劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

小學(xué)階段運(yùn)算的對(duì)象主要是自然數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)。各版本教材都是先編排自然數(shù)四則運(yùn)算，不同的是分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算的編排順序：有的先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，再學(xué)習(xí)小數(shù)運(yùn)算，有的則反之。內(nèi)容編排的順序不同，算法及解釋其算理的依據(jù)就不同，乘法運(yùn)算教學(xué)的整體邏輯結(jié)構(gòu)也就不同。

近期，筆者看到關(guān)于多位數(shù)乘法、小數(shù)與分?jǐn)?shù)乘法單元教學(xué)的幾個(gè)案例，都特別強(qiáng)調(diào)“計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)相乘”這一“原點(diǎn)”，有簡單問題復(fù)雜化之嫌。因此，我們有必要追問：作為“高級(jí)運(yùn)算”的乘法，其算法算理的教學(xué)應(yīng)該退回“原點(diǎn)”，還是利用“前階”內(nèi)容通過推理獲得？小學(xué)階段所有乘法運(yùn)算的內(nèi)容進(jìn)階及邏輯結(jié)構(gòu)是什么？“退回原點(diǎn)”追問算理是否符合整套教材的編寫意圖？

一、乘法算理是否要退回到“計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)相乘”

有教師讓學(xué)生以下述方式理解14×12的算法算理：“先拆后合”，即讓學(xué)生通過“列表格”（拆分為“10+4”與“10+2”相乘）解釋其乘積是2×4個(gè)“1”、2+4個(gè)“1×10=10”與1個(gè)“10×10=100”的和。這樣理解是否有必要？根據(jù)乘法意義將之拆為“14×2與14×10”是否更清楚？又如，0.2×0.3有必要按“0.2×0.3=2×0.1×3×0.1=2×3×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”的步驟計(jì)算嗎？分?jǐn)?shù)乘法是否有必要這樣計(jì)算：[3/5×2/7=][3×1/5×2×1/7=3×2×（1/5×1/7）][=6×1/35][=6/35]。

如此而言，2×3是否也得回歸到“2×3=2×1×3×1=2×3×（1×1）=2×3×1=6”？那么，10×10=100、0.1×0.1=0.01、[1/5×1/7=1/35]等成立的理由又是什么呢？計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生新計(jì)數(shù)單位的“算理”是否更讓人難以理解？

如果按照前述邏輯，教材編排就要先學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘;為了解釋小數(shù)計(jì)數(shù)單位相乘，就要先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法，再學(xué)習(xí)小數(shù)乘法;解釋“分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位”就需要通過分?jǐn)?shù)的意義（借助分?jǐn)?shù)面積模型圖）求得結(jié)果。既然如此，我們?yōu)槭裁床恢苯咏柚謹(jǐn)?shù)的意義理解并歸納得到真分?jǐn)?shù)乘真分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則呢？這不禁讓我們思考：哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)作為乘法運(yùn)算的邏輯起點(diǎn)合適？借助已經(jīng)學(xué)過的概念、性質(zhì)與定律等，通過推理，概括乘法運(yùn)算法則是否可行？

為此，筆者梳理了小學(xué)階段自然數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)乘法運(yùn)算的內(nèi)容進(jìn)階及其邏輯結(jié)構(gòu)，研究發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)教材都沒有退回運(yùn)算的“原點(diǎn)”，而是以“前階”內(nèi)容作為教學(xué)乘法算法算理的起點(diǎn)。

二、自然數(shù)乘法教材編排順序及對(duì)算法算理的處理

運(yùn)算的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)意義、算法算理以及運(yùn)算性質(zhì)、定律等。乘法的現(xiàn)實(shí)意義最豐富，有多種現(xiàn)實(shí)模型，能解決各類問題，其內(nèi)容編排順序?yàn)椋憾昙?jí)初步認(rèn)識(shí)乘法，包括乘法的等量組聚集模型、實(shí)物或點(diǎn)子圖矩形模型;三年級(jí)學(xué)習(xí)乘法的倍數(shù)模型、配對(duì)模型以及長方形面積的矩形模型;四年級(jí)學(xué)習(xí)乘法的“速度—時(shí)間”模型、“單價(jià)—數(shù)量”模型;五、六年級(jí)學(xué)習(xí)乘法的“工效—工時(shí)”模型以及正比例關(guān)系等。自然數(shù)乘法的內(nèi)容都安排在二至四年級(jí)，其學(xué)習(xí)進(jìn)階及邏輯結(jié)構(gòu)基本相同。

