賈翔宇，汪軍水，徐 旸，張 剴

（清華大學工程物理系，北京 100084）

具有大容量、高效率、高可靠性[1]等特點的電力系統(tǒng)飛輪儲能技術，是當前電力電子技術的研究熱點之一。近年來，隨著復合材料技術、磁懸浮軸承技術和電機及其控制技術[2]的發(fā)展，飛輪儲能技術取得了快速進步。目前，飛輪儲能技術的關鍵設備——儲能飛輪的結構設計和制造主要存在兩條技術路線[3]：一是采用高強度合金鋼[4]為轉(zhuǎn)子材料的中低速儲能飛輪，轉(zhuǎn)速通常在3000～8000 r/min，儲能量最大可達60 MJ[5]；二是采用復合材料[6]的高速儲能飛輪，轉(zhuǎn)速通?？蛇_15000 r/min以上，儲能量最大可達到90 MJ[7]。

通常，飛輪轉(zhuǎn)子正常運轉(zhuǎn)時，其軸頸與保護軸承內(nèi)圈(下文稱“定子”)之間不會發(fā)生接觸。但是，當轉(zhuǎn)子受到擾動或外來沖擊后，其與定子間將可能發(fā)生碰摩，而隨著碰摩的持續(xù)和發(fā)展[8]，系統(tǒng)可能發(fā)生運動失穩(wěn)，嚴重時將引起軸系損毀，造成運行事故。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩是典型的非線性動力學問題。張小章等[9]的研究結果表明，碰摩時接觸參數(shù)——即接觸剛度和摩擦系數(shù)與碰摩行為的發(fā)展及其對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響有關。戴興建等[10-12]建立了帶有限位器的柔性支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型和試驗系統(tǒng)，分析并總結了與限位器碰摩時轉(zhuǎn)子響應行為的主要特點。白宇杰等[13]通過柔性支承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩試驗，認為碰摩引起的失穩(wěn)行為的主頻率與接觸剛度有關。許斌等[14]和徐尉南等[15]通過解析法分別對Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和柔性轉(zhuǎn)子-柔性定子系統(tǒng)的同步全周碰摩行為進行了分析，結果表明接觸剛度和轉(zhuǎn)子的不平衡量對穩(wěn)定性的影響不大，而摩擦系數(shù)和外阻尼分別是系統(tǒng)的不穩(wěn)定因素和穩(wěn)定因素。

為了保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到擾動時的穩(wěn)定性，本文考慮利用轉(zhuǎn)子碰摩時產(chǎn)生的摩擦力，在有限次碰撞內(nèi)耗散擾動動能，使系統(tǒng)回到擾動前正常運行的狀態(tài)。通過數(shù)值求解不同接觸參數(shù)下轉(zhuǎn)子的碰摩行為，得到了碰摩過程中接觸參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，為摩擦副材料的選取和接觸參數(shù)的設計提供了依據(jù)。

1 描述轉(zhuǎn)子碰摩的數(shù)學模型

為分析飛輪轉(zhuǎn)子碰摩時的共性特征，將其簡化為如圖1所示、剛度和阻尼系數(shù)分別為k和c的兩自由度彈簧-阻尼轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；其中，質(zhì)量為m、軸頸半徑為R、質(zhì)心偏心距為e的轉(zhuǎn)子以角速度ω繞點O2勻速旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)子與定子間的初始半徑間隙為r0，即定子半徑Rout=R+r0。以定子中心O1為原點建立平面直角坐標系O1xy，設點O2的坐標為(x,y)，根據(jù)牛頓第二定律，得到轉(zhuǎn)子的動力學方程

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the rotor system

當轉(zhuǎn)子與定子之間發(fā)生碰摩時，假設定子的表面硬度比轉(zhuǎn)子支承剛度大幾個數(shù)量級，且碰摩過程中定子不動，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不變。利用碰摩力模型對方程(1)進行修正：設轉(zhuǎn)、定子發(fā)生碰撞時，觸點的接觸剛度為kb，摩擦系數(shù)為μ；當O2的位移r和轉(zhuǎn)子在觸點處的法向速度vn滿足條件

時，接觸項被激活；此時式(1)轉(zhuǎn)換為

其中，符號函數(shù)

利用四階龍格-庫塔直接積分法數(shù)值求解式(1)和(3)。以x方向為例，由于方程階次為2階，令

設時間步長Δt=tn+1?tn=h，令h?=h/2，計算

k1=f(tn，xn，vn)，l1=g(tn，xn，vn)，

k2=f(tn+h′，xn+h′k1，vn+h′l1)，

l2=g(tn+h′，xn+h′k1，vn+h′l1)，

k3=f(tn+h′，xn+h′k2，vn+h′l2)，

l3=g(tn+h′，xn+h′k2，vn+h′l2)，

k4=f(tn+h，xn+hk3，vn+hl3)，

l4=g(tn+h，xn+hk3，vn+hl3)

