成金德

機械能守恒定律是高中物理中最重要的力學(xué)規(guī)律之一，是歷年高考中的重點和熱點內(nèi)容.?在實際應(yīng)用中，機械能守恒定律往往與線、桿、彈簧等模型相聯(lián)系，再結(jié)合有關(guān)運動的合成與分解、平拋運動和圓周運動等相關(guān)知識，其綜合性強、涉及知識點多，難度較大的特點十分鮮明.?為了更好地理解和掌握機械能守恒定律的應(yīng)用，幫助大家做好復(fù)習(xí)備考工作，本文就熟練應(yīng)用機械能守恒定律的十種題型作詳盡的分析和探討.

1.?機械能守恒條件的判定.

機械能是否守恒，可以通過下面?zhèn)€方面進行判定：其一，對某一系統(tǒng)，如果只有重力和彈簧的彈力做功，其它的力不做功，或者做功的代數(shù)和等于零，則該系統(tǒng)的機械能守恒;

其二，對某一系統(tǒng)，如果系統(tǒng)內(nèi)的物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能間的相互轉(zhuǎn)化，沒有其它形式的能的轉(zhuǎn)化，則該系統(tǒng)的機械能守恒.

【例1】如圖1所示，一輕彈簧一端固定在O點，另一端系一小球，將小球從與懸點O在同一水平面且使彈簧保持原長的A點無初速釋放，讓小球自由擺下，不計空氣阻力.?在小球由A點擺向最低點B的過程中，以下說法中正確的是（ ）

A.?小球的機械能守恒

B.?小球的機械能減少

C.?小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變

D.?小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒

分析：對小球而言，重力和彈簧的彈力均做功，在小球自由擺下的過程中，小球的重力勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能和彈簧的彈性勢能，小球的機械能不守恒，即選項A錯誤，選項B正確;若取小球和彈簧組成的系統(tǒng)，只有重力和彈簧的彈力做功，則系統(tǒng)的機械能守恒，即選項C錯誤，選項D正確.

點評：本題中，如果只取小球作為研究對象，則由于彈簧對小球做功，則小球的機械不守恒.?若取小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由于只有重力和彈簧的彈力做功，則機械能守恒.?在判斷某一系統(tǒng)機械能是否守恒時，必須弄清守恒的條件.

2.?單個物體的機械能守恒.

對單個物體（實際上包含地球，但在通常情況下，可以不提地球），機械能守恒條件是只有重力和彈簧的彈力做功.

【例2】（2016年海南卷）如圖2所示，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量為m的小球沿軌道做完整的圓周運動.?已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N1，在最高點時對軌道的壓力大小為N2.??重力加速度大小為g，則N1-N2的值為（ ）

A.?3mg B.?4mg

C.?5mg D.?6mg

分析：小球在最低點時受到重力mg和軌道對小球的彈力的作用，設(shè)小球此時的速度為v1，根據(jù)牛頓第二定律可知：

-mg=m

根據(jù)牛頓第三定律可知：=N1

小球在最高點時受到重力mg和軌道對小球的彈力的作用，設(shè)小球此時的速度為v2，根據(jù)牛頓第二定律可知：

mg+=m

根據(jù)牛頓第三定律可知：=N2

小球從最低點運動至最高點的過程中，只有重力做功，則機械能守恒.?取最低點處的重力勢能為零，根據(jù)機械能守恒定律得：

m=mg·2R+m

解以上幾式得：N1-N2=6mg，則選項D正確.

點評：小球在光滑圓軌道上做圓周運動的過程中，由于只有重力做功，則此過程中小球的機械能守恒，這是解決本題的關(guān)鍵所在.

3.?多個物體的機械能守恒.

對涉及多個物體的問題，必須明確兩點：其一，涉及多個物體的系統(tǒng)，機械能守恒的條件是只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈簧的彈力做功，其他力不做功或者做功的代數(shù)和等于零.?或者系統(tǒng)內(nèi)只允許勢能與動能間的轉(zhuǎn)化，不允許系統(tǒng)內(nèi)機械能與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，更不允許系統(tǒng)內(nèi)與系統(tǒng)外間的能量轉(zhuǎn)化;其二，要弄清選取哪些物體作為系統(tǒng)時，機械能是守恒的.?選取哪些物體作為系統(tǒng)時，機械能是不守恒的.