階段1：二年級(jí)（上）“乘法口訣”。根據(jù)乘法意義探究發(fā)現(xiàn)“口訣”，通過口訣快速得到一位數(shù)乘一位數(shù)的積，其算理強(qiáng)調(diào)乘法意義——幾個(gè)幾的和，或者理解為以某個(gè)因數(shù)為“單位”，強(qiáng)調(diào)單位的個(gè)數(shù)，而不是回歸到計(jì)數(shù)單位“一”“十”的個(gè)數(shù)。

階段2：三年級(jí)（上）“一位數(shù)乘整十、整百、整千等數(shù)”。根據(jù)乘法意義，通過探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出口算法則——先轉(zhuǎn)化為乘法口訣，再看因數(shù)中有幾個(gè)“0”，積的末尾就添加幾個(gè)“0”。有的教材將其安排為1課時(shí)內(nèi)容，有的則與“兩位數(shù)乘一位數(shù)不進(jìn)位口算”合并作為1課時(shí)，但都沒有強(qiáng)調(diào)必須學(xué)習(xí)10×10、100×100等算式。

階段3：三年級(jí)（上）多位數(shù)乘一位數(shù)、0乘任何數(shù)。以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的筆算為主，研究其算法算理，然后遷移至多位數(shù)乘一位數(shù)。不同版本教材的處理方式不同：有的只介紹豎式筆算并解釋豎式中每一步的算理;有的則介紹多種算法，例如轉(zhuǎn)化為加法計(jì)算、借助矩形點(diǎn)子圖計(jì)算、轉(zhuǎn)化為乘法口訣和整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)計(jì)算，然后介紹乘法豎式。

階段4：三年級(jí)（下）“因數(shù)末尾有0的口算乘法”。有的教材先研究一位數(shù)、兩位數(shù)乘10的口算法則，再探究兩個(gè)因數(shù)末尾都有0的乘法口算法則;有的教材通過探究幾組“有特點(diǎn)”的乘法算式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)因數(shù)末尾有0的乘法口算法則。例如，計(jì)算3×2、3×20、30×20;12×4、12×40、120×40。所有版本教材都沒有特別處理自然數(shù)計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位的口算。

階段5：三年級(jí)（下）“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”。這個(gè)內(nèi)容是筆算乘法的關(guān)鍵，不同版本教材的編寫差異較大。有的教材直接介紹豎式算法，能夠借助數(shù)的意義以及整十?dāng)?shù)乘兩位數(shù)理解“第二個(gè)部分積”的算理即可。而有的教材與學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)一樣，介紹多種算法，并把“表格法”作為新知識(shí)學(xué)習(xí)。筆者更贊同前者的處理。要求學(xué)生將直觀點(diǎn)子圖、表格法以及豎式的每一步計(jì)算之間都建立相應(yīng)聯(lián)系的做法超出了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

階段6：四年級(jí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。課程標(biāo)準(zhǔn)只要求“能計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)”，不要求計(jì)算其他更多位數(shù)的乘法。

可以看出，第1階段、第2階段是基礎(chǔ)，第3階段、第4階段是關(guān)鍵，前4個(gè)階段內(nèi)容構(gòu)成了乘法計(jì)算的核心，其他多位數(shù)相乘都是根據(jù)數(shù)的意義（組成與分解）以及乘法分配律轉(zhuǎn)化為這4項(xiàng)內(nèi)容。因此乘法計(jì)算的根本是口訣，該口算的口算，該筆算的筆算，能借助“前階”內(nèi)容解釋“后階”的算理即可，不需要也不適合追根到“計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)相乘”。

三、分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘法教材編排順序及對(duì)算法算理的處理

不同版本教材對(duì)于分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘法的編排順序（學(xué)習(xí)進(jìn)階）不同。大陸各版本教材都是先學(xué)習(xí)小數(shù)乘法、再學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法，而臺(tái)灣的翰林版、南一版教材則是先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法、再學(xué)習(xí)小數(shù)乘法。臺(tái)灣教材解釋小數(shù)乘法的算法與算理是將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法。

所有版本教材中分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)容進(jìn)階及其算法算理都相同：先學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”（緊扣乘法意義、分?jǐn)?shù)意義得到計(jì)算結(jié)果并歸納計(jì)算法則），再學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”（根據(jù)分?jǐn)?shù)意義，借助分?jǐn)?shù)的“面積模型”得到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的結(jié)果，并歸納計(jì)算法則）。沒有任何版本教材用上文第一部分提到的方法計(jì)算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。

