孫曉玲，王 寧

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高校理工科和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)重要的公共基礎(chǔ)課程，旨在訓(xùn)練學(xué)生用概率思想處理隨機(jī)事件，進(jìn)一步學(xué)會利用統(tǒng)計方法去處理數(shù)據(jù)資料。隨著金融類和大數(shù)據(jù)類專業(yè)的快速發(fā)展，概率論、數(shù)理統(tǒng)計和隨機(jī)過程等課程成為高校教學(xué)研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

大數(shù)定律在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的教學(xué)特點(diǎn)是內(nèi)容抽象，理論較強(qiáng)，在實(shí)際統(tǒng)計工作中應(yīng)用非常廣泛。在教學(xué)安排中，大數(shù)定律一般位于學(xué)期教學(xué)末尾，教學(xué)內(nèi)容枯燥抽象，同時，隨機(jī)序列的極限難以計算，學(xué)生理解起來較為困難。大數(shù)定律由概率的統(tǒng)計定義引申而來，在課程中具有非常重要的地位，隨機(jī)變量的動態(tài)變化在教學(xué)過程中難以進(jìn)行直觀的展示。為了增強(qiáng)教學(xué)效果，幫助學(xué)生把握大數(shù)定律的理論和應(yīng)用，可以借助軟件模擬隨機(jī)數(shù)列中的統(tǒng)計規(guī)律性。軟件輔助教學(xué)可以充分體現(xiàn)定理中的動態(tài)變化過程，教師通過圖形和動畫講授大數(shù)定律的基本思想，可以讓學(xué)生形成對新方法的直觀理解，相關(guān)教學(xué)資源的開發(fā)成為促進(jìn)概率教學(xué)的重要研究方向[1-2]。

1 Python簡介

Python是支持面向?qū)ο蟆討B(tài)數(shù)據(jù)類型的高級程序設(shè)計語言，功能強(qiáng)大且資源免費(fèi)。另外，由于Python語言可移植性強(qiáng)，其代碼可以在手機(jī)端編寫和運(yùn)行，這為學(xué)生自學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了便利的環(huán)境。

Python用于概率統(tǒng)計的程序庫主要有numpy和matplotlib，它們分別可被用于數(shù)值運(yùn)算和可視化操作。Python代碼語法簡單，可讀性強(qiáng)，編寫簡易，具有強(qiáng)大的圖形和動畫編程功能，方便演示數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生自主進(jìn)行代碼的學(xué)習(xí)和開發(fā)。

利用Python對大數(shù)定律進(jìn)行隨機(jī)模擬，并生成動畫或者視頻，結(jié)合計算機(jī)可視化方法豐富教學(xué)手段，在課程的教學(xué)中可以加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。利用軟件進(jìn)行概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對培育大學(xué)生學(xué)以致用的學(xué)習(xí)能力、推動概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)改革具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。另外，動態(tài)視頻在學(xué)習(xí)過程中還能讓學(xué)生深刻理解理論的變化過程，有助于將理論應(yīng)用于實(shí)踐中，Python代碼的學(xué)習(xí)還能提高學(xué)生運(yùn)用計算機(jī)應(yīng)用軟件的能力，體現(xiàn)學(xué)以致用的思想[3-4]。

2 大數(shù)定律極限思想

在中心極限定理和大數(shù)定律表述中，隨機(jī)變量和的極限出現(xiàn)次數(shù)比較多，在概率理論中，隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn和的分布計算非常復(fù)雜，對其極限的討論也非常困難。引入極限思想后，發(fā)現(xiàn)在很一般的情形下，和的極限分布就是正態(tài)分布，從而可以通過極限方法得到中心極限定理的相關(guān)結(jié)論。另一方面，由伯努利實(shí)驗(yàn)引出的概率的統(tǒng)計定義和大數(shù)定律也可以使用極限思想進(jìn)行理論探討，從而得到幾個大數(shù)定律的結(jié)論。

大數(shù)定律的一般結(jié)論：設(shè)有隨機(jī)變量序列{Xn}，如果對任意ε>0，有

則稱該隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律。大數(shù)定律的結(jié)論是概率意義上的，根據(jù)給定的隨機(jī)變量序列滿足的條件不同得到不同的大數(shù)定律，如切比雪夫大數(shù)定律、馬爾科夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。

