張 馨，孫金山，張湘平，賈永勝，姚穎康

(1.中鐵十八局集團有限公司，天津 300222；2.江漢大學 a.爆破工程湖北省重點實驗室;b.精細爆破省部共建國家重點實驗室，武漢 430056)

爆炸荷載是工程爆破理論分析和數(shù)值模擬的重要邊界條件。目前，在對鉆孔爆破過程進行分析時，炮孔爆炸荷載計算模型主要有兩類，一類是簡化的半理論半經(jīng)驗模型，一類是氣體狀態(tài)方程模型。

簡化的半理論半經(jīng)驗模型常用的是雙折線模型和雙指數(shù)模型。雙折線三角形分段函數(shù)模型簡單實用[1,2]，該模型僅有升壓時間、卸壓時間和峰值壓力三個參數(shù)，其中，峰值壓力可通過C-J爆轟模型計算，時間參數(shù)則主要通過經(jīng)驗公式估算得到。該荷載模型未考慮炸藥爆炸特征，也未考慮炮孔的孔深、孔徑和堵塞對爆炸荷載的影響，因此峰后荷載的時間歷程難以準確確定。雙指數(shù)函數(shù)由Starfield提出[3]，該模型為連續(xù)光滑函數(shù)，更易應用于理論分析和數(shù)值模擬中。Jong對該模型進行了改進，提出了其關鍵參數(shù)的計算公式，使荷載時程曲線更接近實驗結果[4]。但該模型中關鍵參數(shù)M和N的取值同樣未考慮爆破破巖過程的特征，因此其適用范圍也受到限制。

爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程是計算爆轟產(chǎn)物壓力、體積、溫度等物理量之間的數(shù)學方程。不同學者提出了BKW、JCZ、VLW、Davis、JWL等多種方程[5-9]，其中，JWL狀態(tài)方程在爆炸數(shù)值模擬中應用廣泛，然而該方程的大量未知參數(shù)需要通過圓筒試驗及流體動力學計算確定，且其忽略了巖石破碎及氣體逸出過程的影響。

因此，以往爆炸荷載半理論半經(jīng)驗模型以及爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程主要考慮了炸藥本身參數(shù)對荷載的影響，忽視了爆破介質(zhì)及其動態(tài)響應特征的影響，難以精確計算工程爆破場景中的爆破荷載，例如不同單耗、不同抵抗線條件下炮孔爆破荷載的差異性模擬。因此，針對工程爆破過程中，連續(xù)裝藥的柱狀炮孔的爆破荷載計算問題，考慮炸藥爆轟、炮孔彈性膨脹、炮孔周圍裂紋擴展、巖石拋擲及氣體逸出過程等因素對炮孔孔壁壓力的影響，利用理想氣體狀態(tài)方程和經(jīng)典力學理論構建了炮孔孔壁壓力的數(shù)學函數(shù)。

1 炸藥爆轟炮孔升壓階段

炮孔內(nèi)的炸藥發(fā)生爆轟后，產(chǎn)生的氣體在炮孔內(nèi)膨脹并對炮孔壁施加沖擊荷載，根據(jù)炸藥爆轟理論與理想氣體狀態(tài)方程，耦合裝藥和不耦合裝藥條件下炮孔壁上的峰值壓力P1為[10]

(1)

式中：n為爆轟產(chǎn)物碰撞炮孔壁時的壓力增大系數(shù)，耦合裝藥時一般取n=1，不耦合裝藥時常取n=10；ρe為炸藥密度；D為炸藥爆轟速度；db為炮孔直徑；dc為裝藥直徑；γ為炸藥爆轟的等熵指數(shù)，簡化計算時γ≈3.0。

遠離炮孔壁稍遠的介質(zhì)中可測到的爆炸壓力升壓時間為炸藥爆轟所需時間

(2)

式中：T1為炮轟時間：Lc為裝藥長度。

將距離炮孔壁稍遠的介質(zhì)中爆炸壓力視為線性增大時，得到炸藥爆轟階段炮孔孔壁的平均壓力函數(shù)為

(3)

式中:t的起始時刻為0，結束時刻為炸藥爆轟完成時刻T1。

2 炮孔初步彈性膨脹階段

炸藥爆轟后爆轟產(chǎn)物撞擊炮孔壁時將使炮孔發(fā)生膨脹，并導致爆炸壓力的迅速下降。該過程中炮孔周圍的介質(zhì)將受到徑向的壓縮與切向的拉伸，并使炮孔壁附近的介質(zhì)形成粉碎區(qū)，粉碎區(qū)以外的巖石將被拉裂。不耦合裝藥條件下，孔壁受到的爆炸荷載較低，粉碎區(qū)半徑相對較小。