不同版本教材對(duì)小數(shù)乘法算法算理的內(nèi)容編排不完全相同，下面具體分析。

1.大陸教材小數(shù)乘法的內(nèi)容編排及算法算理

人教版、北師大版、河北版等大多數(shù)教材都是按照小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)的順序編排，其算法與算理也基本相同：①依據(jù)小數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義將其轉(zhuǎn)化為自然數(shù)（例如2.5元=25角），按照自然數(shù)乘法法則求積，再根據(jù)現(xiàn)實(shí)意義確定積的小數(shù)位數(shù);②通過將小數(shù)乘10、100等轉(zhuǎn)化為自然數(shù)，按照自然數(shù)乘法法則求積，再根據(jù)“積的變化規(guī)律”確定積的小數(shù)位數(shù)。在此基礎(chǔ)上，歸納得到小數(shù)乘法法則：轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算后，再確定積的小數(shù)位數(shù)。

蘇教版教材對(duì)于小數(shù)乘整數(shù)的處理方式略有不同，緊扣小數(shù)意義計(jì)算，例如2.35×3（列豎式計(jì)算）是235個(gè)0.01乘3，積是705個(gè)0.01，就是7.05。這與臺(tái)灣教材對(duì)算法算理的處理相同。

2.臺(tái)灣翰林版小數(shù)乘法的內(nèi)容編排及算法算理

臺(tái)灣翰林版教材仍然區(qū)分乘數(shù)、被乘數(shù)，因而小數(shù)乘法的編排較為“復(fù)雜”，其內(nèi)容進(jìn)階分三個(gè)階段。一是小數(shù)乘整數(shù)。四年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘整數(shù)，五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)三位小數(shù)乘整數(shù)。二是整數(shù)乘小數(shù)。五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)整數(shù)乘一位、兩位小數(shù)。三是小數(shù)乘小數(shù)。在五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)，分為一位小數(shù)乘一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘兩位小數(shù)。

小數(shù)乘整數(shù)的算法算理是乘法的倍數(shù)含義和小數(shù)含義，如圖1某例題所示。四年級(jí)沒有總結(jié)小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算規(guī)律和法則，五年級(jí)下學(xué)期通過對(duì)比35×5和35×0.5的豎式計(jì)算過程總結(jié)：“整數(shù)乘以小數(shù)和整數(shù)乘法的算法很像，但要注意積的小數(shù)位數(shù)和乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同?！?/p>

為了探究、歸納小數(shù)乘小數(shù)的運(yùn)算法則，這版教材一共編排了6道例題和9道習(xí)題。無論幾位小數(shù)相乘其算法算理都一樣：首先轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算得出結(jié)果，探究發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律與法則，再通過練習(xí)驗(yàn)證與鞏固計(jì)算法則。例如，教材引導(dǎo)學(xué)生將0.1×0.1、1.2×0.7分別轉(zhuǎn)化成分母為十、百的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算后，讓學(xué)生觀察0.1×0.1=0.01和1.2×0.7=0.84兩個(gè)算式，探究兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系（相同），再做3道類似的豎式計(jì)算題來檢驗(yàn)和鞏固這個(gè)發(fā)現(xiàn)。

3.對(duì)不同版本教材小數(shù)乘法編排邏輯的總結(jié)

小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)的算法算理主要有三類：根據(jù)小數(shù)的現(xiàn)實(shí)含義及乘法意義將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，再根據(jù)積的現(xiàn)實(shí)意義確定小數(shù)點(diǎn)的位置;根據(jù)小數(shù)意義及乘法意義將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法，再根據(jù)積的大小確定小數(shù)點(diǎn)的位置;利用“積的變化規(guī)律”將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法，再將積縮小相應(yīng)倍數(shù)確定小數(shù)點(diǎn)的位置。

筆者所查閱的各版本教材，只有臺(tái)灣南一版教材在解釋小數(shù)乘小數(shù)算理時(shí)用到如“0.2×0.3=2×0.1×3×0.1=2×3×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”這樣的方法，如圖2所示。

筆者認(rèn)為，教材內(nèi)容的整體編排順序決定著我們?nèi)绾谓忉屗憷?。該教材在豎式中用小數(shù)意義、小數(shù)計(jì)數(shù)單位乘小數(shù)計(jì)數(shù)單位來解釋算理，學(xué)生很難理解。大陸各版本教材基本都是先學(xué)習(xí)“積的變化規(guī)律”，將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法再計(jì)算，學(xué)生對(duì)此比較容易理解。

既然乘除法是比加減法“更高級(jí)”的運(yùn)算，我們就可以運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)概念、運(yùn)算性質(zhì)和定律等，通過推理得出計(jì)算法則。是否“退回原點(diǎn)”解釋道理、解決問題，我們應(yīng)該辯證地看待。

責(zé)任編輯? 劉佳