【摘 要】在中學(xué)階段，學(xué)生應(yīng)建立數(shù)與形的聯(lián)系，學(xué)會(huì)利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀理解并解決問(wèn)題，掌握數(shù)形結(jié)合方法，形成數(shù)學(xué)直觀，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。本文探討在函數(shù)與方程問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想找到正確作圖方法，從而利用圖象解決問(wèn)題的策略，從直接作圖，轉(zhuǎn)化作圖，求導(dǎo)作圖，轉(zhuǎn)化、求導(dǎo)結(jié)合作圖這四個(gè)層次展開(kāi)論述。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);函數(shù)與方程問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合;作圖

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0128-04

數(shù)形結(jié)合就是利用幾何圖形描述問(wèn)題，借助幾何圖形理解問(wèn)題，通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法，它是解決函數(shù)與方程問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)思想之一。高考對(duì)函數(shù)與方程問(wèn)題的考查年年涉及，學(xué)生普遍覺(jué)得難，得分率較低，主要原因是學(xué)生不能準(zhǔn)確理解題意，不能有效轉(zhuǎn)化，哪怕心中清楚解決此類問(wèn)題多數(shù)時(shí)候要用到數(shù)形結(jié)合思想，但苦于作不出正確的函數(shù)圖象，無(wú)法突破難點(diǎn)?；诖?，筆者將從四個(gè)層次對(duì)如何在函數(shù)與方程問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法找到作圖方法略作探討[1]。

1? ?直接作圖

例1：設(shè)a，b，c分別是方程x+3=logx，（）x=logx，（）x=x+3的實(shí)數(shù)根，則（? ）

A.a

分析：比較a，b，c大小，只需在同一坐標(biāo)系中直接作出三函數(shù)y=x+3，y=logx，y=（）x的圖象，看他們的交點(diǎn)位置即可，如圖1。

觀察得到c

例2：已知λ∈R，函數(shù) f（x）=，若函數(shù) f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是_______。

分析：分段函數(shù) f（x）=恰有2個(gè)零點(diǎn)，則有兩種情況：①二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一次函數(shù)無(wú)零點(diǎn);②二次函數(shù)與一次函數(shù)各有一個(gè)零點(diǎn)。而此分段函數(shù)的每一段都是學(xué)生熟悉的函數(shù)，故可直接作圖，如圖2。

平移直線x=λ，分λ<1，1<λ<3，3<λ<4，λ>4四種情況，由圖2即可得到λ∈（1，3]∪（4，+∞）。

評(píng)注：方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，在高考中一般都是要用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)處理，觀察例1、例2可以看到題中涉及的都是學(xué)生熟悉的基本初等函數(shù)，所以直接作出函數(shù)圖象，再依靠圖象即可獲得答案。

2? ?轉(zhuǎn)化作圖

例3：已知函數(shù) f（x）= ，g（x）= f（x）+x+a，若 g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（? ）

A.[?1，0）? B.[0，+∞）? C.[?1，+∞）? D.[1，+∞）

分析：此題已知的是 g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，但學(xué)生大多不能直接作出它的函數(shù)圖象，則可以思考能否把它轉(zhuǎn)化為熟悉的基本初等函數(shù)。通常情況下處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為處理方程的根問(wèn)題，而 f（x）的每一段都是基本初等函數(shù)，故可令 g（x）= f（x）+x+a=0，把不能作圖的 g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以作圖的 h（x）=?x?a和 f（x）兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，如圖3所示。要想 y= f（x）的圖象與y=h（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移動(dòng)態(tài)函數(shù) y=h（x）的圖象可知，當(dāng)直線 y=?x?a過(guò)點(diǎn)（0，1）時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)a=?1，往下平移時(shí)均有2個(gè)交點(diǎn)，所以a≥?1。

例4：已知 f（x）= ，則 y= f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（? ）

A.4? ? ? B.3? ? ? C.2? ? ? D.1

分析：本題無(wú)法直接作圖，需轉(zhuǎn)化作圖，令+x?

=0，移項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)如果只是單純地左右拆分，

依然無(wú)法作出圖象，需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，將變形，兩邊同乘x，化簡(jiǎn)得到2|x|=2?x2（x≠0），此時(shí)左右兩邊的函數(shù)均可作圖，畫出函數(shù) y1=2|x|（x≠0）， y2=2?x2（x≠0）的圖象，如圖4所示，由圖可知，函數(shù) f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)。

評(píng)注：在處理方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，如果題中的函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接作圖，可通過(guò)轉(zhuǎn)化后作出函數(shù)圖象解題，如例3中只需移項(xiàng)，左右重新組合就可作出函數(shù)圖象;如果移項(xiàng)后仍不能作圖，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化直到可以作圖，如例4需要適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行整理變形轉(zhuǎn)化。只要能得到學(xué)生熟知的基本初等函數(shù)，問(wèn)題就能迎刃而解。

