管陸雙，王亞平，謝金華，包建東

(1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094) (2.廣州地鐵集團(tuán)有限公司，廣東 廣州 510308) (3.南京理工大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇 南京 210094)

齒輪是地鐵閘機(jī)的關(guān)鍵零件，齒輪的使用性能直接影響地鐵閘機(jī)的工作狀態(tài)。齒輪在產(chǎn)生疲勞裂紋后仍能承受一定的工作載荷，從裂紋產(chǎn)生到齒輪損壞臨界裂紋長度仍有相當(dāng)長的使用壽命。因此，進(jìn)行閘機(jī)齒輪在裂紋產(chǎn)生后的壽命預(yù)估，對于閘機(jī)的故障監(jiān)測診斷和運(yùn)行維護(hù)具有重要意義和實(shí)用價值。

齒輪的疲勞壽命包括兩方面，即裂紋萌生壽命與裂紋擴(kuò)展壽命。疲勞壽命分析軟件如c-node、fe-safe等只能計算裂紋萌生壽命，而裂紋擴(kuò)展壽命可通過Paris冪函數(shù)式、Forman公式和Walker公式等計算。目前多采用有限元法研究齒輪三維裂紋的擴(kuò)展軌跡及擴(kuò)展壽命，分析不同載荷、不同缺陷位置對齒輪壽命的影響[1-5]，但是在求解裂紋擴(kuò)展軌跡時均人為規(guī)定初始裂紋位置，沒有考慮在實(shí)際工況下初始裂紋的實(shí)際產(chǎn)生位置，往往會造成較大的仿真誤差。

本文以線彈性斷裂力學(xué)為基礎(chǔ)，研究了地鐵閘機(jī)齒輪裂紋擴(kuò)展長度與使用壽命的關(guān)系。首先采用擴(kuò)展有限元法(extended finite element method,XFME)獲得了裂紋擴(kuò)展軌跡；其次利用ABAQUS分析了齒輪不同嚙合位置、不同阻力矩和不同裂紋初始位置情況下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與裂紋擴(kuò)展長度間的關(guān)系；最后采用逐步回歸分析和灰度關(guān)聯(lián)法建立了地鐵閘機(jī)齒輪疲勞裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測模型。

1 裂紋擴(kuò)展壽命估算方法

應(yīng)力強(qiáng)度因子是反映裂紋尖端彈性應(yīng)力場強(qiáng)弱的物理量，可由經(jīng)驗公式求出：

(1)

式中：K為應(yīng)力強(qiáng)度因子；σ為循環(huán)應(yīng)力，MPa；a為裂紋尺寸，mm，計算三維裂紋時取裂紋面積的平方根；f為幾何修正系數(shù)，對無限大板(裂紋長度a/板寬W<0.1)且為單邊裂紋時，可取f=1.12。

當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K值超過材料的斷裂韌度KIC時，裂紋進(jìn)入快速擴(kuò)展階段，此時可認(rèn)為零件失效，對應(yīng)的裂紋斷裂長度為aC，對應(yīng)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)為NC，NC即為疲勞裂紋擴(kuò)展壽命。

通過Paris冪函數(shù)式：

(2)

可知，疲勞裂紋擴(kuò)展速率是應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值ΔK的函數(shù)[6]。ΔK為裂紋長度a的函數(shù)，隨著a的增大而增大。

(3)

式中：Kmax與Kmin分別為循環(huán)過程中應(yīng)力強(qiáng)度因子的最大值與最小值；σmax與σmin分別為循環(huán)過程中循環(huán)應(yīng)力的最大值與最小值；C，m為描述材料疲勞裂紋擴(kuò)展性能的基本參數(shù)，由實(shí)驗確定，多數(shù)材料m取值為2～4。

對式(2)積分可得疲勞裂紋擴(kuò)展壽命NC：

(4)

式中：a0為初始裂紋長度。

將式(4)離散化后求和：

(5)