【例3】如圖3所示，10個質(zhì)量均為m、半徑均為r的均勻剛性球，在施加于1號球的水平外力F的作用下均靜止，力F與圓槽在同一豎直面內(nèi)，此時1號球球心與它在水平槽運動時的球心高度差為h.?現(xiàn)撤去力F使小球開始運動，直到所有小球均運動到水平槽內(nèi).?重力加速度為g.?求：

（1）1號球剛運動到水平槽時的速度;

（2）整個運動過程中，2號球?qū)?號球所做的功.

分析：（1）1號球在下滑過程中，受到重力和圓槽的彈力作用，由于圓槽的彈力不做功，則1號球下滑過程中機械能守恒，則：

mgh=m

即1號球剛運動到水平槽時的速度為：v1=.

（2）取10個小球為研究對象，10個小球在下滑過程中只有重力做功，運動到水平槽上后，由于相互作用，最終以同一速度做勻速直線運動，其間由于小球間的彈力作用，雖然有動能與動能間的轉(zhuǎn)移，但機械能守恒.?設(shè)10個小球的最終速度為v，根據(jù)機械能守恒定律得：

10mg（h+9r·sin？茲）=·10m·v2

解得：v=

由動能定理可求得2號球?qū)?號球所做的功為：

W=mv2-m=9mgrsin？茲

點評：1號球在下滑過程中，只有重力做功，此過程1號球的機械能守恒.?從開始到10個小球都運動到水平槽內(nèi)并做勻速運動的整個運動過程中，由于小球間有相互作用力，而且，相互作用力做了功，實現(xiàn)小球間動能的轉(zhuǎn)移，但10個小球的機械能依然守恒.?在整個運動過程中，對于任何一個小球來說，由于相互作用力做了功，因此機械能都不守恒.?因此，在解題時，一定要弄清楚機械能守恒的條件.

4.?多過程的機械能守恒.

求解多過程問題，關(guān)鍵在于弄清各個小過程中是否滿足機械能守恒的條件，如果系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈簧的彈力做功，則機械能守恒，可以應(yīng)用機械能守恒定律建立方程.

【例4】如圖4所示，質(zhì)量分別為3m、2m、m的三個小球A、B、C，用兩根長為L的輕繩相連，置于傾角為30°、高為L的固定光滑斜面上，A球恰能從斜面頂端處豎直落下，弧形擋板使小球只能豎直向下運動，碰撞過程中沒有動能損失，小球落地后均不再反彈，現(xiàn)由靜止開始釋放它們，不計所有摩擦.?求：

（1）A球剛要落地時的速度大小;

（2）C球剛要落地時的速度大小.

分析：（1）此題可分為三個小過程：小球A下落的過程;小球B從斜面頂端下落的過程;小球C從斜面頂端下落的過程.

在小球A下落的過程中，取三個小球為研究對象，只有重力做功，則機械能守恒.?取地面為零勢能處，設(shè)小球A下落到地面時的速度為v1，由機械能守恒定律得：

2mgLsin30°+3mg·2Lsin30°

=mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·6m·

解得：v1=

（2）在小球B下落的過程中，取B、C兩個小球為研究對象，由于只有重力做功，則機械能守恒.?設(shè)小球B下落到地面時的速度為v2，由機械能守恒定律得：

mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·3m·

=mg·2Lsin30°+·3m·

解得：v2=

在小球C下落的過程中，由于只有重力做功，則機械能守恒.?設(shè)小球C下落到地面時的速度為v3，由機械能守恒定律得：

mg·2Lsin30°+·m·=m

解得：v3=.

點評：本題中，從小球A開始下落到小球C下落到地面上的過程中，可以分為三個小過程.?在小球A下落過程中，只有取三個小球為系統(tǒng)時機械能才守恒;在小球B下落過程中，只有取B、C兩個小球為系統(tǒng)時機械能才守恒;在小球C下落過程中，只有取小球C為研究對象時機械能才守恒.?因此，在求解多過程問題時，必須弄清各個過程機械能是否守恒，選取哪些物體作為系統(tǒng)時機械能才守恒.

