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中學(xué)階段對(duì)“落體偏東”現(xiàn)象的公式推導(dǎo)

2021-09-24 03:22
物理通報(bào) 2021年10期
關(guān)鍵詞:中學(xué)階段小球加速度

張 明

(江蘇省盱眙中學(xué) 江蘇 淮安 211700)

1 引言

眾所周知,初速度為零,只受重力的運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng),自由落體運(yùn)動(dòng)是由靜止開(kāi)始的勻加速直線運(yùn)動(dòng),方向豎直向下[1].曾有學(xué)生向筆者提出,看到有資料書(shū)上介紹過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)并不是豎直向下的,落地點(diǎn)是偏向東的,這是怎么回事呢? 為什么平時(shí)沒(méi)有觀察到落體偏東的現(xiàn)象呢?

2 難以觀察的原因

如圖1所示,在北半球緯度為λ的一質(zhì)點(diǎn)從近地面高為h的地方自由下落,文獻(xiàn)[2]中運(yùn)用高等數(shù)學(xué)建立微分方程組,兩次積分后得到軌道方程為

圖1 北半球緯度為λ的經(jīng)緯線

到達(dá)地面時(shí)z=0,偏東的距離[2]

(1)

若λ=40°,h=200 m,可算出y≈4.75×10-2m,偏東距離不足5 cm,故難以察覺(jué).

顯然,如果照搬大學(xué)教材,中學(xué)階段的學(xué)生既沒(méi)有理論力學(xué)知識(shí)的相關(guān)物理基礎(chǔ),也不具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)算能力,學(xué)生肯定是無(wú)法接受的.但是學(xué)生已經(jīng)提出了問(wèn)題,如何能讓學(xué)生理解,有所收獲呢?

3 近似為平拋運(yùn)動(dòng)

有學(xué)生提出平拋運(yùn)動(dòng)模型:在距地面一定高度的物體,由于隨地球自轉(zhuǎn)而具有的線速度,大于地面上物體的線速度.所以該物體下落時(shí)必然相對(duì)地面有一個(gè)偏東的速度,落點(diǎn)自然就會(huì)偏東如圖2所示.

圖2 平拋運(yùn)動(dòng)模型

物體相對(duì)地面向東的水平速度為

v=ω(R+h)cosλ-ωRcosλ=ωhcosλ

(2)

y≈7.5×10-2m

即約為7.5 cm,比式(1)算出結(jié)果略大,但兩者數(shù)量級(jí)相同,因此,看作平拋運(yùn)動(dòng)也具有一定的意義,因?yàn)橹袑W(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)是熟悉的,在離地不是太高,計(jì)算精度要求不高時(shí),可以作為數(shù)量級(jí)的估算.

4 用微元法推導(dǎo)

地球繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng),是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系.在地球非慣性系中,相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的物體要受到慣性力——科里奧利力F=-2mω×v的作用,對(duì)于落體運(yùn)動(dòng)v=gt,物體下落時(shí)受到一個(gè)水平向東并逐漸增大的力,在北半球緯度為λ產(chǎn)生的加速度大小a=2ωgtcosλ[2,3].式(2)之所以出現(xiàn)偏差,就是因?yàn)樗椒较虿皇莿蛩俚?,而是從靜止開(kāi)始有一個(gè)逐漸增大的加速度.若將加速度作為已知條件,則落體偏東現(xiàn)象可以歸結(jié)為一個(gè)中學(xué)生可以理解并能解決的問(wèn)題,即求解一個(gè)變加速直線運(yùn)動(dòng).

上式中(1+i)i略去i的一次項(xiàng)小量,則

(1+i)i≈i2

可得

利用數(shù)學(xué)公式

略去小量可得

(3)

與式(1)相同.

5 上拋偏西

如果將一個(gè)物體豎直向上拋出,同樣由于科里奧利力F=-2mω×v的原因,上升過(guò)程有向西的加速度,向西的水平速度逐漸增加,而下降過(guò)程有向東的加速度,向西減速運(yùn)動(dòng),落地點(diǎn)實(shí)際偏西.基于同樣的方法可以推導(dǎo)出定量的結(jié)果,這里就不贅述了.

中學(xué)階段,作為背景知識(shí),多了解不僅可以拓寬視野,對(duì)高考也不無(wú)裨益,試舉例:

【例題】(2018年高考北京理綜第20題)根據(jù)高中所學(xué)知識(shí)可知,做自由落體運(yùn)動(dòng)的小球,將落在正下方位置.但實(shí)際上,赤道上方200 m處無(wú)初速下落的小球?qū)⒙湓谡路轿恢闷珫|約6 cm處,這一現(xiàn)象可解釋為,除重力外,由于地球自轉(zhuǎn),下落過(guò)程小球還受到一個(gè)水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比,現(xiàn)將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對(duì)稱性,上升過(guò)程該“力”水平向西,則小球( )

A.到最高點(diǎn)時(shí),水平方向的加速度和速度均為零

B.到最高點(diǎn)時(shí),水平方向的加速度和速度均不為零

C.落地點(diǎn)在拋出點(diǎn)東側(cè)

D.落地點(diǎn)在拋出點(diǎn)西側(cè)

基于題目的已知條件,可以分析出D為正確選項(xiàng).

目前高考題越來(lái)越靈活、新穎,背景知識(shí)也越來(lái)越廣闊.對(duì)于很多平時(shí)善于思考、勇于拓展和學(xué)習(xí)相關(guān)課外知識(shí)、努力提升綜合能力的學(xué)生,在高考中面對(duì)以課本上沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的知識(shí)為背景的試題時(shí),無(wú)論見(jiàn)過(guò)與否,有了平時(shí)的歷練和素養(yǎng),會(huì)更快、更容易地做出結(jié)果.

6 結(jié)束語(yǔ)

在北半球,河流右岸的沖刷甚于左岸,右岸相對(duì)陡峭;火車鐵軌的右軌所受到的壓力大于左軌,因而磨損相對(duì)嚴(yán)重[2];夏秋之際,在我國(guó)東南沿海經(jīng)常出現(xiàn)的臺(tái)風(fēng),是逆時(shí)針流動(dòng)的氣旋.南半球的情況剛好相反.這些現(xiàn)象與落體偏東現(xiàn)象,背后都是科里奧利力在起作用.

在中學(xué)階段,了解科里奧利力的意義不僅僅是為了掌握多少知識(shí),更重要的是拓展學(xué)生科學(xué)視野,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)勇于探索的科學(xué)精神.

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