得到

式(6)即為x方向的離散格式；類似的，可以得到y(tǒng)方向的離散格式。下文將使用得到的離散格式，求解轉(zhuǎn)子的動力學行為。

2 轉(zhuǎn)子的碰摩行為

基于前文分析得到的動力學方程的離散格式，本節(jié)計算得到了不同數(shù)值組合的接觸剛度kb和摩擦系數(shù)μ下轉(zhuǎn)子的碰摩行為。設置系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)設置Table 1 System parameters setting

設置計算總時間Ttotal=1 s，時間步長h=Δt=1×10-5s。按照轉(zhuǎn)子穩(wěn)定進動時的速度關系設定初始條件，即

其中

未對轉(zhuǎn)子施加擾動時，轉(zhuǎn)子軸頸中心(下文稱“轉(zhuǎn)子中心”)的運動軌跡和對應的FFT曲線如圖2所示。從圖2可以看出，正常運行時轉(zhuǎn)子除自轉(zhuǎn)外還繞著原點作同步正進動，進動的頻率為離心力的激振頻率，即自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速。此時，轉(zhuǎn)子中心偏離原點的位移在半徑間隙內(nèi)，即轉(zhuǎn)子與定子之間不發(fā)生碰摩。

圖2 無速度擾動時轉(zhuǎn)子中心的運動行為Fig.2 Motion behaviors of rotor center without speed disturbance

激活碰摩項并改變計算參數(shù)。在t=0.3Ttotal時刻對轉(zhuǎn)子施加大小為δvn=αvpR的法向速度擾動，其中速度擾動系數(shù)αv=0.1。接受擾動后，轉(zhuǎn)子存在下述三類碰摩行為。

（1）受到擾動的轉(zhuǎn)子偏離穩(wěn)定運動軌跡，與定子發(fā)生碰摩；轉(zhuǎn)子中心的軌跡出現(xiàn)“花瓣形”的Hopf分叉。經(jīng)過若干次碰摩之后，速度擾動帶來的動能總可以在剩下的0.7 s時間內(nèi)完全衰減，轉(zhuǎn)子中心的運動將回歸到穩(wěn)定運動軌跡，如圖3和圖4所示。

圖3 經(jīng)過碰摩，轉(zhuǎn)子中心的運動回歸穩(wěn)定狀態(tài)(kb/k=1×102，μ=0.7)Fig.3 Rotor returns to stable after collisions(kb/k=1×102,μ=0.7)

圖4 經(jīng)過碰摩，轉(zhuǎn)子中心的運動回歸穩(wěn)定狀態(tài)(kb/k=1×104，μ=0.34)Fig.4 Rotor returns to stable after collisions(kb/k=1×104,μ=0.34)

（2）受到擾動的轉(zhuǎn)子與定子發(fā)生不停碰撞，碰撞過程中的最大位移和形變沒有明顯衰減，且0.7 s的時間不足以使這種碰撞停止，如圖5所示。從FFT曲線中可以看出，除了激振頻率成分外，轉(zhuǎn)子的運動還存在著大量無規(guī)則的低頻成分；即此時激振頻率不再是唯一的主成分。

（3）受到擾動的轉(zhuǎn)子，其穩(wěn)定運動軌跡沖出半徑間隙并穩(wěn)定在某一位置，此時轉(zhuǎn)子與定子發(fā)生全周碰摩，且低頻成分的幅值和比例進一步增加，如圖6所示。

以上三種動力學行為中，圖5和圖6對應的不停碰撞和全周碰摩即為兩種失穩(wěn)類型。對于飛輪系統(tǒng)而言，失穩(wěn)現(xiàn)象不僅可能引起不規(guī)則振動和噪聲，還可能造成轉(zhuǎn)子與定子之間不可恢復的磨損，甚至是轉(zhuǎn)軸的永久性彎曲和軸系損毀。因此，失穩(wěn)是實際工況下需要避免的情況。

圖5 轉(zhuǎn)子與定子不停發(fā)生碰撞(kb/k=1×104，μ=0.35)Fig.5 Rotor and stator collide continuously(kb/k=1×104,μ=0.35)

圖6 轉(zhuǎn)子與定子發(fā)生全周碰摩(kb/k=1×106，μ=0.4)Fig.6 Rotor and stator rub against the entire circumference(kb/k=1×106,μ=0.4)

3 接觸參數(shù)對轉(zhuǎn)子碰摩的影響

從第2節(jié)中可以得出，若某些因素的作用對正常運轉(zhuǎn)的飛輪轉(zhuǎn)子產(chǎn)生了擾動，可以利用碰摩過程衰減擾動動能，使系統(tǒng)回到穩(wěn)定的運行狀態(tài)，進而達到增強系統(tǒng)穩(wěn)定性的目的。但是，如上文所述，在設計轉(zhuǎn)子與定子之間的接觸參數(shù)時，需要考慮并避免系統(tǒng)失穩(wěn)的情況。

