◎秦貴平 (湖北省長(zhǎng)陽(yáng)土家族自治縣龍舟坪學(xué)區(qū)，湖北 宜昌 443501)

為進(jìn)一步體現(xiàn)學(xué)業(yè)水平考試的選拔功能，壓軸綜合性試題必不可少，這類題往往綜合性極強(qiáng)，考生不容易找到解題的突破口，無(wú)從下手，導(dǎo)致得分率低.解決這一類問題，往往需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，找準(zhǔn)“題眼”和切入點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

1.試題呈現(xiàn)

(2017年湖北襄陽(yáng)市中考試題)如圖1，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A(10,0)，拋物線y=ax2+bx+4過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D(-2,0)，點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t(0

(1)請(qǐng)直接寫出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC,交拋線于點(diǎn)E,連接BE,當(dāng)t為何值時(shí)∠PBE=∠OCD？

(3)點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N.當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值.

2.試題分析

問題(1)(2)學(xué)生一般沒有思維障礙，能夠順利解答，本文不再贅述.問題(3)以二次函數(shù)為背景，綜合考查四邊形、二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，命題者在這里設(shè)置了P、Q兩個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致了圖形并不唯一存在，綜合考查了四邊形、三角形、二次函數(shù)相關(guān)知識(shí).因此，透過(guò)題目表象，如何在運(yùn)動(dòng)中求靜，即探索動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的特殊位置、特殊圖形變成了本題的解題關(guān)鍵.基于此，本文從“模型思想”和“輔助圓”兩個(gè)視角出發(fā)，探究解題路徑，尋求直接、自然的解答.

3.解法探究

3.1 常規(guī)出發(fā)，尋求自然

本題實(shí)則是在運(yùn)動(dòng)中探究特殊四邊形的存在性問題，從特殊圖形存在性問題的一般處理策略看，我們都是先假設(shè)存在，然后根據(jù)圖形的定義、性質(zhì)來(lái)解決問題本身.因此，如何確定動(dòng)點(diǎn)的位置，是解決這一類問題的關(guān)鍵.此題中，四邊形PMQN已經(jīng)是平行四邊形，那么如何才能使四邊形PMQN是正方形呢？我們常規(guī)第一反應(yīng)就是直角，構(gòu)造“一線三等角”模型，那么此題中如何確定這個(gè)直角便成了解決本題的關(guān)鍵？我們注意到矩形COAB，因此我們從∠CQB入手，如果∠CQB是直角，那么一箭雙雕.一方面，通過(guò)構(gòu)造“K”圖相似，確定點(diǎn)Q的位置；另一方面，平行四邊形PMQN成了矩形，這樣只需一組鄰邊相等便可以解答此題.

解法1如圖2，假設(shè)四邊形PMQN為正方形，則：

∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN.

∴∠CQO+∠AQB=90°.

又∵∠CQO+∠OCQ=90°，

∴∠OCQ=∠AQB,

∴Rt△COQ∽R(shí)t△QAB，

設(shè)OQ=m，則AQ=10-m

∴m(10-m)=4×4，解得：m1=2，m2=8.

3.2 抓住本質(zhì)，探求直接

題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，加之圖形復(fù)雜，含參量多，計(jì)算量大，令很多考生望而生畏.通過(guò)上述解答，我們發(fā)現(xiàn)表面上運(yùn)動(dòng)的Q點(diǎn)實(shí)際上只有兩個(gè)點(diǎn)，為什么呢？我們冷靜下來(lái)認(rèn)真讀題、審題，挖掘題中的關(guān)鍵信息和條件，這些條件背后隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么，與題中所求解的結(jié)論有什么聯(lián)系，層層剖析，重點(diǎn)突破關(guān)鍵信息，動(dòng)中求靜，我們產(chǎn)生以下第二種思考.

解法2如圖3，以CB為直徑構(gòu)造⊙H與x軸交于點(diǎn)Q，連接HQ，

過(guò)點(diǎn)H作HF⊥x軸于點(diǎn)F，得HF=4，HQ=5.

∴OQ=OF-QF=2.

“圓”是中學(xué)數(shù)學(xué)中必須掌握的重要知識(shí)，構(gòu)造“輔助圓”是解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的重要方法.在解題教學(xué)中，如果能根據(jù)題設(shè)和已知條件構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，這樣將題中的固定角轉(zhuǎn)化成圓周角，使得問題順利解決，同時(shí)也體現(xiàn)了一種數(shù)形結(jié)合思想，代數(shù)問題和幾何知識(shí)互相滲透，綜合應(yīng)用，不僅能夠更好地解決問題，還能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.雖“圖中無(wú)圓”但必須做到“心中有圓”，教師應(yīng)幫助學(xué)生體會(huì) “‘圓’來(lái)可以更簡(jiǎn)單”的喜悅.

3.3 舉一反三，拓展延伸

無(wú)獨(dú)有偶，筆者在收集各地中考試題時(shí)，發(fā)現(xiàn)2020年襄陽(yáng)中考試題再現(xiàn)“輔助圓”.可見在平時(shí)的解題教學(xué)中，要注重好的、常見方法的積累.要真正領(lǐng)悟某一類題型的類型和處理策略，從而達(dá)到“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的境界，這需要長(zhǎng)期的積累和內(nèi)化.