粉碎區(qū)的形成過程較為復雜，目前仍以半理論計算為主進行估算，為簡化炮孔的膨脹過程的分析，假定孔壁上未形成粉碎區(qū)，此時炮孔孔徑的變化主要受爆炸荷載和巖石的彈性參數(shù)影響。根據(jù)無限邊界中受內(nèi)部壓力圓孔的彈性力學分析[11]，距離炮孔中心2.5db處的質(zhì)點位移為孔壁處的1/25，因此可認為該處質(zhì)點位移達到其最大值時，炮孔的彈性膨脹基本完成。受慣性的影響，質(zhì)點位移最大值出現(xiàn)的時刻滯后于應力波峰值到達的時刻。因此，2.5db處的質(zhì)點位移最大值出現(xiàn)的時刻可由受內(nèi)部動壓力圓孔的波動方程進行求解，在極坐標系下可表示為

(4)

式中：u為質(zhì)點位移；r為質(zhì)點距離孔中心的距離；t為時間；Cp為介質(zhì)中的彈性波波速。

然而，上述方程求解無解析解，數(shù)值解求解也很困難，考慮炮孔膨脹是在裂紋擴展至炮孔中心約2.5db處之前完成的，因此可近似認為爆炸荷載產(chǎn)生的彈性膨脹所需時間為裂紋擴展長度為2db(孔壁到距離孔中心2.5db處的距離)時所經(jīng)歷的時間，即裂紋到達前發(fā)生彈性膨脹，裂紋到達后發(fā)生塑性膨脹。同時考慮炸藥爆轟所需時間，以及炸藥與測點的位置關系，炮孔彈性膨脹所需時間為

(5)

式中：ζ為系數(shù)，根據(jù)Griffith理論[12]，裂紋穩(wěn)定擴展時ζ=0.38;ω為爆轟時間系數(shù)，當測點位于孔壁附近時，不考慮炸藥沿炮孔軸線方向的爆轟時間，僅考慮某個炮孔截面處的膨脹過程時，ω=0；當測點遠離炮孔時，需要考慮炸藥爆轟時間，并考慮整個炮孔的膨脹過程時，ω=1。

炮孔彈性膨脹后，直徑則由db增大為db+2Δr，爆炸壓力自P1降低至P2，設炮孔彈性膨脹所導致的半徑增量由P1控制，且膨脹前后滿足理想氣體狀態(tài)方程，可得方程組

(6)

式中，k為炸藥氣體膨脹或流動的等熵指數(shù)，k=1.25～1.4。

解得P2近似解為

(7)

將爆炸壓力視為線性減小時，得到炸藥爆轟過程中炮孔的平均爆炸壓力函數(shù)

(8)

式中，t的取值區(qū)間為[0,T2]。

3 孔壁裂紋張開且氣體流入階段

炮孔徑向裂紋擴展過程中，巖石失去環(huán)向承載力，徑向荷載和爆生氣體將進一步驅(qū)動張拉裂紋的張開并向周圍擴展，直至裂紋擴展至自由邊界使介質(zhì)破碎，該階段所經(jīng)歷的時間約為

(9)

式中，b為炮孔與介質(zhì)自由面某點的距離，即抵抗線長度。

如圖1所示的炮孔彈性膨脹與裂紋擴展過程中，設炮孔橫截面周長的增加量即為徑向裂紋初始張開寬度的總和，即2πΔr；爆炸氣體流入張開的裂紋中，其流速由0加速至速度C1，取平均流速度0.5C1，則流入裂縫的氣體體積為

圖 1 炮孔彈性膨脹與裂紋擴展過程示意圖Fig. 1 Schematic diagram of blasthole elastic expansion and crack propagation process

Δv=πΔrLcC1t

(10)

式中，C1為氣體的流速，近似認為氣體流動處于臨界狀態(tài)則C1等于當?shù)芈曀?。由于氣體的密度、壓力、泄漏量等參數(shù)相互影響，使氣體壓力方程難以求解，因此以氣體T3時刻流速代替流速函數(shù)。由氣體臨界狀態(tài)的當?shù)芈曀儆嬎愎絒13]，且考慮在氣體縫隙中流動時，其邊界處流速為0，則平均流速約為自由流動流速的1/3，可表示為

(11)

式中:ρe2為T3時刻氣體密度;me為裝藥質(zhì)量;P3為由氣體狀態(tài)方程得到的氣體壓力。

根據(jù)氣體體積與壓力間的關系，可得T3時刻孔壁壓力為

(12)

因此，忽略炮孔進一步彈塑性膨脹，且主要考慮裂紋的擴展和氣體的流動時，由氣體狀態(tài)方程得

(13)

式中，t的取值區(qū)間為[0,T3]。

4 介質(zhì)剝離拋擲且氣體逸出階段

炮孔產(chǎn)生的裂紋貫通后，剝離的破碎介質(zhì)將發(fā)生拋擲，進而發(fā)生“鼓包”，爆炸氣體進一步膨脹并向空氣中逸出。設在0～T3時間內(nèi)，爆炸荷載做功部分轉(zhuǎn)化介質(zhì)的動能，同時使剝離下來的介質(zhì)獲得一定的動量，在此過程中能量不守恒，但動量守恒。為簡化分析過程，取炮孔直徑為彈性膨脹結束時的直徑db+2Δr，則孔壁側(cè)面積為πLc(db+2Δr)，根據(jù)動量定理得