5.?繩子牽連的物體系的機械能守恒.

求解通過繩子牽連的物體構(gòu)成的系統(tǒng)問題，必須注意兩點：其一，要弄清機械能守恒的條件;其二，對于不可伸長的繩子模型，繩子兩端的物體在沿著繩子方向的分速度大小一定相等.

【例5】有一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣一側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖5所示.?已知A球始終不離開圓柱內(nèi)表面，且細(xì)繩足夠長，若不計一切摩擦阻力，求：

（1）A球沿圓柱內(nèi)表面滑至最低點時速度的大小;

（2）A球沿圓柱內(nèi)表面運動的最大位移.

分析：（1）在A下滑至圓柱內(nèi)表面最低點的過程中，取A球、B球和繩子組成的系統(tǒng)為研究對象，除了重力做功外，繩子對A球做負(fù)功，繩子對B球做正功，其代數(shù)和等于零，可見，該系統(tǒng)機械能守恒.?設(shè)A球滑至最低點時的速度大小為vA，此時B球的速度為vB.?設(shè)B球的質(zhì)量為m，則A球的質(zhì)量為2m，由機械能守恒定律得：

2mgR-mgR=·2m·+m

由于兩個球沿著繩子方向的速度大小相等，將A球的速度vA分解為vA1和vA2，如圖6所示，則有：vB=vA1=vA?cos?45°

解以上兩式得：vA=2

（2）當(dāng)A球沿圓柱內(nèi)表面運動的位移最大時，如圖7所示，此時A球的速度為0.?設(shè)A球最大位移為x，由幾何關(guān)系可求出A球下降的高度h：

h=

由機械能守恒定律得：2mgh-mgx=0

解得：x=R

點評：A球和B球通過繩子牽連，由于繩子的不可伸縮，則兩個球沿著繩子方向的速度大小相等.?本題中，在A球下滑的過程中，雖然繩子分別對兩個球做功，但做功的代數(shù)和等于零，所以，在A球下滑的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒.

6.?輕桿牽連的物體系的機械能守恒.

通過輕桿連接的物體系，由于輕桿的不可伸縮性，在輕桿方向上，輕桿兩端的物體的分速度大小相等.?輕桿通過做功可以起到傳遞機械能的作用，但系統(tǒng)的機械能總量不變.

【例6】如圖8所示，有一光滑軌道ABC，AB部分是半徑為R的圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，忽略小球的大小.?開始時a球處在圓弧上端的A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，下列說法正確的是（ ）

A.?a球下滑過程中機械能守恒

B.?a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)在下滑過程中機械守恒

C.?a、b滑到水平軌道上時速度大小為

D.?從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為mgR

分析：對a球來說，重力和輕桿對它的彈力都做正功，因此，a球的機械能增加，選項A錯誤;對a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)，在下滑過程中除了重力做功外，輕桿對a球做正功，對b球做負(fù)功，且代數(shù)和等于零，因此，a、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)總機械能守恒，選項B正確;

對a、b系統(tǒng)應(yīng)用機械能守恒定律得：

mgR+mg·2R=·2m·v2

解得：v=，可見，選項C錯誤;

對a應(yīng)用動能定理得：mgR+W=mv2，解得W=mgR，所以，選項D正確.

點評：本題中，由a球、b球和輕桿組成的系統(tǒng)，雖然輕桿分別對兩球做了功，但代數(shù)和等于零，故系統(tǒng)的機械能守恒.?但對于其中的任一個球，機械能都不守恒.?在兩個球下滑過程中，它們的速度并不相等，但沿著輕桿方向的分速度大小一定相等.

7.?彈簧牽連的物體系的機械能守恒.

由彈簧和通過彈簧相牽連的兩個物體所組成的系統(tǒng)，如果只有彈簧的彈力和重力做功，則系統(tǒng)的機械能守恒.?在相互作用過程中，當(dāng)彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，彈簧兩端的物體具有相同的速度.?如果彈簧和通過彈簧相牽連的兩個物體所組成的系統(tǒng)內(nèi)每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，則當(dāng)彈簧的長度為自然長度時（無形變），系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度.

