許 晶

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 烏蘭察布012000）

0 引言

Hamilton系統(tǒng)是一種經(jīng)典的動力學(xué)系統(tǒng)，自從1834年Hamilton為了研究幾何光學(xué)而建立后，被廣泛地應(yīng)用到天體力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，逐漸成為科學(xué)家們研究的熱點(diǎn).常見的Hamilton系統(tǒng)有經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)、廣義Hamilton系統(tǒng)、自治Hamilton系統(tǒng)、無窮維Hamilton系統(tǒng).近年來，很多學(xué)者致力于研究Hamilton形式的反問題和屬性，及其在物理、力學(xué)方面的應(yīng)用等相關(guān)內(nèi)容.2009年，高強(qiáng)和鐘萬勰給出了Hamilton系統(tǒng)基于辛矩陣乘法顯式時(shí)不變正則變換和時(shí)變正則變換，通過引入含參變量的近似Hamilton系統(tǒng)，并以該系統(tǒng)為基礎(chǔ)進(jìn)行辛矩陣乘法的正則變換，從而實(shí)現(xiàn)Hamilton系統(tǒng)既保辛又保能量的算法［1］.2014年，Mahomed等人通過Hamilton系統(tǒng)的首次積分使方程得以降階，得到方程的封閉解［2］.2017年，蔣憲宏等人以Hamilton系統(tǒng)的正則變換和生成函數(shù)為基礎(chǔ)，研究了線性時(shí)Hamilton系統(tǒng)邊值問題的保辛算法，該方法保持了Hamilton系統(tǒng)原有的特性［3］.

本文選取無窮維Hamilton系統(tǒng)作為研究對象，利用一定變換，獲得Hamilton正則形式.獲得該形式的方法一般來說有幾種，一種是Lagrange泛函方法，運(yùn)用Legendre變換，確定Hamilton泛函，進(jìn)而完成Hamilton正則化，該方法也被稱為獲得Hamilton系統(tǒng)的經(jīng)典方法；其次是由Olver提出的全Hamilton函數(shù)法，該方法主要是依賴于乘法算子，并借助Hamilton函數(shù)，獲得Hamilton形式；最后是代數(shù)方法，該方法主要結(jié)合了高等代數(shù)中的帶余除法，避開了求Lagrange泛函這一難題.文獻(xiàn)［4］由阿拉坦倉等人首次提出利用矩陣多元多項(xiàng)式的帶余除法獲得Hamilton正則形式，在其博士論文中也有闡釋［5］，文獻(xiàn)［6］和［7］是在以上基礎(chǔ)上，先設(shè)定Hamilton算子的形式，根據(jù)已知算子的形式，得到關(guān)于Hamilton算子的方程組，進(jìn)而得到Hamilton正則形式，除以上幾種方法外，還由利用Lax對獲得Hamilton正則形式，以及跡恒等式的方法等.

本文是在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，在沒有事先設(shè)定Hamilton算子的情況下，針對代數(shù)方法進(jìn)行分析，將一類偏微分方程通過帶余除法，令余式為零，討論Hamilton算子，給出Hamilton算子所滿足的方程組，實(shí)現(xiàn)機(jī)械程序化，從而獲得無窮維Hamilton線性正則形式.

1 預(yù)備知識

本文考慮微分方程系統(tǒng)：

該系統(tǒng)是N個(gè)n階微分方程組成，其中，v=1，…，N.自變量x=(x1，x2，…，xk)，因變量u=(u1，u2，…，um)，?nu表示u對x的n階偏導(dǎo)數(shù).

定義1［6］稱如下發(fā)展方程（組）為無窮維Hamilton正則系統(tǒng)為變分導(dǎo)數(shù).

無窮維Hamilton正則系統(tǒng)分為線性無窮維Hamilton正則系統(tǒng)和非線性無窮維Hamilton正則系統(tǒng)，由Vainberg［8］定理可知，線性Hamilton系統(tǒng)可以簡化成如下分離變量的形式.

定義2［6］設(shè)X是Hilbert空間，H：D（H）?X×X→X×X為線性微分算子，如果H滿足H*=JHJ，則稱發(fā)展型方程（組）

注釋1若發(fā)展方程（組）式（1）中H不顯含x，式（1）為“?/?x”-型Hamilton正則系統(tǒng)，式（1）轉(zhuǎn)化為如下形式：

若發(fā)展方程（組）（1）式中H不顯含t，式（1）為“?/?t”-型Hamilton正則系統(tǒng)，式（1）轉(zhuǎn)化為如下形式：在本文中，主要討論的是第一種形式.

定義3［6］給定微分函數(shù)P(x，u(n))，其i階全導(dǎo)數(shù)的一般形式：

其中，J=（j1，…，jk），且有特別的，對于P（xi，u（n）），相應(yīng)的坐標(biāo)為xi=(x，t)，其全導(dǎo)數(shù)引理1［5］一元n次多項(xiàng)式對于因子(x-h)的整除關(guān)系表示

從而比較左右指數(shù)相等項(xiàng)的系數(shù)，獲得p0，p1，…，pn-1.