試題再現(xiàn)：(2020年襄陽(yáng)市中考試題)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥DA且DE=DA.AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE.探究證明：當(dāng)AD≠AF時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CE的度數(shù)是否為定值，并說(shuō)明理由.(結(jié)合本文討論主題，題目有刪減.)

此題常規(guī)性方法，容易想到用相似解決.但是倘若能夠抓住∠AED=∠ACD，∠ADE=90°這兩個(gè)關(guān)鍵信息，構(gòu)造如圖所示的“輔助圓”，問題迎刃而解.具體解答過(guò)程，本文不再贅述.

4.解后反思

4.1 著眼常規(guī)，通性通法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

解題是一位數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)中必須經(jīng)歷的一個(gè)重要過(guò)程，是數(shù)學(xué)教師的基本功.但教學(xué)的終極目的是發(fā)展學(xué)生，如何通過(guò)教師的影響讓學(xué)生形成解題能力才是關(guān)鍵.很多時(shí)候，老師們都有這樣的抱怨：“為什么某個(gè)題講了很多遍學(xué)生還不會(huì)呢？”裴光亞先生說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間的交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程”，我想這是對(duì)這一“抱怨”的最好解釋，也許很多時(shí)候我們真的只是做了一個(gè)參考答案的“搬運(yùn)工”.換個(gè)角度，也許很多時(shí)候忽略了一個(gè)問題：學(xué)生是不是真正參與了整個(gè)解題的思維過(guò)程？如本題中，學(xué)生若對(duì)特殊四邊形存在性問題的處理策略沒有形成自己的經(jīng)驗(yàn)，可能就會(huì)無(wú)從下手.在平日教學(xué)里，教師要以“教學(xué)資源”為背景，讓學(xué)生充分感知思維過(guò)程，這樣的教學(xué)活動(dòng)多了，學(xué)生便會(huì)積累成基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而形成能力.

4.2 盤活課堂，教學(xué)相長(zhǎng)，打造高效課堂

早在先秦時(shí)代，我國(guó)著名古籍《禮記》就提出“學(xué)然后知不足，教然后知困.知不足然后能自反也，知困然后能自強(qiáng)也.”這個(gè)觀點(diǎn)的核心就是教學(xué)相長(zhǎng)，要做到這一點(diǎn)并非一件容易的事情，首先教師自身要有扎實(shí)的專業(yè)功底，有前沿的教育理念，有開闊的教學(xué)視野.教學(xué)是一個(gè)雙向選擇的過(guò)程，單靠教師個(gè)人的“功夫”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.筆者曾經(jīng)也有這樣的困惑，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)自我認(rèn)為課堂講得非常精彩，學(xué)生也聽得非常認(rèn)真，甚至沾沾自喜，自我陶醉的感覺，可學(xué)生成績(jī)沒有得到提升，這是因?yàn)榻處熢诤芏鄷r(shí)候只關(guān)注了“講”和“教”，忽視了教育對(duì)象的學(xué)習(xí)狀態(tài).我們還應(yīng)更多地走下講臺(tái)，多站在學(xué)生的角度思考，他們?cè)趺纯创龁栴}.教學(xué)不僅是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授，更多地還要關(guān)注思維的啟發(fā)，要盡可能地達(dá)到“解一題，通一類”的效果.

4.3 揭示本質(zhì)，發(fā)展能力，聚焦核心素養(yǎng)

裴光亞先生把教師的教學(xué)分為三種境界，六個(gè)層次，教師的成長(zhǎng)，必須經(jīng)歷從經(jīng)驗(yàn)型教師到研究型教師的跨越，經(jīng)歷從初師到大師的跨越.教學(xué)是一個(gè)發(fā)現(xiàn)學(xué)生、發(fā)展學(xué)生,發(fā)現(xiàn)自我、發(fā)展自我的過(guò)程，是師生共度的生命歷程.[1]聚焦核心素養(yǎng)，整合教學(xué)資源，揭示知識(shí)板塊之間的聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)是每一位教師追求的至高境界.

函數(shù)及其思想方法是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重頭戲，中學(xué)階段函數(shù)很好地解釋了運(yùn)動(dòng)和變化這一數(shù)學(xué)精髓，用數(shù)的形式更好地揭示了數(shù)學(xué)的“內(nèi)在本質(zhì)”和圖形的“外在美”.因此用函數(shù)作為載體，綜合幾何問題，搭建運(yùn)動(dòng)變化的平臺(tái)成了命題者的一個(gè)最好選擇.回看各地中考試題，壓軸綜合題不是呈現(xiàn)某一個(gè)難點(diǎn)知識(shí)，這類題往往都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多種思想方法的綜合體，既考查教材所要求的方程思想、代數(shù)運(yùn)算、幾何性質(zhì)，又考查考生靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題的能力.因此在教學(xué)中，教師除了注重知識(shí)的講授以外，還應(yīng)該注重提煉重要的思想方法，挖掘試題考查的本質(zhì)，總結(jié)與之對(duì)應(yīng)的處理策略，發(fā)展學(xué)生能力，發(fā)展教師自我，達(dá)到共贏境界，始終盯準(zhǔn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.