GOMP算法與CoSaMP算法重構(gòu)信道參數(shù)的流程的不同之處如下：

（1）GOMP算法僅選擇匹配度最高的前S項(xiàng)而不是2K項(xiàng)，S是自定義的選擇原子。

（2）GOMP算法不用再次更新索引集過(guò)程，即沒(méi)有上述CoSaMP算法流程中的步驟（5）。

4? ?仿真實(shí)驗(yàn)

4.1?; ?實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

搭建的[2×2]MIMO-OFDM通信系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示，其中導(dǎo)頻結(jié)構(gòu)為塊狀導(dǎo)頻。采用Matlab軟件完成[2×2]MIMO-OFDM通信系統(tǒng)仿真。

4.2? ?仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.2.1? ?仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在仿真實(shí)驗(yàn)中，信道類(lèi)型為瑞利信道，噪聲類(lèi)型為加性高斯白噪聲。信源序列和塊狀導(dǎo)頻長(zhǎng)度分別設(shè)置為768和64，信道稀疏度K為48，選擇原子S為3，停止迭代閾值e為10-6。利用LS算法、CoSaMP算法和GOMP算法完成[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)，以[h11]為例將估計(jì)出的信道參數(shù)和原始信道參數(shù)做對(duì)比，比較結(jié)果如圖5、圖6和圖7所示。

4.2.2? ?NMSE比較

本文用[NMSE]來(lái)衡量上述三種算法重構(gòu)[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)信道參數(shù)的精度，[NMSE]數(shù)值越小，重構(gòu)精度越高。[NMSE]計(jì)算公式如式（12）所示：

[NMSE=Eh-h2Eh2]? ? ? ? ? （12）

式（12）中[h]是真實(shí)的信道參數(shù)，[h]是利用算法重構(gòu)出的信道參數(shù)[14]。在不同信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）下， 三種算法的[NMSE]比較如圖8所示。

從圖8可以看出隨著信噪比的不斷增大，三種算法對(duì)應(yīng)NMSE數(shù)值都不斷減小且CoSaMP算法和GOMP算法在相同信噪比時(shí)NMSE數(shù)值大致相同。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)信噪比相同時(shí)，基于壓縮感知的兩類(lèi)算法的NMSE值都比傳統(tǒng)的LS算法的NMSE值小，證明前者的數(shù)據(jù)重構(gòu)精度更高。當(dāng)NMSE數(shù)值相同時(shí)，基于壓縮感知的兩類(lèi)算法可以獲得相比LS算法[3～5dB]的信噪比增益。

4.2.4? ?BER比較

在接收端，通過(guò)壓縮感知類(lèi)算法重構(gòu)的信道參數(shù)計(jì)算輸入信號(hào)的估值，以誤碼率為標(biāo)準(zhǔn)量化系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸誤差。不同信噪比下CoSaMP算法和GOMP算法的BER比較如圖9所示。

從圖9可以看出當(dāng)信噪比在[0～7dB]之間變化時(shí)，CoSaMP算法和GOMP算法對(duì)應(yīng)的BER數(shù)值基本相同;當(dāng)信噪比在[7～12dB]之間變化時(shí)，CoSaMP算法比GOMP算法對(duì)應(yīng)的BER數(shù)值小，證明CoSaMP算法的BER性能更好。CoSaMP算法和GOMP算法僅在信噪比為12dB時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸誤差已經(jīng)降低到1%以下，性能優(yōu)良。

5? ? ?結(jié)論

本文首先闡述了壓縮感知理論以及MIMO-OFDM系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸原理，其次基于[2×2 Alamouti]編碼器模型搭建了[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)。然后詳細(xì)推導(dǎo)了壓縮感知理論實(shí)現(xiàn)信道估計(jì)的過(guò)程，最后分別利用GOMP算法、CoSaMP算法和LS算法完成[2×2]MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比LS算法，基于壓縮感知的算法有效地提高了數(shù)據(jù)重構(gòu)精度和系統(tǒng)的誤碼率。

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