陳溥 楊貺

摘 要 本文根據(jù)2017年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題中提供的物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)采樣數(shù)據(jù)，運(yùn)用SPSS軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，得到了各種物質(zhì)顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型。對所得模型進(jìn)行誤差分析發(fā)現(xiàn)，只有組胺的模型達(dá)到精度要求，其它四種物質(zhì)的模型誤差均偏大，且模型失效。對失效的模型，考慮更優(yōu)的建模方法，計(jì)算四種物質(zhì)數(shù)據(jù)中五個影響指標(biāo)兩兩之間的相關(guān)性系數(shù)，選取兩兩之間相關(guān)性系數(shù)最大的三對指標(biāo)進(jìn)行重新組合，得到一組新的數(shù)據(jù)，之后進(jìn)行重新建模，最終得到了各物質(zhì)顏色讀數(shù)與濃度優(yōu)化后的非線性數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞 SPSS 回歸分析 數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：TP311.54 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-0745（2021）06-0024-04

1 前言

世界是多姿多彩、五彩繽紛、光鮮亮麗的，我們在日常生活中經(jīng)常會看見五顏六色的事物，這時便會有朋友好奇顏色為什么會有這么多種，即使是相同的顏色，又為什么會有深淺，大多數(shù)人都會說是濃度不同所導(dǎo)致的，的確深淺在我們看來，就是濃淡，亦是物質(zhì)的濃度，那么如何根據(jù)顏色的深淺來確定物質(zhì)的濃度呢，這使得研究顏色讀數(shù)與濃度之間的關(guān)系就變得越來越重要。

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了。由于每個人對顏色的敏感差異和觀測誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度。

2 模型的建立與求解

首先將附件中的采樣數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS，其次在SPSS軟件中對各組數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，得到各物質(zhì)顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的模型如下：（模型中的符號說明見下表）

3 模型的誤差分析

根據(jù)以上所得各物質(zhì)的顏色讀數(shù)與濃度的模型，將采樣數(shù)據(jù)中各顏色讀數(shù)代入模型，求得所對應(yīng)的各物質(zhì)的濃度模型值yi，之后與所對應(yīng)的濃度采樣值yi進(jìn)行比較，代入下面平均相對誤差的計(jì)算公式：

計(jì)算得到各物質(zhì)模型的平均相對誤差如下表：

通過表格中的數(shù)據(jù)可以看出，只有組胺模型的平均相對誤差小于10%，在可以接受的范圍內(nèi)，另外四種物質(zhì)模型的平均相對誤差較大，超出了可接受范圍，模型失效。[1]

4 模型的改進(jìn)

對于四種物質(zhì)的失效模型，考慮更優(yōu)的建模方法，運(yùn)用SPSS軟件計(jì)算四種物質(zhì)采樣數(shù)據(jù)中五個影響指標(biāo)（B、G、R、H、S）兩兩之間的相關(guān)性系數(shù)，得到的相關(guān)性系數(shù)結(jié)果如上表1～4。

在各種物質(zhì)中，選取五個影響指標(biāo)兩兩之間相關(guān)性系數(shù)最大的三對指標(biāo)進(jìn)行兩兩組合（對應(yīng)的指標(biāo)數(shù)據(jù)兩兩之間做乘法運(yùn)算，得到新的組合數(shù)據(jù)），兩兩之間相關(guān)性系數(shù)最小的指標(biāo)不進(jìn)行組合（對應(yīng)的指標(biāo)數(shù)據(jù)取各自的平方，得到新的數(shù)據(jù)），從而各物質(zhì)均得到一組新的五個組合指標(biāo)，并且得到其所對應(yīng)的數(shù)據(jù)如表5～8。

將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS軟件，并對各物質(zhì)新組合的數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，得到了各物質(zhì)下顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的模型如下：

溴酸鉀的模型：

y2=413.977-0.015x1x2-0.09x1x5-0.05x23-0.03x25

工業(yè)堿的模型：

y3=-35.338+0.02x1+0.01x2x4-0.01x23-0.03x2x5+0.01x4x5

硫酸化鉀的模型：

y4=-12.578-0.00033x1x5-0.001x3x5+0.001x4x5+ 0.001x22+0.00036x24

奶中尿酸的模型：

y5=7569.571-3.404x1x4+2.019x1x5-5.845x2x3+1.015x21+ 4.867x22

根據(jù)以上所得的非線性數(shù)學(xué)模型，將采樣數(shù)據(jù)中各顏色讀數(shù)代入上述模型，求得所對應(yīng)的各物質(zhì)的濃度模型值yi，之后與所對應(yīng)的濃度采樣值yi進(jìn)行比較，代入下面平均相對誤差的計(jì)算公式：

計(jì)算得到以上四種物質(zhì)模型的平均相對誤差如上表9所示。

從表中可以看出，四種物質(zhì)模型的誤差均小于10%，由此可見，改進(jìn)后的非線性模型與之前由多元線性回歸分析所得的模型對比，有了很大的優(yōu)化。[2]

5 結(jié)語

本文運(yùn)用SPSS軟件對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行了多元線性回歸分析，建立了顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，并對所建立的模型進(jìn)行了誤差分析和改進(jìn)，得到了優(yōu)化后的非線性數(shù)學(xué)模型，根據(jù)顏色讀數(shù)來預(yù)測物質(zhì)濃度，在實(shí)際應(yīng)用中有一定的參考價值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張文彤.SPSS統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2] 武松，潘發(fā)明.SPSS統(tǒng)計(jì)分析大全[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.