如果彈簧與其兩端的物體不相連，彈簧的作用是將其儲存的勢能轉(zhuǎn)化為物體的動能.

【例7】如圖9所示，半徑為R的光滑半圓弧軌道與高為10R的光滑斜軌道放在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡.?在水平軌道上，輕質(zhì)彈簧被a、b兩個小球擠壓但不與兩球連接，處于靜止?fàn)顟B(tài).?同時釋放兩個小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達(dá)斜軌道的最高點B.?已知a球質(zhì)量為m1，b球質(zhì)量為m2，重力加速度為g.?求：

（1）a球離開彈簧時的速度大小va;

（2）b球離開彈簧時的速度大小vb;

（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能Ep?.

分析：（1）由于a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，由牛頓第二定律可知：

m1g=m1

a球被彈簧推出至運動到圓弧軌道的最高點的過程中，只有重力做功，故機械能守恒，即：

m1=m1+m1g·2R

所以，a球離開彈簧時的速度大小為：va=.

（2）b球從被彈簧推出至運動到斜軌道的最高點B的過程中，只有重力做功，故機械能守恒，即：

m2=m2g·10R

則b球離開彈簧時的速度大小vb為：vb=2

（3）在釋放小球的過程中，取彈簧和兩個小球為系統(tǒng)，由于系統(tǒng)只有彈簧的彈力做功，則系統(tǒng)的機械能守恒，設(shè)彈簧在釋放小球前具有的彈性勢能為Ep，根據(jù)機械能守恒定律得：Ep=m1+m2

解得：Ep=（m1+10m2）Rg

點評：本題中的彈簧與其兩端的小球并不相連，所以，彈簧通過彈力將其勢能轉(zhuǎn)化為兩個小球的動能.?就其中的一個小球而言，由于彈簧的彈力做功，其機械能不守恒，但如果取兩個小球和彈簧組成的系統(tǒng)，則在相互作用過程中，系統(tǒng)的機械能守恒.

8.?勻質(zhì)鏈條的機械能守恒.

對于勻質(zhì)鏈條類問題，由于在運動過程中，鏈條的重心位置相對鏈條要發(fā)生變化，因此，求解鏈條類問題時，不能簡單地將鏈條當(dāng)作質(zhì)點來處理.?如果鏈條只在重力做功的情況下，則可以應(yīng)用機械能守恒定律求解.?求解時，往往將鏈條分段進行處理.

【例8】如圖10所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為α的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜止地放在ABC面上，其一端D至B的距離為L-a，其中a未知，現(xiàn)自由釋放鏈條，當(dāng)鏈條的D端滑到B點時鏈條的速率為v，求a.

分析：在鏈條下滑的過程中，由于只有重力做功，則機械能守恒.?取光滑水平面AB處為零勢能位置，設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為m，則鏈條開始時的機械能為：

E1=-am·g·asinα

當(dāng)鏈條的D端滑到B點時，此時鏈條的機械能為：

E2=-Lm·g·Lsinα+Lmv2

由機械能守恒定律知：E1=E2

解以上方程得：a=

點評：由于鏈條下滑的過程中只有重力做功，所以，鏈條的機械能守恒.?開始時，在確定重力勢能時，可以將鏈條分為兩段進行處理，這樣就很容易求出鏈條的重力勢能，從而使問題得到順利解答.

9.?流體的機械能守恒.

對于流體，在狀態(tài)變化的過程中，由于流體的重力勢能的變化與過程無關(guān)，只與始末狀態(tài)有關(guān)，因此，求解流體問題，通常采用等效法.?求解時要注意整段液柱的重力勢能的變化相當(dāng)于某一部分液柱的重力勢能的變化.

【例9】如圖11所示，一粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有同種液體豎直放置，右管口用蓋板A密閉一部分氣體，左管口開口，兩液面高度差為h，U形管中液柱總長為4h，現(xiàn)取走蓋板，液柱開始流動.?當(dāng)兩側(cè)液面恰好相齊時右側(cè)液面下降的速度大小為多大？

分析：取走蓋板，在液體流動的過程中，由于只有液體的重力做功，所以，液體的機械能守恒.