式(5)為材料處于平面應(yīng)力或平面應(yīng)變?yōu)槎S狀態(tài)下的計算公式，在三維狀態(tài)下，?。?/p>

式中：A為裂紋面積。

2 地鐵閘機(jī)齒輪工作載荷分析

地鐵閘機(jī)扇門結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要通過下主動齒輪和上被動齒輪的嚙合來傳遞力矩，實(shí)現(xiàn)扇門的開關(guān)。

1—下滑動軸承座；2—下部主動擺臂；3—電機(jī)轉(zhuǎn)動軸；4—齒輪盤；5—上部主動擺臂；6—支座板；7—上滑動軸承座；8—上滑動軸承；9—上部扇門擺臂；10—扇門門體；11—下部扇門擺臂；12—下滑動軸承

齒輪為閉式硬齒面直齒圓柱齒輪，其主要破壞形式為疲勞折斷，齒輪齒根受彎曲應(yīng)力作用，產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋不斷擴(kuò)展，最終導(dǎo)致輪齒折斷。通過對閘機(jī)運(yùn)動過程的分析可知，在閘門關(guān)閉瞬間齒輪右側(cè)第4、5、6輪齒嚙合，第5輪齒受力最大，在滿足標(biāo)準(zhǔn)齒輪和標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝要求的情況下，力集中作用在齒寬中點(diǎn)位置，如圖2所示箭頭所指的位置。

圖2 輪齒受力

3 裂紋擴(kuò)展軌跡和壽命分析

3.1 分析模型建立

為了節(jié)約計算資源，選取全尺寸齒輪的1/3進(jìn)行有限元模型的建立，網(wǎng)格類型為C3D8R二階縮減積分單元。初始損傷準(zhǔn)則采用最大主應(yīng)力準(zhǔn)則；基于能量損傷演化類型，即以損傷開始后失效所需能量(斷裂能)定義損傷；混合模式為冪法則，能量系數(shù)取1；損傷穩(wěn)定系數(shù)設(shè)置為0.000 5，用來改善收斂；在齒側(cè)施加壓應(yīng)力，該壓應(yīng)力為閘機(jī)運(yùn)動過程中兩個齒輪嚙合處的受力；在齒圈底面與側(cè)面添加位移邊界條件。

3.2 裂紋擴(kuò)展軌跡分析

圖3為正常工作載荷下輪齒裂紋的擴(kuò)展軌跡，當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K小于材料的臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子KIC時，裂紋處于穩(wěn)定擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。圖4為不同裂紋長度下應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化曲線，由圖可知，當(dāng)裂紋擴(kuò)展到2.6 mm時，應(yīng)力強(qiáng)度因子超過材料的臨界值KIC=2 840 N·mm-3/2，說明裂紋進(jìn)入失穩(wěn)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，裂紋迅速擴(kuò)展，輪齒斷裂。

圖3 裂紋的擴(kuò)展

圖4 應(yīng)力強(qiáng)度因子K隨裂紋長度a的變化

3.3 裂紋擴(kuò)展壽命分析

將裂紋擴(kuò)展過程中不同長度裂紋對應(yīng)的K值代入式(5)，得到裂紋擴(kuò)展長度a與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N的曲線圖如圖5所示。由圖可知，從疲勞裂紋產(chǎn)生至完全失效，齒輪使用壽命NC為15 278次。

圖5 應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N隨裂紋長度a的變化

4 裂紋擴(kuò)展軌跡影響分析

對地鐵閘機(jī)扇門齒輪裂紋產(chǎn)生與擴(kuò)展有影響的因素主要有阻力矩、齒輪嚙合位置、初始裂紋位置等。實(shí)際工作狀態(tài)下兩齒輪嚙合產(chǎn)生的阻力矩變化范圍為180～280 N·m。同一嚙合位置，不同阻力矩大小下裂紋的擴(kuò)展軌跡(包括裂紋的萌生位置與發(fā)展趨勢)大致相同，不同之處在于阻力矩越大裂紋的生長速度越快。