算子

2 方法簡介

依據(jù)文獻(xiàn)［4］，并利用引理1，對矩陣的帶余除法做了進(jìn)一步的推廣，并給出將微分方程轉(zhuǎn)化到Hamilton系統(tǒng)下的機(jī)械化方法，具體步驟如下：

步驟（2）：無窮維線性Hamilton正則系統(tǒng)形式為ω?=Hω，令Hamilton系統(tǒng)的矩陣多元多項(xiàng)式為：

步驟（3）：通過帶余除法，令Δ=MQ+R，有

即Q=-b0xn-1-(Hb0+b1)xn-2-…-(Hn-1b0+Hn-2b1+…+bn-1)，從而得到余式R的表達(dá)式：

R=Hnb0+Hn-1b1+…+Hbn-1+bn（4）

步驟（4）：為了能夠整除，令R=0，即可得到Hamilton算子中A，B，C，A*，從而，得到了該微分方程的Hamilton正則形式ω?=Hω.

注釋2在此，我們討論H算子的四階形式，即：

不妨記其中，H1=H.

由余式R=0可知，Hamilton算子滿足以下方程組，

通過以上關(guān)系式，可以獲得Hamilton正則形式.

3 具體算例

以下算例均為當(dāng)Hamilton算子為二階形式，無法獲得Hamilton正則方程的時(shí)候，作者嘗試了由二階升四階的處理方式，從而獲得了新的Hamilton正則形式.

例1：考慮熱傳導(dǎo)方程ut=uxx的Hamilton正則表示.

解：令Δ=uxx-ut，其矩陣形式為：

Hamilton系統(tǒng)的矩陣多元多項(xiàng)式：

其中，

故有Δ=MQ+R，其中余式R=H2b0-b1=0，由式（5）進(jìn)一步展開，得：

I’m forever on a diet, since I put on weight easily.我永遠(yuǎn)都在減肥，因?yàn)槲液苋菀组L胖。

方程組（6）有很多組解，由此根據(jù)A，B，C，-A*的不同形式獲得不同H算子，從而得到方程的Hamilton正則形式，不妨假設(shè)H算子為準(zhǔn)對角形式，即B=C=0，式（6）變化為：

當(dāng)a11=a22=0，a12=-1，a21=-Dt時(shí)，有

Hamilton正則表示如下：

例2：考慮Burgers方程uxx+uux-ut=0的Hamilton正則表示.

解：令Δ=uxx+uux-ut，其矩陣形式為：

Hamilton系統(tǒng)的矩陣多元多項(xiàng)式：

利用帶余除法，令余式R=H(Hb0+b1)-b2=0，式（5）變化為：方程組（7）有很多組解，由此根據(jù)A，B，C，-A*的不同形式獲得不同H算子，從而得到方程的Hamilton正則形式，不妨假設(shè)H算子為準(zhǔn)對角形式，即B=C=0，式（6）變化為：

令a11=-u，a22=0，a12=1，a21=Dt，得到該方程的Hamilton正則形式：

以上兩個(gè)例子并不是只有一種結(jié)果，根據(jù)Hamilton算子的不同形式，A，B，C，A*滿足不同關(guān)系，可以獲得不同結(jié)果，本文提供了獲得Hamilton算子的一種方法，尤其對于Hamilton算子為二階行不通的時(shí)候，可以嘗試升階作進(jìn)一步處理.

綜上所述，該方法的核心是把微分多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為算子多項(xiàng)式，利用矩陣多元多項(xiàng)式的運(yùn)算形式，從而將微分方程因式分解后得到Hamilton正則形式.

4 結(jié)束語

本文主要針對代數(shù)方法進(jìn)行分析，通過閱讀并整理資料，以Hamilton算子為四階的形式作為探究對象，將一類偏微分方程利用帶余除法，令余式為零，討論Hamilton算子，給出Hamilton算子所滿足的方程組，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了機(jī)械程序化.其優(yōu)勢一是當(dāng)Hamilton算子為二階形式，但又得不到解的時(shí)候，通過升階的處理，為Hamilton算子的獲得提供一條思路；二是簡單，易操作，甚至只利用一些高等代數(shù)的知識即可實(shí)現(xiàn)，對于數(shù)學(xué)方面的本科生如作偏微分方程的一些訓(xùn)練，不失為一塊較好的例子.本人知識有限，該方法的缺點(diǎn)在于由于得到Hamilton算子是以方程組的形式出現(xiàn)，解該方程組時(shí)，只能得到一部分解，因此也只能得到部分Hamilton算子，如果能夠?qū)⒃摲椒ㄗ饕恍┨幚?，從而擴(kuò)大獲得Hamilton算子的形式，是本人應(yīng)該做的一部分工作.