朱小平

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開習(xí)題。習(xí)題教學(xué)必須明方向、理思路、有邏輯、重思維，方能使學(xué)生擺脫思維之困，提升解題能力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第130頁(yè)習(xí)題4.2第11題是一道拓展探索題。如圖1所示，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點(diǎn)C呢？說(shuō)出你的理由。

一次聽課活動(dòng)中，執(zhí)教教師是這樣處理的：學(xué)生以小組為單位邊觀察圖1邊討論如何解題，用時(shí)20多分鐘之后，教師讓學(xué)生分享討論結(jié)果，一共得到4種從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑。這樣教學(xué)，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且效果不好。究其原因，教師在解決此題的過(guò)程中既沒(méi)拿實(shí)物演示，也沒(méi)有畫出相應(yīng)的展開圖進(jìn)行直觀講解，更沒(méi)有深入地挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，探索出行之有效的解決問(wèn)題的方法。

接下來(lái)，筆者分享自己對(duì)于此題的探究過(guò)程。

首先，每個(gè)小組準(zhǔn)備正方體盒子若干，按圖2標(biāo)注頂點(diǎn)A、B、C，并在六個(gè)面分別標(biāo)注上、下、前、后、左、右字樣。

然后，先后出示5個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：從點(diǎn)A到點(diǎn)B如何走最近？理由是什么？（兩點(diǎn)之間，線段最短）

問(wèn)題2：從點(diǎn)A到點(diǎn)C如何走最近？理由是什么？（從點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C）

問(wèn)題3：上述答案對(duì)嗎？對(duì)要說(shuō)明理由，不對(duì)則給出正確路徑并解釋。

通過(guò)學(xué)生的解答，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有轉(zhuǎn)化問(wèn)題的意識(shí)和實(shí)際拼接經(jīng)驗(yàn)，但缺乏明晰的方向與有序的思考，只能借助直觀、動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)獲取從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑的部分方法，而不能將立體圖形快速展開，準(zhǔn)確形成點(diǎn)A、點(diǎn)C的共面，不重不漏地找出所有的最短路徑。基于此，筆者繼續(xù)出示了問(wèn)題4。

問(wèn)題4：剛才我們通過(guò)把盒子的某些面拆拼到一起，得到了一些最短路徑，如果沒(méi)有紙盒供拆拼，我們?cè)鯓硬拍苎杆僬业剿械淖疃搪窂侥兀?/p>

通過(guò)小組合作交流，學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有實(shí)物的情況下，只能借助圖形思考，想象點(diǎn)A、點(diǎn)C拼在同一平面的情形。顯然，學(xué)生只能從實(shí)踐操作到空間想象，不能到達(dá)邏輯推理的高度，缺乏用數(shù)學(xué)的思維思考、分析、解決問(wèn)題的能力。于是，筆者追問(wèn)：研究一個(gè)幾何對(duì)象，我們通常會(huì)從組成它的元素開始研究，那么正方體有哪些元素？（頂點(diǎn)、棱、面）從元素出發(fā)，這個(gè)問(wèn)題又該怎樣研究呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑必然與起點(diǎn)A和終點(diǎn)C這兩個(gè)頂點(diǎn)元素有關(guān)，螞蟻要從起點(diǎn)A沿正方體的表面爬行到終點(diǎn)C，一定會(huì)經(jīng)過(guò)含點(diǎn)A和點(diǎn)C的面，而點(diǎn)A、點(diǎn)C不共面，點(diǎn)A在“前”“上”“左”三面，點(diǎn)C在“后”“下”“右”三面，尋求從點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路徑，就是要將空間問(wèn)題平面化，把含點(diǎn)A的面與含點(diǎn)C的面組合在同一平面（如圖3），即利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”獲取路徑。

最后，為了更清楚、更有條理地表示這一過(guò)程，筆者用圖4、圖5、圖6依序說(shuō)明：前后、上下、左右這些兩兩相對(duì)的面可看成是對(duì)稱的，若從前下、前右、上右組合的面可以找到最短路徑，則其對(duì)稱的組合上后、左后、左下也必然成立，只有相鄰面才能拼接，而相對(duì)面平行，無(wú)法拼接。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題4的探討，學(xué)生得出了找“直線爬行路徑”的一般方法。那么，這些路徑是否都是最短路徑呢？筆者出示問(wèn)題5：將立體圖形展開成平面圖形后，一共有6種從點(diǎn)A到點(diǎn)C的直線爬行路徑，這些路徑的長(zhǎng)度一樣嗎？都是最短的嗎？

學(xué)生通過(guò)比較路徑長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)它們都是由兩個(gè)相同大小的正方形組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，故最短路徑有6種，分別經(jīng)過(guò)前下、前右、上后、上右、左后、左下這些面的展開圖。

此題解決的是“空間內(nèi)兩點(diǎn)間的最短距離”問(wèn)題，學(xué)生受思維定式影響，給出了從點(diǎn)A到點(diǎn)B再到點(diǎn)C的錯(cuò)誤的直覺(jué)判斷。此時(shí)，筆者讓學(xué)生借助實(shí)物操作，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，探索發(fā)現(xiàn)了正確結(jié)論。筆者引導(dǎo)學(xué)生從直觀走向抽象、從想象走向推理，由一道題的討論引申出一般思想方法的運(yùn)用。

（作者單位：襄陽(yáng)市襄州區(qū)教育教學(xué)研究中心）

責(zé)任編輯? 張敏