吳寶東，蔣智辰

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

自適應(yīng)波束形成(ABF)本質(zhì)上是一種空域濾波技術(shù)，ABF根據(jù)一定的準(zhǔn)則對波束形成器的權(quán)矢量進行優(yōu)化設(shè)計，使得優(yōu)化后的陣列波束主瓣指向期望信號，同時在空域中其他干擾方向產(chǎn)生零陷，以最大可能地對干擾信號進行抑制。作為陣列信號處理中的一個重要研究方向，ABF已被廣泛應(yīng)用于雷達、電子戰(zhàn)、無線通信和射電天文等眾多領(lǐng)域[1-2]。

在接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣和期望信號導(dǎo)向矢量精確已知的理想情況下，標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器(SCB)可以獲得理論最優(yōu)性能。然而在實際應(yīng)用中，陣列校正誤差、快拍數(shù)限制、波束指向誤差等因素會造成協(xié)方差矩陣和期望信號導(dǎo)向矢量偏離理想值，導(dǎo)致SCB性能急劇下降，特別是當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號時，SCB會出現(xiàn)嚴重的信號自消現(xiàn)象[3]。為了改善SCB在誤差存在非理想情況下的性能，國內(nèi)外學(xué)者提出了一系列穩(wěn)健的ABF算法。文獻[4]、[5]提出的基于導(dǎo)向矢量不確定集方法是通過將期望信號導(dǎo)向矢量誤差約束在各種不確定集中，使導(dǎo)向矢量出現(xiàn)誤差時具備更強的穩(wěn)健性，并獲得較為理想的波束形成性能，但是不確定集大小設(shè)置誤差的存在使得該類方法只能在一定程度上保證算法穩(wěn)健性；基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法是另外一種研究廣泛的穩(wěn)健波束形成算法[6-9]，該類方法通過重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的方式消除期望信號的影響，并通過求解二次約束凸優(yōu)化問題修正導(dǎo)向矢量，雖然能夠獲得較好的性能，但是存在運算量大、工程實現(xiàn)困難的缺點；對角加載方法通過對估計得到的協(xié)方差矩陣增加對角噪聲矩陣的方式增加算法的穩(wěn)健性，具有明確的物理和數(shù)學(xué)意義，但是加載量的選取對該類方法的性能影響較大，加載量過大會降低對干擾信號的抑制，過小時性能改善不明顯，如何確定最優(yōu)的對角加載量是當(dāng)前研究的難點[10-15]。

針對上述問題，本文首先對加載因子與協(xié)方差矩陣特征值的關(guān)系進行分析，利用協(xié)方差矩陣特征值譜的分布特性對加載因子的取值范圍進行約束，然后將粒子群優(yōu)化(PSO)算法引入對角加載波束形成領(lǐng)域，利用PSO的全局搜索能力對加載因子進行全局尋優(yōu)，同時針對傳統(tǒng)PSO搜索步長固定的問題，提出一種自適應(yīng)變步長迭代方法以提升其收斂速度。最后采用仿真數(shù)據(jù)從輸入信噪比、快拍數(shù)、估計誤差等維度對所提方法的波束形成性能進行評估。

1 陣列信號模型

考慮由M個全向陣元組成的均勻線陣，陣元間距為d<λ/2，λ為波長。假設(shè)遠場空間中存在1個窄帶期望信號xs和L個窄帶干擾信號xi(i=1,2,…,L)照射到陣列，這L+1個窄帶信號互不相關(guān)，則t時刻陣列接收信號可以表示為：

x(t)=xs(t)+xi(t)+xn(t)=

(1)

根據(jù)式(1)可以得到接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R：

R=E[(xs(t)+xi(t)+xn(t))(xs(t)+

xi(t)+xn(t))H]=

(2)

式中:Rs為期望信號協(xié)方差矩陣；Rj為干擾信號協(xié)方差矩陣。

在最大輸出信干噪比(SINR)準(zhǔn)則下，SCB問題可以轉(zhuǎn)化為式(3)所示的優(yōu)化問題：

(3)

