張淼

[摘? 要] 文章通過對數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，分析不同的教學(xué)方式帶來的教學(xué)效果. 學(xué)生在深挖例題教學(xué)中，不斷拓展知識與技能的深度和廣度;在創(chuàng)新式例題教學(xué)中，親歷問題的發(fā)生發(fā)展過程，形成解題模型. 學(xué)生在教師的引導(dǎo)下不斷地夯實(shí)知識基礎(chǔ)，掌握知識內(nèi)涵，形成解題模型，提高解題能力.

[關(guān)鍵詞] 例題;數(shù)學(xué)教學(xué);解題能力

古往今來，數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科存在于我們的學(xué)習(xí)與生活中，而例題講解作為數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)必不可少的重要環(huán)節(jié)，能有效地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展與解題能力的提升. 例題教學(xué)既是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方法，又是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段[1]. 作為教師，應(yīng)充分認(rèn)識到例題教學(xué)的重要性，通過深挖例題與創(chuàng)新教學(xué)，幫助學(xué)生在解題過程中規(guī)范解題格式，理清解題思路，達(dá)到鞏固所學(xué)知識、提高解題能力的目的.

深挖例題，掌握知識內(nèi)涵

近些年，筆者著手研究了各地區(qū)的中考試題，發(fā)現(xiàn)其中有很多試題都改編自教材中的經(jīng)典例題或習(xí)題. 這種取材方式既體現(xiàn)了例題的重要性，又能反映學(xué)生對知識與技能運(yùn)用的熟練度和靈活度. 那么，我們應(yīng)該怎樣讓例題教學(xué)變得更有價(jià)值呢？我們該用何種方式深挖例題所蘊(yùn)含的知識呢？筆者認(rèn)為，只要用心地揣摩，逐漸放大例題的深度與廣度，我們就能開發(fā)出例題中所蘊(yùn)含的教學(xué)資源，從而掌握知識內(nèi)涵.

案例1 ？搖“等邊三角形的性質(zhì)”的教學(xué).

例題：如圖1，△ABC與△DEC均是等邊三角形，其中A，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，度量AD與BE的長度，說說它們之間的關(guān)系，并說明理由.

本題是教材中出現(xiàn)的一道習(xí)題，出題的本意在于考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)的掌握程度，并根據(jù)其性質(zhì)判定△DAC≌△EBC，由此可知AD=BE. 解決這個(gè)問題的難度并不大，這里從略.

有經(jīng)驗(yàn)的教師不難發(fā)現(xiàn)，圖1在往年的模擬考試或中考中均出現(xiàn)過，一般除了考查學(xué)生兩條線段的數(shù)量關(guān)系而外，還會涉及一些線段位置關(guān)系的判斷或夾角問題的判斷等. 因此，作為教師，執(zhí)教時(shí)不能僅僅滿足于本題的解答，還應(yīng)該運(yùn)用發(fā)展的眼光審視本題，細(xì)細(xì)琢磨題干呈現(xiàn)的每一個(gè)條件，深挖各個(gè)條件背后所蘊(yùn)含的知識.

如“A，C，E三點(diǎn)在同一條直線上”這個(gè)條件有什么作用？我們可以通過這個(gè)條件看出什么？為了深挖這個(gè)條件的作用，筆者運(yùn)用幾何畫板將圖形進(jìn)行了一些改變，改變的規(guī)則是“緊抓變化中的不變條件，讓學(xué)生充分感知幾何運(yùn)動的過程”.

雖然大部分學(xué)生能跟上教師的節(jié)奏，完成本題的解答，但在理由的闡述環(huán)節(jié)，很多學(xué)生都沒有用上“A，C，E三點(diǎn)在同一條直線上”這個(gè)條件，他們并沒有考慮到這句話所蘊(yùn)含的意義與出現(xiàn)的真正作用.

為了讓學(xué)生關(guān)注到“A，C，E三點(diǎn)在同一條直線上”這句話，筆者提出：“現(xiàn)在我們將本題的這句話刪掉，其他條件均不變，請大家根據(jù)題意畫圖. ”

（學(xué)生小組合作并討論）

學(xué)生討論后決定用幾何畫板演示：△ABC固定不動，將圖1中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn). 此時(shí)△CDE隨著點(diǎn)D與點(diǎn)E的位置變化而出現(xiàn)各種新的圖形. 雖然圖形的形狀沒有發(fā)生改變，但是角度卻發(fā)生了變化.

在學(xué)生對自主畫出新的圖形而充滿成就感時(shí)，教師提出：“隨著圖形的改變，我們在原題中獲得的AD=BE這個(gè)結(jié)論還成立嗎？”教師要求每個(gè)小組都選取一個(gè)圖形進(jìn)行說明（組與組之間的圖形不重復(fù)）.

從每個(gè)組的發(fā)言中我們可以看出，通過三角形全等的方式可以證明AD=BE，證明過程中所用到的證明條件和原題非常相似，唯有夾角相等這個(gè)條件需要用加減法來計(jì)算. 其中，遇到的最為特殊的圖形如圖2和圖3. 對于圖2，A，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，B，C，E三點(diǎn)也在同一條直線上，因此圖1中涉及的△DAC與△EBC并不存在，所以不能通過這兩個(gè)圖形的全等來獲得結(jié)論，但可以通過線段之和相等得到AD=BE.