大數(shù)定律來自于對隨機(jī)事件的大量觀測，是對“平均值的穩(wěn)定性”這一事實(shí)的理論表述，在教學(xué)過程中定理的證明并不復(fù)雜，但其中包含的極限過程的動態(tài)刻畫不容易講解。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能記住大數(shù)定律的基本結(jié)論，但是對其應(yīng)用和含義的理解不夠透徹，隨著n無限增加時，大數(shù)定律的極限中概率值的變化趨勢難以形象化。借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想方法可以有效解決大數(shù)定律教學(xué)過程中的這兩個難點(diǎn)[5-6]。

3 大數(shù)定律的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)把計算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入課程教學(xué)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和計算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識問題和解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探求的創(chuàng)新精神。以下通過幾個實(shí)驗(yàn)簡單展示其在大數(shù)定律教學(xué)中的應(yīng)用。

3.1 頻率穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

伯努利大數(shù)定律從理論上證明了頻率具有穩(wěn)定性，且依概率收斂于隨機(jī)變量的概率值，是蒙特卡羅法的理論基礎(chǔ)。辛欽大數(shù)定律為隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算提供了實(shí)際可行的途徑——隨機(jī)變量的算術(shù)平均值趨向于其數(shù)學(xué)期望，是參數(shù)估計的理論基礎(chǔ)。

拋硬幣試驗(yàn)是典型的n重伯努利試驗(yàn)，是概率教學(xué)的經(jīng)典實(shí)例，利用Python的matplotlib繪圖庫可以實(shí)現(xiàn)擲硬幣的動態(tài)演示過程，橫軸代表硬幣出現(xiàn)正反面的情況，縱軸表示出現(xiàn)次數(shù)，利用變量作為標(biāo)題還能動態(tài)顯示正面出現(xiàn)的概率。圖1顯示了程序運(yùn)行結(jié)果動畫的部分截圖，可以看出拋擲硬幣次數(shù)與正面出現(xiàn)頻率的動態(tài)變化過程，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加逐步體現(xiàn)出頻率穩(wěn)定性的結(jié)論。

圖1 頻率穩(wěn)定性動畫截圖

3.2 伯努利大數(shù)定律的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

計算隨機(jī)樣本均值的過程中，均值依概率收斂于概率，均值穩(wěn)定性體現(xiàn)在隨著試驗(yàn)次數(shù)增加均值逐步收斂，最終依概率1收斂于概率p。圖2為動畫過程的部分截圖，可以看出隨著n的增加，均值在概率p上下兩側(cè)的波動越來越小，以動畫顯示實(shí)驗(yàn)過程更加具有趣味性，能加深對理論知識的理解[7-8]。

圖2 大數(shù)定律均值穩(wěn)定性動畫截圖

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)定理的過程和方式，把感知、理解、運(yùn)算和應(yīng)用融為一體，圖形更加直觀，為學(xué)生揭示數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。豐富了教師的教學(xué)手段和教學(xué)內(nèi)容，便于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的興趣。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改變了教師和學(xué)生在教學(xué)活動中的關(guān)系和地位，教師不但是知識的提供者還是實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)者，學(xué)生變成主要的參與者，從單純地接受知識變成自我學(xué)習(xí)、自我發(fā)現(xiàn)的主題，有利于教師因材施教，充分鍛煉學(xué)生獨(dú)立探索和解決問題的能力。

基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)活動的開展發(fā)揮了理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁作用，利用軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，加大了教學(xué)信息量，使數(shù)學(xué)與計算機(jī)仿真有機(jī)結(jié)合起來，讓學(xué)生能站在“科學(xué)研究”的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)理論的驗(yàn)證、再發(fā)現(xiàn)等創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芴岣邔W(xué)生的動手、動腦能力，通過Python程序?qū)嶒?yàn)仿真，可實(shí)現(xiàn)和解決微積分問題中教學(xué)重難點(diǎn)的理解和應(yīng)用，提高大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的興趣與用數(shù)學(xué)方法的技巧。