4.1 不同嚙合位置下的裂紋擴(kuò)展軌跡

閘機(jī)扇門齒輪裝配時存在誤差或齒輪軸發(fā)生磨損后，兩齒輪嚙合位置將發(fā)生變化。嚙合位置以旋轉(zhuǎn)中心到嚙合點(diǎn)的距離表示，變化范圍為60.5～63.0 mm。圖6所示為不同嚙合位置時的裂紋擴(kuò)展軌跡圖，可以看出嚙合位置不同，裂紋的生長速度也不同。隨著嚙合點(diǎn)向下移動，初始裂紋的產(chǎn)生位置逐漸向下移動，裂紋的發(fā)展方向逐漸從朝著齒頂擴(kuò)展轉(zhuǎn)向輪轂方向擴(kuò)展，裂紋的生長速度也逐漸變慢。

4.2 不同初始裂紋位置下的裂紋擴(kuò)展軌跡

由于齒輪材料本身存在的缺陷或者加工缺陷，可能會在齒根附近而非一般情況下的應(yīng)力最大處產(chǎn)生初始裂紋。本文在齒根及齒根附近從上至下依次預(yù)制5處初始裂紋，如圖7所示。初始裂紋a在齒廓上，初始裂紋b、c、d在齒根上，初始裂紋e在齒根圓上。線彈性斷裂力學(xué)中以0.1～0.2 mm的裂紋長度為裂紋萌生壽命與裂紋擴(kuò)展壽命計算時的界限，故初始裂紋長度取0.2 mm。阻力矩均為280 N·m，嚙合位置均為齒廓中間，如圖6中位置4。

圖6 不同嚙合位置時的裂紋擴(kuò)展軌跡

圖7 初始裂紋

圖8為不同初始裂紋位置情況下裂紋擴(kuò)展軌跡，可以看出初始裂紋位置越靠近輪轂，裂紋擴(kuò)展軌跡越平緩。

圖8 不同初始裂紋下的裂紋擴(kuò)展軌跡

5 裂紋擴(kuò)展壽命影響分析

在獲得裂紋擴(kuò)展規(guī)律后，對地鐵閘機(jī)齒輪裂紋擴(kuò)展壽命影響規(guī)律進(jìn)行分析。

圖9為同一嚙合位置不同阻力矩下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與裂紋擴(kuò)展長度間的關(guān)系?？梢钥闯鲚d荷越大，裂紋擴(kuò)展速率越大，齒輪的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N越小，輪齒斷裂時臨界斷裂長度越短，裂紋擴(kuò)展壽命NC也越低。

圖9 不同阻力矩下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N隨裂紋長度a的變化

圖10為同一阻力矩不同嚙合位置下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與裂紋擴(kuò)展長度的關(guān)系。可以看出隨著作用力加載面從齒頂向齒根移動，齒輪可承受的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N逐漸增大，裂紋擴(kuò)展壽命NC也越大。

圖10 不同嚙合位置下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N隨裂紋長度a的變化

圖11為不同初始裂紋位置下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與裂紋擴(kuò)展長度間的關(guān)系?？梢钥闯隽鸭y5，也就是初始裂紋位置在齒根圓處齒輪的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)明顯更高，其他幾組無顯著區(qū)別。