式中：w為待優(yōu)化的權(quán)值向量；Rj+n=Rj+Rn為干擾噪聲協(xié)方差矩陣。

根據(jù)拉格朗日乘子法對式(3)進行求解，可以得到最優(yōu)權(quán)值向量：

(4)

2 PSO-RCB算法

2.1 穩(wěn)健波束形成算法

為了克服上述問題，文獻[11]提出一種穩(wěn)健Capon波束形成算法(RCB)，其基本思想是對導(dǎo)向矢量誤差進行約束，選擇波束形成最大主分量對應(yīng)的導(dǎo)向矢量作為真實導(dǎo)向矢量的估計值，從而增加了算法對估計誤差的魯棒性，RCB對應(yīng)的優(yōu)化問題可以總結(jié)為：

(5)

RCB從本質(zhì)上屬于對角加載算法的一種，只是將加載因子的設(shè)置轉(zhuǎn)化為對導(dǎo)向矢量誤差范圍的設(shè)置。當(dāng)ε較小時，對應(yīng)的加載因子也小，此時RCB算法對噪聲分量引起的協(xié)方差矩陣分散特性抑制性能較差，達不到波束形成需要的旁瓣抑制效果；反之又會導(dǎo)致在干擾方向的零陷降低，達不到干擾抑制的效果。

2.2 加載因子取值范圍

對采樣協(xié)方差矩陣進行對角加載可以得到：

(6)

式中：κ為加載因子；D為高斯隨機矩陣，其元素服從均值為0、方差為1的高斯分布；η為描述協(xié)方差矩陣誤差的正常數(shù)，η越大表明估計協(xié)方差矩陣與真實協(xié)方差矩陣之間的誤差越大，波束形成性能越差。

利用矩陣求逆公式對式(6)進行分析可得：

(7)

從上式可以看出，等式右邊第一項應(yīng)盡量接近于R-1，即要求加載因子κ盡量小，同時等式右邊第二項應(yīng)盡量接近于單位矩陣：

(8)

根據(jù)上述2個因素，可以得到加載因子的范圍為:

η<κ

(9)

式中：下限η是滿足式(8)的約束條件;R(i,i)可以保證(R+κI)-1盡量接近于R-1。

然而在實際中不可能獲得真實的協(xié)方差矩陣，因此無法獲得η和R(i,i)的真實值。對估計協(xié)方差矩陣進行特征值分解，可得:

(10)

由于對角加載的出發(fā)點是對協(xié)方差矩陣的估計值進行修正，因此在上述分析的基礎(chǔ)上將協(xié)方差矩陣特征值引入對角加載，利用特征值對加載因子的取值范圍進行約束，即令κ的下限為噪聲分量特征值譜的標(biāo)準(zhǔn)差，以保證波束形成旁瓣性能，κ的上限為干擾分量特征值譜的均值，以避免出現(xiàn)κ過大產(chǎn)生的干擾抑制性能下降問題。

(11)

式中：σstd(·)和λmean(·)分別表示求括號內(nèi)變量的標(biāo)準(zhǔn)差和均值運算。

2.3 改進PSO算法

前述分析給出了加載因子的取值范圍，但是沒有明確如何選擇最優(yōu)的加載因子值，這里將PSO算法引入RCB，提出一種自動尋優(yōu)方法，對加載因子進行優(yōu)化。

PSO是當(dāng)前應(yīng)用非常廣泛的一種隨機搜索算法，具有較強的全局搜索能力，對隨機誤差不敏感且算法簡單易實現(xiàn)。其基本思想是模擬自然界中鳥群覓食的行為，算法中每個個體被視為一個只有速度和位置信息的粒子，迭代過程中每個粒子的狀態(tài)始終都是追尋當(dāng)前種群中粒子經(jīng)歷的最佳位置，并且不斷對自身的速度和位置信息進行更新，從而確保種群的運動由初始的無序發(fā)散狀態(tài)逐漸向有序狀態(tài)收斂，并最終找到全局中的最佳位置。該過程中，每個粒子按式(12)所示規(guī)則對自身速度和位置信息進行更新：