3? ?求導(dǎo)作圖

例5：已知函數(shù) f（x）=，a∈R，若方程 f（x）?2=0恰有3個(gè)不同的根，求a的取值范圍。

分析：此題中第一段函數(shù)不能直接作圖，但可以適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化。把=2（x≠0）的兩邊同乘x，得到ex?1=2x就可以作出圖象，進(jìn)而得出答案。除此以外，此題還可通過(guò)“求導(dǎo)”解題，通過(guò)使用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而知道函數(shù)的極值、最值，那么就能大致畫

出函數(shù)的圖象。當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=，f′（x）=，

當(dāng)01時(shí)， f′（x）>0，函數(shù) f（x）單調(diào)遞增，且 f（1）=1為 f（x）在

（0，+∞）上的最小值。當(dāng)x ≤ 0時(shí)， f（x）=ax+2a+1的圖象恒過(guò)點(diǎn)（?2，1），作出大致圖象如圖5所示。

結(jié)合圖象可知，當(dāng)a≥0時(shí)，若方程 f（x）=2有三個(gè)根，則需要 f（0）=2a+1≥ 2，即a≥;而當(dāng)a<0時(shí)，結(jié)合圖象可知，一定有3個(gè)解，綜上所述，a的取值范圍為a<0或a≥。

例6：已知函數(shù) f（x）=若方程 f（x）=a（a為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的根，2則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（? ）

A.（?∞，0）? ? ? ? ? ?B.[，e]

C.（?∞，0]∪[，e]? ?D.（-∞，0）∪[，e]

分析：第一段函數(shù)不能直接作圖，可以適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化嗎？似乎也沒(méi)那么容易，何況此函數(shù)沒(méi)有參數(shù)，求導(dǎo)作圖很方便，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù) f'（x）=2?（ln x+1）=1?ln x，由 f'（x）>0，得0

ex+a，由于導(dǎo)數(shù)函數(shù)含有參數(shù)，需要進(jìn)行分類討論。當(dāng)a≥0時(shí)， f'（x）>0，此時(shí) f（x）在R上單調(diào)遞增，不可能;當(dāng)a<0時(shí)， f'（x）=0，x=ln（?a）， f（x）在（?∞，ln（?a））上單調(diào)遞減，在（ln（?a），+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性大致作出圖象如圖8所示。

要使 f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，只需最小值 f（ln（?a））<0，解得a

方法三：對(duì)原函數(shù)實(shí)行參變分離，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y1=a和 y2=兩個(gè)函數(shù)，常數(shù)函數(shù) y1圖象很簡(jiǎn)單，函數(shù) y2雖然不能直接作圖，但它是無(wú)參函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)得到y(tǒng)'2=，判斷單調(diào)性，可知在（?∞，1）上函數(shù)單調(diào)遞增，（1，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，從而作出圖象如圖9所示，通過(guò)圖象可知，只需要a

評(píng)注：方法一轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，但由于其中一個(gè)函數(shù)含參，是動(dòng)態(tài)的，所以需要分析清楚相切位置再進(jìn)行處理;方法二直接求導(dǎo)，同樣由于導(dǎo)函數(shù)含參，依然要分類討論進(jìn)行處理;而方法三把轉(zhuǎn)化、求導(dǎo)兩種方法結(jié)合起來(lái)，先轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，由于一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，另一個(gè)是無(wú)參函數(shù)，解題難度就降低了，再對(duì)其中一個(gè)函數(shù)使用求導(dǎo)作出圖象，借助圖象求出答案，方法三對(duì)懼怕含參問(wèn)題的同學(xué)比較適合。

以上即為解決函數(shù)與方程問(wèn)題時(shí)使用數(shù)形結(jié)合思想，需要作圖時(shí)的四個(gè)基本方法。在求解此類問(wèn)題時(shí)，有時(shí)只需一種方法即可求解，有時(shí)可能需要兩種方法結(jié)合起來(lái)，學(xué)生可以按上述四個(gè)方法的順序思考如何作出圖象，再利用圖象解出答案。雖然函數(shù)與方程問(wèn)題中以形助解的數(shù)形結(jié)合思想是一大難點(diǎn)，但只要有心去深究，還是有一定規(guī)律可循的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹輝.導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的策略[J].理科考試研究，2018（19）.

【作者簡(jiǎn)介】

施浩妹（1980～），女，漢族，浙江人，本科，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

Strategy of Combination of Number and Shape in Function and Equation Problems

Haomei Shi

（Genshan Middle School， Zhejiang， Hangzhou， 310003）

Abstract：In middle schools， students should establish the relationship between number and shape： learning to use geometric graphics to describe problems， understanding and solving problems with the help of geometric intuition， mastering the combination method of number and shape， forming mathematical intuition and understanding the essence of mathematics. This paper discusses how to use the idea of combination of number and shape to find the correct drawing method in the problem of function and equation， so as to use the strategy of image to solve the problem. It is discussed from four levels： direct drawing， transformation drawing， derivation drawing， and junction drawing of transformation and derivation.

Key words：middle school mathematics; function and equation problems; combination of number and shape; mapping