對于這道例題的講解，教師通過小組合作的方式，鼓勵學(xué)生通過幾何畫板自主尋找圖形變化的規(guī)律，然后根據(jù)圖形變化后點(diǎn)、角、線的不同來分析相應(yīng)的結(jié)論. 學(xué)生在探索此題的變化過程中逐漸獲得了解決問題的條理性. 這一過程能在夯實(shí)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，有效地發(fā)展學(xué)生解題的探索能力與思維能力.

波利亞認(rèn)為：“用一個(gè)不算復(fù)雜的例題讓學(xué)生感知并發(fā)掘問題的各個(gè)方面，能將學(xué)生帶入一個(gè)完整的新世界[2]”在此，為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神奇之處，誘導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展與數(shù)學(xué)能力的提升，教師以一道簡單易懂的例題為引子，讓學(xué)生通過這道題的不斷深入，逐漸感知三角形全等的性質(zhì)在解題中的運(yùn)用. 學(xué)生在問題的變化中構(gòu)建出了一張嶄新的、完整的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng).

注重創(chuàng)新，形成解題模型

隨著新課改將“創(chuàng)新”的教育理念根植于教育者的思想與行動中后，不論是日常的教學(xué)設(shè)計(jì)，還是各類公開課或比賽，也都趨向于一種“創(chuàng)新”的教育理念. 其實(shí)，新課改所推崇的創(chuàng)新，不僅體現(xiàn)在我們所看到的公開課上，更重要的是要貫徹到日常的教學(xué)中. 學(xué)生從課堂例題講解的創(chuàng)新中感知知識的形成過程，從而構(gòu)建新的解題模型，提高解題能力.

案例2？搖 “握手問題”的教學(xué).

原題：新學(xué)期開始，古箏社團(tuán)的同學(xué)是來自不同班級的新成員，教師組織她們兩兩握手并進(jìn)行自我介紹.

（1）若社團(tuán)有成員10個(gè)人，她們兩兩握手，一共需要握手多少次？

（2）若社團(tuán)的成員超過10個(gè)人，一共需要握手多少次？有沒有一種辦法，可以直接計(jì)算出任意人數(shù)兩兩握手的總次數(shù)？

學(xué)生初次遇到這道題，都認(rèn)為難度很大，難以計(jì)算. 為了讓學(xué)生更好地接受此題的解題方法，筆者采取降低難度的方式進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué)，讓學(xué)生從新的問題中構(gòu)建二次函數(shù)模型，實(shí)現(xiàn)類化處理問題的教學(xué)目的. 具體過程如下.

1. 學(xué)生之間做互相握手的試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果填入表1，其中字母y表示學(xué)生之間握手的總次數(shù)，n表示參與握手的學(xué)生總?cè)藬?shù).

2. 建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將表1中的數(shù)據(jù)作為坐標(biāo)中的點(diǎn)，把y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系圖像描繪出來.

3. 根據(jù)自己所描繪的圖像猜想y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式.

對于此過程，學(xué)生填寫表1毫無障礙;在平面直角坐標(biāo)系中描繪y關(guān)于n的函數(shù)圖像（如圖4），學(xué)生也相當(dāng)順利;學(xué)生在以上兩步的基礎(chǔ)上猜想y關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式并不費(fèi)力，再根據(jù)待定系數(shù)法獲得y=n2-n. 此題到了這個(gè)階段，握手模型已經(jīng)建立. 當(dāng)學(xué)生再次遇到類似問題時(shí)，則手到擒來.

教師借助平面直角坐標(biāo)系的使用來降低本題的解題難度，這種方式能有效地幫助學(xué)生找到同類問題的解題技巧，大大地提高了解決“握手問題”的能力. 此題還可以從組合問題著手進(jìn)行創(chuàng)新講解，即每次握手都是從n個(gè)人中取2個(gè)人，所以結(jié)論是 這種方式比較抽象，對學(xué)生的思維能力要求較高. 這個(gè)問題若采用在草稿紙上畫點(diǎn)，再進(jìn)行兩兩連接的方式，也能通過計(jì)算線段的數(shù)量解決.

由此可見，一道題的講解方式多種多樣，只要我們教師愿意花時(shí)間與精力去研究與琢磨，就能讓學(xué)生看到問題的本質(zhì). 從心理學(xué)角度出發(fā)，學(xué)生親身經(jīng)歷并感受問題的發(fā)生與發(fā)展過程，形成理解性的記憶比機(jī)械性記憶更加牢固[3]. 學(xué)生在親歷中一旦形成“握手模型”，不管題目發(fā)生怎樣的變化，解題方法永遠(yuǎn)不變，即萬變不離其宗，其解題能力與思維能力也會在教師的引導(dǎo)中得以提升.

總之，不管是深挖例題資源還是創(chuàng)新例題講解，都可以采用開放的教學(xué)方式. 這種教學(xué)方式不僅延伸了例題教學(xué)，拓展了知識內(nèi)涵，而且給學(xué)生提供了更寬廣的思維空間，能在激發(fā)學(xué)生求知欲的同時(shí)有效地提升學(xué)生的解題能力. 因此，教師在遇到簡單例題時(shí)，可以適當(dāng)增加例題的深度與廣度，以拓展學(xué)生的知識面. 若遇到學(xué)生無從下手的例題，則改變教學(xué)方式，通過實(shí)驗(yàn)、畫圖等方式降低例題的難度，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]李樹臣. 認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)? ?教會學(xué)生數(shù)學(xué)思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（12）.

[2]G·波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[3]崔允淳. 教案的革命：基于課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)歷案[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2016.