(12)

對于傳統(tǒng)PSO算法，慣性因子w通常被設(shè)置為常數(shù)。然而從式(12)可以看出，算法的收斂能力由w決定，w越大，算法的全局搜索能力越強，反之則算法的局部搜索能力越好。因此在算法迭代過程中，w不應(yīng)為固定的，應(yīng)隨著迭代次數(shù)的增加而變小，從而保證在算法迭代初期，粒子距離最優(yōu)位置較遠時采用較大的w，以獲得較快的收斂速度。而隨著迭代的進行，粒子逐漸接近于最優(yōu)位置，此時應(yīng)采用較小w以提升搜索精度，因此本文對PSO算法進行改進，采用式(13)所示自適應(yīng)變步長迭代方法：

(13)

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為總迭代次數(shù)；wmax為w的取值上限。

從式(9)可以看出，算法剛開始迭代時，t較小，w接近最大迭代步長，隨著迭代次數(shù)的增加，t逐漸逼近于總迭代次數(shù)T，w隨之減小。

2.4 改進PSO優(yōu)化加載因子

根據(jù)上述分析，可以將本文所提基于改進PSO優(yōu)化的對角加載協(xié)方差矩陣估計方法步驟總結(jié)為：

步驟2：根據(jù)式(10)對協(xié)方差矩陣進行特征值分解；

步驟3：根據(jù)式(11)計算得到加載因子的取值下限和取值上限；

步驟4：將加載因子作為PSO的粒子，加載因子的取值范圍作為粒子搜索空間，根據(jù)式(12)和式(13)進行PSO算法迭代；

步驟5：利用得到的最優(yōu)加載因子κ*進行對角加載，得到最優(yōu)權(quán)向量為：

(14)

3 仿真分析

通過構(gòu)建4組仿真實驗從不同維度評估所提方法的性能。仿真過程中，采用陣元間距為半波長的10元均勻線陣，空間中存在3個互不相關(guān)的遠場窄帶平面信號入射到陣列，其中10°方向的入射信號為期望信號，45°和50°方向為干擾信號，干信比為20 dB，陣列通道噪聲為0均值的高斯白噪聲并且與期望信號和干擾信號相互獨立，信噪比設(shè)為10 dB，快拍數(shù)設(shè)置為100，所有試驗結(jié)果都是開展100次蒙特卡洛試驗并進行統(tǒng)計的結(jié)果。仿真中在相同條件下同時采用標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成(記為SCB)和穩(wěn)健波束形成(記為RCB)進行對比。

3.1 試驗1：存在觀測方向誤差時的方向圖

由于實際工程應(yīng)用中，通常難以獲得非常精確的觀測方向值，因此需要波束形成算法對觀測方向誤差具有一定的魯棒性。在本次試驗中，假設(shè)存在3°的觀測方向失配，即期望信號的真實入射方向為10°，而觀測方向為13°。圖1給出了3種Capon波束形成算法得到的方向圖，其中SCB和RCB分別表示存在3°的觀測方向失配時2種方法得到的方向圖。從圖1給出的結(jié)果可以看出，SCB方法雖然能夠在干擾方向形成零陷，但是期望信號方向同樣出現(xiàn)了抑制，表明SCB方法出現(xiàn)了較為嚴重的自消問題；RCB方法能夠指出真實的期望信號方向，但是與所提方法進行對比可以看出，在干擾方向RCB方法的零陷略淺，表明所提方法的干擾抑制能力要優(yōu)于RCB方法。圖1的結(jié)果表明本文所提方法與理想Capon方法的性能最接近，能夠準(zhǔn)確指向期望信號的真實方向，對干擾信號具有較強的抑制能力，且具有較高的旁瓣性能。