當(dāng)兩側(cè)液面恰好相齊時，設(shè)此時右側(cè)液面下降的速度為v，高為h/2的液體的質(zhì)量為m.?在此過程中，整段液體重力勢能的減少量相當(dāng)于將如圖12所示的高為h/2的液柱1移到位置2時減少的重力勢能，即：

△Ep=-mg·

顯然，此過程減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為整段液體的動能，由機械能守恒定律得：

mg·=·8m·v2

解得：v=

點評：本題中，在液體流動過程中，液體重力勢能減少，轉(zhuǎn)化為液體的動能.?求解本題的關(guān)鍵在于如何確定液體重力勢能的減少量，這里采用了等效法，即把整段液體重力勢能的減少量等效為高為h/2的液柱下降h/2高度所減少的重力勢能.?這樣，就可以順利地找到了解題的突破口.

10.?綜合問題的機械能守恒.

在求解綜合問題時，只有那些只有重力做功和彈簧的彈力做功的情況下，才能應(yīng)用機械能守恒定律.?通常情況下，對一個綜合性的力學(xué)問題，往往要綜合應(yīng)用不同的力學(xué)規(guī)律，在求解時，務(wù)必正確分析物理過程和特點，準(zhǔn)確選取物理規(guī)律.

【例10】2020年新年伊始，人們懷著對新一年的美好祝愿和期盼，在廣場的水平地面上豎立了2020數(shù)字模型，如圖13所示，該模型是由較細(xì)的光滑管道制造而成，每個數(shù)字高度相等，數(shù)字2上半部分是半徑R1=1m的圓形管道，數(shù)字0是半徑R2=1.5m的圓形管道，2與0之間分別由導(dǎo)軌EF和HM連接，最右側(cè)數(shù)字0管道出口處與四分之一圓軌道MN連接.?從軌道AB上某處由靜止釋放質(zhì)量為m=1kg的小球，若釋放點足夠高，小球可以順著軌道連續(xù)通過2020管道并且可以再次返回2020管道.?D、G分別為數(shù)字2與0管道上的最高點，水平軌道BC與小球間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，且長度為L=1m，其余軌道均光滑，不計空氣阻力且小球可以當(dāng)作質(zhì)點，g取10m/s2.

（1）若小球恰好能通過2020管道，則小球在AB軌道上靜止釋放處相對地面的高度h為多少.

（2）若小球從h1=5?m高處靜止釋放，求小球第一次經(jīng)過D點時對管道的壓力.

分析：（1）小球恰好能通過2020管道的臨界條件是過最高點時的速度等于零，設(shè)小球到達(dá)C點時的速度為vC，從開始至到達(dá)C點的過程中應(yīng)用動能定理得：

mgh-μmgL=m

小球從C點運動至數(shù)字為2的管道的最高點D的過程中，由于只有重力做功，小球的機械能守恒，則有：

m=mg·2R2

解得：h=3.5m

（2）小球從釋放到運動至C處時，由動能定理得：

mgh1-μmgL=m

小球從C點運動至數(shù)字為2的管道的最高點D的過程中，由于只有重力做功，小球的機械能守恒，則有：

m=mg·2R2+m

小球第一次經(jīng)過D點時，設(shè)小球在D處受到的彈力為FN，由牛頓第二定律得：

mg+FN=m

解以上方程得：FN=20N

由牛頓第三定律可知小球在D處對管道的壓力大小為20N，方向豎直向上.

點評：小球在運動過程中，經(jīng)過水平軌道BC時，由于摩擦力做功，小球的機械能不守恒，小球經(jīng)過其余各處時都只有重力做功，其機械能守恒.?因此，在解題時還需要運用動能定理求解相關(guān)的速度.

總之，在應(yīng)用機械能守恒定律解決力學(xué)問題時，既要重視機械能是否守恒的條件分析，也要注意研究對象的準(zhǔn)確選取.?這樣，才會順利達(dá)到應(yīng)用機械能守恒定律解決問題的目的.

責(zé)任編輯?李平安