(14)

式中：mR為爆破剝離的巖石、混凝土的質(zhì)量，可根據(jù)實際的爆破方案進行估算；VR為剝離介質(zhì)的初速度。

同時，考慮T3時間內(nèi)氣體壓力已經(jīng)降至較低水平，且中間過程有部分動量的損失，僅考慮T1和T2階段的動量轉(zhuǎn)化過程時，可得

(15)

同時，爆炸氣體將自裂紋開口處逸出，設其以C2速度逸出，同樣設氣體流動處于臨界狀態(tài)，此時氣體的流速等于當?shù)芈曀?直至停止流動，則平均流速為

(16)

考慮破碎介質(zhì)的“鼓包”運動以及氣體自不斷增大的裂縫中勻速逸出時，根據(jù)氣體狀態(tài)方程得到氣體溢出時的孔壁壓力近似解為

(17)

式中，t的取值區(qū)間為[0,T4]。T4為氣體壓力降至臨界狀態(tài)所需時間，即壓力降低至數(shù)個大氣壓力后認為氣體基本停止流動。

5 孔壁壓力的分段函數(shù)及其算例

將各階段炮孔壓力函數(shù)置于統(tǒng)一的時間坐標系下，得到完整的孔壁壓力分段函數(shù)

(18)

以多米尼加共和國Pueblo Viejo礦Monte Negro B-370礦坑爆破試驗為算例對模型進行初步驗證[14]。該礦爆破巖體的巖性為安山巖，密度2800 kg/m3，彈性模量E=40 GPa，泊松比μ=0.2。#2實驗方案中，炮孔孔深L=7.25 m，裝藥長度Lc=3.75 m，堵塞長度3.5 m，炮孔直徑db=0.22 m，炸藥密度ρe=1200 kg/m3，炸藥爆速D=5500 m/s，炸藥直徑dc=0.22 m，炸藥重量171 kg。根據(jù)標準拋擲爆破漏斗的形狀，裂紋擴展長度b=10.2 m，剝離巖石的質(zhì)量mR=154000 kg，取n=1，γ=3.0，k=1.4，ζ=0.38。

在距離炮孔5.2～7 m的4個監(jiān)測孔中布置電氣石壓力傳感器對爆炸產(chǎn)生的沖擊信號進行監(jiān)測，如圖2所示。監(jiān)測孔與炮孔深度一致，且其中充滿水，傳感器在孔中的深度為5.375 m，與裝藥中心高度一致。選擇波形較好的2號監(jiān)測孔的波形與計算結果進行對比。2號監(jiān)測孔距離炮孔5.8 m，且由于傳感器置于水中時監(jiān)測到的幅值與巖石中的幅值存在差異，因此通過下式進行換算

(19)

由(1)式計算得的孔壁峰值壓力為4.5 GPa，這與文獻[14]給出的炸藥爆轟壓力計算值基本一致。取r=0.11 m，R=5.8 m，ξ=2.7，ω=0時，得到的測點處爆破壓力時程曲線與實驗結果具有較好的吻合度(圖3)。

圖 2 實驗方案Fig. 2 Experimental plan

圖 3 實驗結果與計算壓力時程曲線對比Fig. 3 Comparison of experimental and calculated pressure time history curves

6 結語

鉆孔爆破炮孔孔壁壓力計算通常采用半理論公式或爆轟產(chǎn)物狀態(tài)方程進行估算，但這些傳統(tǒng)的計算方法往往忽略了爆破介質(zhì)的響應以及爆炸氣體的逸出過程。通過對炸藥爆轟過程以及爆破介質(zhì)的響應過程的分析，提出了一種炮孔孔壁壓力的簡化計算方法。

(1)計算孔壁壓力時，宜將介質(zhì)爆破過程簡化為炸藥爆轟炮孔升壓、炮孔初步彈性膨脹、孔壁裂紋張開且氣體流入、介質(zhì)剝離拋擲且氣體逸出四個階段。

(2)炸藥爆轟炮孔升壓持續(xù)時間為炸藥爆轟所需時間、炮孔初步彈性膨脹持續(xù)時間為裂紋擴展至孔壁外2倍直徑處所需時間、孔壁裂紋張開且氣體流入持續(xù)時間為裂紋擴展至自由邊界所需時間、介質(zhì)剝離拋擲且氣體逸出持續(xù)時間為壓力降至臨界狀態(tài)所需時間。

(3)通過簡化分析炮孔及裂紋中爆炸氣體體積的變化過程，基于理想氣體狀態(tài)方程，分別確定了各階段孔壁壓力隨時間變化的數(shù)學函數(shù)。

(4)利用多米尼加Pueblo Viejo礦爆破實驗數(shù)據(jù)對計算模型進行了初步驗證，計算結果與實驗結果吻合情況良好。