在表1給定的系統(tǒng)參數(shù)設置下，設定接觸剛度kb/k=1×104；設置摩擦系數(shù)的計算步長Δμ=0.01，計算摩擦系數(shù)取值在0.0≤μ≤1.0區(qū)間內(nèi)的轉(zhuǎn)子運動行為，得到對數(shù)坐標下碰摩總次數(shù)N碰撞隨摩擦系數(shù)μ的變化曲線如圖7所示。從圖7中可以看出，當摩擦系數(shù)μ處于區(qū)間0.00≤μ≤0.34內(nèi)時，受到擾動后的轉(zhuǎn)子經(jīng)過碰摩后總能回到穩(wěn)定狀態(tài)，且碰撞總次數(shù)滿足N碰撞<1×102，并隨摩擦系數(shù)μ的增大總體呈現(xiàn)出先下降后上升的趨勢。N碰撞取最小值時對應的摩擦系數(shù)，即kb=1×104k時摩擦系數(shù)的最佳取μ最佳落在子區(qū)間0.05≤μ≤0.15內(nèi)。重新設置步長Δμ=0.001，計算得到μ最佳=0.104。當μ≥0.35時系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)；μ≥0.372時發(fā)生全周碰摩現(xiàn)象，定義此摩擦系數(shù)為該接觸剛度下的臨界摩擦系數(shù)μ臨界=0.372。綜上所述，當kb=1×104k時，摩擦系數(shù)的取值范圍為0.00≤μ≤0.34，最佳摩擦系數(shù)μ最佳=0.104。

圖7 碰摩總次數(shù)N碰撞隨摩擦系數(shù)μ的變化曲線(kb/k=1×104)Fig.7 Curve of N碰撞with increasing ofμ(kb/k=1×104)

保持表1中的參數(shù)不變，改變接觸剛度kb的取值，分別計算不同kb下總碰撞次數(shù)N碰撞隨摩擦系數(shù)μ的變化，如圖8所示。從圖中可以看出：①當kb/k=1×101以及kb/k=1×107時，N碰撞隨μ的增加基本保持不變，μ在全區(qū)域0.0≤μ≤1.0內(nèi)取值都可以使系統(tǒng)回歸穩(wěn)定?？傮w而言，kb越大，接觸碰摩時正壓力、摩擦力越大，擾動動能衰減越快，系統(tǒng)穩(wěn)定性的提升越明顯；②當kb/k=1×102～6，即多數(shù)實際飛輪系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子和定子接觸剛度的取值時，落在區(qū)間0.00≤μ≤0.20內(nèi)的μ總可以有效衰減擾動能量并使系統(tǒng)回歸穩(wěn)定；即μ最佳落在區(qū)間0.00≤μ≤0.20內(nèi)，并隨著kb的增大而減小，如圖9所示；③如圖9所示，當kb/k=1×102～6時，均存在一個使系統(tǒng)恰好發(fā)生全周碰摩的臨界摩擦系數(shù)μ臨界，并隨著kb的增大而減小。當摩擦系數(shù)超過μ臨界后，大摩擦系數(shù)都會誘發(fā)系統(tǒng)的全周碰摩等失穩(wěn)情況，即摩擦系數(shù)不是越大越好。

圖8 不同kb下，N碰撞隨μ的變化曲線Fig.8 N碰撞withμunder different kb

圖9 μ最佳和μ臨界隨kb的變化Fig.9μ最佳andμ臨界with different kb

改變系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，設置c1=0.1c重新計算，得到不同kb下N碰撞隨μ的變化曲線以及μ最佳、μ臨界隨kb的變化曲線，分別如圖10和圖11所示。從圖中可以看出，對于接觸剛度較小(kb/k=1×102～4)的情況，阻尼系數(shù)的減小一定程度上可以增大摩擦系數(shù)的取值范圍并避免系統(tǒng)失穩(wěn)，但總體來說，系統(tǒng)需要更多的碰撞次數(shù)來衰減擾動能量；而對于接觸剛度較大的情況，阻尼系數(shù)減小壓縮了摩擦系數(shù)的選擇范圍。

圖10 不同kb下，N碰撞隨μ的變化曲線(c1=0.1 c)Fig.10 N碰撞withμunder different kb(c1=0.1 c)

圖11 μ最佳和μ臨界隨kb的變化Fig.11μ最佳andμ臨界with different kb

4 結 論

針對正常運轉(zhuǎn)的飛輪轉(zhuǎn)子受到擾動后、轉(zhuǎn)子軸頸可能與保護軸承內(nèi)圈發(fā)生碰摩的現(xiàn)象，通過數(shù)值計算得到如下結論。

（1）轉(zhuǎn)子受到擾動后，可以利用與定子之間的碰摩作用耗散擾動能量，使其回歸穩(wěn)定運行的狀態(tài)并提升系統(tǒng)穩(wěn)定性。

（2）設計與定子間的接觸參數(shù)時，摩擦系數(shù)的選擇需要考慮到接觸剛度。在實際接觸剛度范圍內(nèi)，能提升系統(tǒng)穩(wěn)定性的摩擦系數(shù)的取值范圍、隨接觸剛度的增大而變得狹窄。過大的摩擦系數(shù)可能帶來負阻尼，使系統(tǒng)在碰摩過程中失穩(wěn)。

（3）摩擦系數(shù)的選擇還需要考慮到系統(tǒng)阻尼系數(shù)。