圖11 不同初始裂紋下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N隨裂紋長度a的變化

6 基于逐步回歸法的裂紋擴(kuò)展與剩余壽命預(yù)估模型

建立了齒輪的剩余壽命預(yù)估模型后，就可以在對地鐵閘機(jī)進(jìn)行日常維修保養(yǎng)時及時發(fā)現(xiàn)齒輪產(chǎn)生的裂紋，并根據(jù)裂紋長度及使用情況快速獲得齒輪的剩余壽命，將有利于閘機(jī)的保養(yǎng)和維修。本文將前述分析數(shù)據(jù)樣本導(dǎo)入MATLAB中，對各個變量進(jìn)行顯著性檢驗，結(jié)果表明，初始裂紋位置與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N的顯著性大于0.05，可認(rèn)為初始裂紋位置與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N不相關(guān)。裂紋長度、嚙合位置、阻力矩與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N的顯著性小于0.01，可認(rèn)為三者與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N極顯著相關(guān)。故在后續(xù)分析中只分析裂紋長度、嚙合位置和阻力矩對齒輪剩余壽命的影響，忽略初始裂紋位置的影響。

本文采用逐步回歸法建立裂紋擴(kuò)展與剩余壽命預(yù)估模型。逐步回歸將變量逐個引入模型，每引入一個解釋變量后都要進(jìn)行F檢驗，并對已經(jīng)選入的解釋變量逐個進(jìn)行t檢驗，當(dāng)原來引入的解釋變量由于后面解釋變量的引入變得不再顯著時，則將其刪除。逐步回歸分析僅保留對因變量有顯著預(yù)測作用的自變量，剔除不顯著的自變量，對導(dǎo)入的數(shù)據(jù)有過濾和篩選的功能。

齒輪的剩余壽命定義為NS=NC-N，設(shè)NS為因變量，自變量x1為裂紋長度，x2為嚙合位置，x3為阻力矩?；貧w樣本部分輸入值見表1。

表1 部分回歸樣本

利用逐步回歸法得到裂紋擴(kuò)展與剩余壽命預(yù)估模型，調(diào)整后R方(adjusted R-square)為0.975，擬合程度較高。

(6)

利用蒙特卡羅法使x1在區(qū)間[0.2，3.6]內(nèi)、x2在區(qū)間[60.5，63.0]內(nèi)、x3在區(qū)間[3.0，4.5]內(nèi)生成隨機(jī)數(shù)，然后將這3組隨機(jī)數(shù)代入式(6)中，得到裂紋擴(kuò)展與剩余壽命NS的擬合值。圖12為擬合值與仿真值的散點(diǎn)對比圖，可以看出擬合值與仿真值相近，說明預(yù)測模型能較好地表示出真實(shí)裂紋擴(kuò)展與剩余壽命。

圖12 裂紋擴(kuò)展與剩余壽命的仿真值與擬合值對比

利用灰色關(guān)聯(lián)分析法對裂紋擴(kuò)展與剩余壽命的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行均值化無量綱處理，將因變量NS作為參考隊列，3個變量作為比較隊列，然后求出關(guān)聯(lián)系數(shù)進(jìn)而求出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)關(guān)聯(lián)度即可將各變量對結(jié)果的影響進(jìn)行排序。

r1= 0.767 2

r2=0.828 4

r3=0.823 4

r1，r2，r3分別為x1，x2，x3對NS的關(guān)聯(lián)度，由r2>r3>r1可知，嚙合位置對裂紋擴(kuò)展與剩余壽命影響最大，力矩的影響其次，初始裂紋長度影響最小。

7 結(jié)束語

本文采用擴(kuò)展有限元方法結(jié)合線彈性斷裂力學(xué)理論，分析了齒輪在不同嚙合位置、不同阻力矩和不同裂紋初始位置情況下應(yīng)力循環(huán)次數(shù)與裂紋擴(kuò)展長度間的關(guān)系，并采用逐步回歸法建立了裂紋擴(kuò)展與剩余壽命預(yù)測模型，對于閘機(jī)的故障監(jiān)測、診斷和運(yùn)行維護(hù)具有重要的實(shí)用價值。

本文的分析沒有考慮影響因素的隨機(jī)分布特性，下一步工作可采用隨機(jī)分布模型，對裂紋擴(kuò)展壽命的可靠性進(jìn)行深入的研究。