圖1 不同方法波束形成方向圖

3.2 試驗2：輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

圖2給出了不同方法的輸出SINR隨著輸入SNR的變化曲線，仿真中假設(shè)依然存在3°的觀測方向失配，快拍數(shù)為100，輸入信噪比范圍為-15 dB到30 dB，步長為5 dB，在每個SNR條件下分別進行100次蒙特卡洛試驗，并對結(jié)果進行平均。從圖2可以看出，由于SCB無法解決期望信號觀測方向失配問題，因此SINR遠遠偏離理論值，并且隨著SNR的增大而逐漸惡化。RCB方法雖然不受觀測方法失配問題影響，但由于協(xié)方差矩陣中含有期望信號，因此當(dāng)SNR逐漸升高時，性能出現(xiàn)了下降。所提方法降低了期望信號和擾動干擾的影響，輸入SINR最接近于理論Capon。

圖2 輸出SINR隨輸入信噪比變化曲線

3.3 試驗3：輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化

實際工程應(yīng)用中，在盡量少快拍數(shù)條件下實現(xiàn)波束形成對于提升系統(tǒng)魯棒性和系統(tǒng)響應(yīng)時間具有重要意義。圖3給出了不同方法的輸出SINR隨著快拍數(shù)的變化曲線，仿真中假設(shè)依然存在3°的觀測方向失配，輸入信噪比為10 dB，快拍數(shù)的變化范圍為10～100，步進為10，在每個快拍數(shù)條件下分別進行100次蒙特卡洛試驗，并對結(jié)果進行平均。從圖3可以看出，本文所提方法在快拍數(shù)為30時實現(xiàn)了收斂，且輸入SINR接近于理論值，RCB方法在快拍數(shù)為30左右時也實現(xiàn)了收斂，但是其輸入SINR與理論值存在明顯差距，性能不及所提方法，SCB方法受觀測方向失配的影響，性能要差于RCB方法。

圖3 輸出SINR隨快拍數(shù)變化曲線

3.4 試驗4：輸出信干噪比隨期望信號導(dǎo)向矢量失配角的變化

圖4給出了不同方法的輸出SINR隨著期望信號導(dǎo)向矢量失配角的變化曲線，仿真中快拍數(shù)固定為100，輸入信噪比設(shè)置為10 dB，期望信號導(dǎo)向矢量失配角變化范圍為-10°到10°，步進2°，在每個失配角條件下分別進行100次蒙特卡洛試驗，并對結(jié)果進行平均。從圖4可以看出，SCB方法輸出SINR受失配角的變化影響較大，當(dāng)失配角增大時，SINR出現(xiàn)了明顯的下降；當(dāng)失配角在8°以內(nèi)時，RCB方法和所提方法均能夠正確指向期望信號真實方向，但是所提方法的SINR要更接近于理論值，因此性能優(yōu)于RCB方法；當(dāng)失配角大于8°時，RCB方法和所提方法的SINR均出現(xiàn)了下降，表明此時2種方法也不能完全對準(zhǔn)實際期望信號方向。

圖4 輸出SINR隨失配角變化曲線

4 結(jié)束語

對角加載自適應(yīng)波束形成算法加載因子的選取對波束形成性能影響較大，加載因子過小時，波束形成旁瓣性能較差；加載因子過大時，對干擾的抑制性能較差。針對該問題，本文提出一種基于改進PSO算法優(yōu)化的對角加載方法，利用協(xié)方差矩陣特征值譜分布特性確定加載因子的取值范圍，然后將加載因子作為PSO算法的粒子，采用改進PSO算法進行全局尋優(yōu)。仿真試驗從導(dǎo)向矢量存在誤差、不同輸入信噪比和快拍數(shù)等方向?qū)λ岱椒āCB方法和RCB方法進行了對比，結(jié)果表明所提方法對誤差更穩(wěn)健，波束形成性能更優(yōu)。